弯曲程度问题和曲率教学文案

2013年7月24日晚8 点42分，从西班牙首都 马德里开往费罗尔的火 车。
据报道，列车行驶 至一个弯道时，突然脱 轨。死伤惨重！这是全 球最严重的列车事故之 一。
“黑匣子”数据显 示，出事列车在进入限 速为时速80公里的弯道 时，车速竟然一度高达 时速192公里。
➢ 用时速80公里和192公里的速度比较一下
Fn1 m
802
Fn2
m
1922
1922 Fn2 802 Fn1 5.76Fn1
➢ 用实际速度192公里行驶时所产生的向心力 是最大限速80公里所产生的向心力的
5.76倍！
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列车司机，在行驶到弯曲程度较大的铁轨时
减速！控制行驶速度
警示
课堂小结
曲率
情境 引入
向心力和 曲率半径
s s
单位弧段上切线转 过的角度的大小。
描述：平均弯曲程度
y
M
Ms
) )
o
x
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二、曲率
➢ 某一点的曲率 K l i m
s 0 s
y
d
ds
当 s 0 时， 点MM o
平均曲率的极限 描述：某一点的弯曲程度
M
Ms ) )
x
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一般平面曲线的曲率
因为 tan y
sec2 d y
Fn m
v2
➢ 同一物体：曲率半径不变， 速度越大，向心力越大
➢ 同一物体：速度不变， 曲率半径越小，向心力越大
启示
向心力 F n m
v2
列车以相同的速度行驶 （1）当经过的铁轨：弯曲程度较小（曲率较小），
即曲率半径较大时，向心力可能不会太大。
（2）当经过的铁轨：弯曲程度较大（曲率较大）， 即曲率半径较小时，向心力可能会很大。
dx
所以 d y dx sec2
y
1 tan2
1
y y 2
于是
d
y 1 y2
dx
y
y f (x)
M
o
x
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一般平面曲线的曲率
于是
d y dx
1 y2
又 d s dx2 dy2
dx2y d x 2
1 y2 dx
所以，曲率
d
K
ds
y
3
1 y2Байду номын сангаас2
y
ds
dy
dx
o
x
弯曲程度问题和曲率
赛车
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火车
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一、提出问题
如何用数量来描述曲线的弯曲程度？
M2
M3
M1
M1
N1
M2
N2
弧段弯曲程度越大 切线转角越大
切线转角相同，弧段越短 弯曲程度越大
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曲线的弯曲程度
➢ 与切线的转角有关 ➢ 与曲线的弧长有关
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二、曲率
➢ 平均曲率 K
曲率圆和 曲率半径
感 谢 指 导！
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
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三、曲率圆和曲率半径
曲率圆：以 D 为圆心,
y
D M 为半径的圆
DM 1
K 曲率中心：曲率圆的圆心D
曲率半径：曲率圆的半径
1 K
o
y f (x)
D 1 K
M
x
四、向心力与曲率半径
在物理学中，我们知道， 向心力
Fn m
v2
其中： m
v
质量 速度 曲率半径
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向心力