用传输矩阵法计算一维光子晶体的带隙特性研究

一维光子晶体带隙特性研究1103011013 黄蓓粉体一班

摘要：光子晶体是20世纪80年代末提出的新概念和新型人工微结构光学材料。光子晶体以光子禁带的存在为主要特征，其典型结构为一个折射率周期变化的物体。一维光子晶体是光子晶体最基本的构型，其折射率在一维空间方向上呈周期性分布。一维光子晶体结构简单、易于制备，同时具备二维、三维光子晶体的性质，极有可能成为全光通信领域中的关键材料，因此具有较高的理论价值和广泛的应用前景。

关键词：光子带隙特征矩阵规律

1 引言

光子晶体是一种折射率周期变化的人工微结构材料,其典型结构为一个折射率周期变化的三维物体,周期为光波长量级. 光子在光子晶体中传播存在光子带隙.，频率落在光子带隙的电磁波不能在光子晶体中传播,光子晶体的这种特性具有极大的理论价值和潜在的应用前景。在光子晶体中掺杂后,会在光子能隙中引入局域模式,这将给激光技术和非线性光学等带来全新的应用,如制作零阈值激光器、光滤波器、慢光缓存器、慢光传感器等。

理论研究发现，对于含有缺陷的一维光子晶体，在光子禁带（PBG：Photonic Band Gap）的带边和缺陷模对应的频率位置，

光的传输具有极低的群速度，Scalorta 等人发现在带边处，光脉冲传输速度可以降低到c/17（c 为真空中光速），大约为1.76×107m/s 。

光子晶体的理论计算已相对成熟 ,本文旨在应用现有的计算方

法，建立一维光子晶体模型并讨论一维光子晶体在不同结构参数和参数下的光学传输特性。

2方法与原理

2.1模型的建立

一维光子晶体由两种不同相对介电常量 (εa ,εb ) 、厚度( a , b) 的薄介质层交替排列构成的一维周期性结构 材料. 如图 1 所示 ,空间周期为 d = a + b ,一束频率 为 ω的光从左向右正入射到图中所示的一维周期 性结构材料中.

将光波在介质层中的行 进看作是正向行进电磁波 (下行波) 和反向行进电磁 波 (上行波) 的叠加. 介质交界面处的电磁场满足边 界条件. 每一介质层与光波的相互作用可由其矩阵完全决定. 介质层两边的场矢量 E Ⅰ , H Ⅰ , E H Ⅱ的模可用特征矩阵联系起来 :

E E M H H I II I II ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

2.2数学理论推导

为行进一步的计算，下面给出光子晶体的特殊矩阵表达式。

如图 2 所示 , E0 , H0表示界面 Ⅰ的na 一侧矢量 , E Ⅰ, H Ⅰ表示界面Ⅰ的 nb 一侧的场矢量 , EII ，HII 表示界面Ⅱ一侧的场矢量, 在界面Ⅰ上有入射光波 Ei1、反射光波Er1、透射光波Et1以及由介质 nb 入射到界面Ⅰ上的光波

Er2

图3-2 1D PC 结构中任意层的电磁场传播情况

以TE 模为例展开讨论，对于TE 模，电场分量E 垂直入射面，根据电磁场边界条件，界面处电场偏振E 和磁场分量H 的切向分量连续。以E n 、H n 表示界面n 处的电场偏振E 和磁场偏振H 的切向分量，因为在同一界面两侧，有E n-1=E n ，H n-1=H n 。对于界面I ：

111211111222,cos cos .i r t r i i r i t i r i E E E E E H H cos H cos H H θθθθI I

'=+=+⎧⎨'=-=-⎩ （3-2） 界面II 上E II ，H II 有类似公式。考察界面I 上的透射场E t1与界面II 上入射场E i2：

()1100()21011||x z x z b z i k x k z t t z i k x k z i ik b i t z b t t E E e E E e

E e E e δ-+=-+-=⎧=⎨===⎩ （3-3） 式中，12cos ()b z b b b b t i k h n b c ω

δθθθθ=-=-==表示，波矢为k 的平面波在介质层中垂直横跨两个界面时的相位差，同样，22b

i r r E E e δ'=

，根据H ==，由以上各式得： 1cos sin sin cos b b b b b b E E H H i E H δδηηδδI II II I

II II ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ （3-4）

式中，2b b ηθ=，将式（3-4）写成矩阵形式为： cos sin sin cos b b b b b b i

E E H H i δδηηδδI II I II ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦ （3-5） 则对第j 层单层介质的传输矩阵为（TE 模）：

cos sin sin cos j j j j j j j i M i δδηηδδ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

（3-6） 式中，

2cos j j j j j δθηθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （3-7）

以上计算关系是对于TE 模式的，对TM 模式可以得到类似于上式的结果，只是在TM

模式情况下，i η=，若考虑正入射情况（θ=0），则TE 模与TM 模传输矩阵相同。

对于一维周期性结构（图3-1），可逐层应用式（3-6）的传输矩阵方程，对具有N 层介质的一维结构：

1121111111N N N N N N a b a a b N N N E E M M M H H E E E A B M M M M M M H H H C D +II +II ++++++⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3-8）

式中a b a a b M M M M M M =⋅⋅⋅就是一维光子晶体的传输矩阵。

分别在第I 个界面及第N+1个界面上列电磁场分量方程，并将求得的E I ，H I ，E N+1，H N+1代入式（3-8），展开可求得透射系数和反射系数：

反射系数： 0011110011

N N r i N N A B C D E r E A B C D ηηηηηηηη+++++--==+++ （3-9-1）

反射率： R r r *=⋅

（3-9-2）

透射系数： 1010011

2tN i N N E t E A B C D ηηηηη+++==+++ （3-9-3）

透射率： T t t *=⋅

（3-9-4）

若1D PC 结构置于空气中，则有ηN+1=η0，利用式（3-8）和式（3-9）编程计算可以得到一维光子晶体的反射谱或者透射谱，从而得到其带隙结构。在计算所得反射系数基础上，1D PC 结构部各层