第三章习题与复习题(线性方程组)---高等代数

习题3.1
1．用消元法解下列线性方程组
（1）123131
232312 264257x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-=+-=+-115361424
5241
32321321
3
21321x x x x x x x x x x x x
(3)⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=-+-=--+8
22263536
34321
43214321x x x x x x x x x x x x （4） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+++=+++=-+++=++++2
3345362203231
5432154325
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2．设线性方程组
123212312
34
24
x x tx x tx x t x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ t 为何值时方程组无解? t 为何值时方程组有解？有解时,求其解. 3．设线性方程组
12341234
12341234231
363315351012x x x x x x x x x x ax x x x x x b
+++=⎧⎪+++=⎪⎨
--+=⎪⎪--+=⎩ （1） a , b 为何值时方程组有唯一解？ （2） a, b 为何值时方程组无解？
（3） a , b 为何值时方程组有无穷多解？并求其一般解.
习题3.2
1．设()()()1231,1,1,22,1,0,11,2,0,2ααα=--=-=--，， ,求 （1） 321ααα++ （2） 321532ααα+- 1211222. (1,0,,0) (0,1,
,0)(0,0,
,1),
.
n n n n a a a εεεεεε===++
+设 维向量 , ,
, 求
()()3. 2 02,1 3 1,124αβγαγβ=-=-+=设2,,,4,2, ,,，求向量 ,使.
4．设()()122,0,13,1,1αα==-, 满足 12234βαβα+=+ ,求 β ．
5．342112231231,.αβαβαβ+=+=-设（,,,）, （,,,）,求
习题3.3
1． 判断向量 β 能否由向量1α,2α,3α,4α 线性表示,若可以,求出表达式. ()()()()()
1234(1) 1,1,1,1 ,
1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,3,1βαααα=--==--=--=-，，
， ()()()()()
1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,1,
1,1,2,1 )2(4321--=--=--===ααααβ，，， ()
()()()()
3,0,1,37,1,1,40,1,0,17,3,1,23,1,3,4 )3(4321---==-==--=ααααβ，，， 1231231232. 120347110
,,,011234(1) , , ,,;
(2) , , ,,,;
(3) , b a a b a b a b αααββαααβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设
取何值时不能由线性表示取何值时能由唯一线性表示写出该表达式取何值123, ,,,βααα时能由线性表示且表达式不唯一写出全体表达式.
3．判断下列向量组的线性相关性.
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=70241202152101014 )1(4321αααα，，，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2131012021013312 )2(4321αααα，，，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=652111113211 )3(321ααα，，
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=14044121302101130112 )4(4321αααα，，，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=7932 ,4354327697656324 )5(54321ααααα，，，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7023120233631121 )6(4321αααα，，，⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=431003801053001 )7(321ααα，，
12344. 12341234 12341234a a a a αααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设向量组
,,, 12341234(1) , ,,,;2 , ,,,.a a αααααααα为何值时线性相关（）为何值时线性无关
5．讨论向量组
12310112,,21425111a b ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的线性相关性. 6．已知向量组1,
,,
,i n ααα线性无关,证明1,
,,
,(0)i n k k ααα≠线性无关.
7．已知向量组12,,,n ααα线性无关, 1121212,,,,n n βαβααβααα==+=++
+
证明: 12,,
,n βββ线性无关.
8．设12,,,n ααα线性无关,
n
nn n n n n
n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ+++=+++=+++=
22112222121212121111
证明：n βββ,,,21 线性无关的充要条件是行列式
D = n n n n nn
a a a a a a a a a 11121212221
2
≠ 0
9．已知向量组m ααα,,,21 线性无关,设
111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m
证明：(1) 当m 为偶数时, m βββ,,,21 线性相关；
（2）当m 为奇数时, m βββ,,,21 线性无关.
习题3.4
1．求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.
（1）12344212 312101308αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， （2）1234511005 2112, 153223ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，
（3）123450********* , 0111111011ααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，， 2．求下列向量组的秩与一个极大无关组并将其余向量用求出的极大无关组线性表示.
（1）123421041134
10100124αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，
（2）123452313712024 , 3283023743ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， （3）123452183723075
, 3258010320ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，
3．求向量组
123411312000121135a b αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，
的秩和一个极大无关组.
4．设A 、B 均为m × n 阶矩阵,证明：R （A ＋ B ）≤ R （A ）＋ R （B ） 5．设向量组m ααα,,,21 （ m ＞ 1 ）的秩为r ,
m m m m βαααβαααβααα-=+++=+++=+++,,,123213121
证明：向量组m βββ,,,21 的秩为r .
6．设A 为n × m 阶矩阵,B 为m × n 阶矩阵,且n ＞ m ,证明 AB = 0 ．
习题3.5
1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表出通解. （1） 12341341231342430
3 07 730x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
+-=⎪⎨
++=⎪⎪+-=⎩ （2） 12345123451
234512345202 +230
322025220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪
-+-=⎪⎨
--+-=⎪⎪-+-+=⎩
2．设线性方程组
1231231
23232082021430x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪
-+
--=⎨⎪+++=⎩（）（）（）
问λ为何值时, 该方程组有非零解？并求出它的全部解.
3．设n 阶方阵A 的每行元素之和都为零,且R （A ）= n －1 ,求方程组A X = 0的通解. 4．已知3阶非零矩阵B 的每个列向量都是线性方程组
1231231
232202030
x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩ 的解, 求λ的值. 5．已知线性方程组
12342341
24220
0 0
x x x x x cx cx x cx x +++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 的基础解系由两个解向量构成,求c 的值与该方程组的通解. 6．设
123132212
11A t ⎛⎫
⎪-
⎪
= ⎪
⎪--⎝⎭
B 是3阶非零矩阵,且AB=O , 求t 的值.
习题3.6
1．解下列线性方程组（在有无穷多解时求出其结构式通解）． （1）12312312312323424538213496x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩
（2）123412412340
1 222461x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪⎪--=⎨⎪--+=-⎪⎩
2．已知线性方程组
1231231
2321
23(2)320
x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪
+++=⎨⎪+-=⎩ 无解,求a 的值.
3．参数λμ，取何值时,线性方程组
1234123412
34230327162x x x x x x x x x x x x λμ
+-+=⎧⎪
+++=⎨⎪---=⎩ 有解、无解？
4. 参数a , b 为何值时,线性方程组
12345123452345123451
323 22635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪
+++-=⎪⎨
+++=⎪⎪+++-=⎩
有解、无解？在有解时,求其解.
5. 参数a , b 为何值时,线性方程组
1231231
234324
ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时,求其解.
6．向量123,,γγγ是四元非齐次线性方程组AX β=的解向量,()2R A =且 121321γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ ,231102γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭,132110γγ⎛⎫
⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭
求线性方程组AX β=的通解． 7．设线性方程组
23
112131231222322313233323
1
42434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1）若1234,,,a a a a 互不相同,证明方程组无解；
（2）若1324,(0)a a k a a k k ====-≠,证明方程组有解,并求其通解.
8．证明线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-5
154
54343232121a x x a
x x a x x a x x a x x 有解的充分必要条件是∑=51
i i a = 0 ,并在有解时求其通解．
9．设非齐次线性方程组A X = β 的解向量12,,,s γγγ,证明
（1） 线性组合1122s s k k k γγγ++
+是A X = β 的解的充分必要条件是
k 1 ＋ k 2 ＋ … ＋ k s = 1；
（2）线性组合1122s s k k k γγγ++
+是A X = 0 的解的充分必要条件是
k 1 ＋ k 2 ＋ … ＋ k s = 0.
习题三 (A)
一、填空题
1．设
123111111λααλαλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，
当λ满足 时, 123ααα,,线性相关； 当λ满足 时, 123ααα,,线性无关. 2.已知向量组
123411110112,23243519t t αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，， 线性相关, 则t 满足 .
3．设向量组123ααα,,线性无关,则当参数l, m 满足 时,213213l m αααααα---,,也线性无关.
4. 已知123ααα,,线性无关,若12123123242m m αααααααα+-++-,,也线性无关, 则
m .
5．设向量组123(, 0, )(, ,0)(0, , )a c b c a b ααα===,,线性无关, 则a , b , c 满足 . 6. 设向量组1234(2,1,1,1)(2,1,,)(3,2,1,),(4,3,2,1)a a a αααα====,,线性相关,且1a ≠, 则 a = .
7. 当k = 时, 向量 ()
T
k k 2
,,0=β 可由向量组
()T k 1,1,11+=α ,
()()T T k k +=+=1,1,11,1,132αα， 线性表示且表示方法不唯一．
()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,22, t t ααα=-==--=8.已知的秩为 则 .
9. 设A = ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--11334221t , B 为3阶非零矩阵, 且A B = O , 则t = ．
10. 设B 为3阶非零矩阵,且B 的每个列向量都是方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=++0
3020
2321
321321x x x x x x kx x x 的解,则k
= ,B = ．
11. 设123,,ααα是齐次线性方程组AX = 0 的一个基础解系, 则当参数a 满足 时,
122331a αααααα+++,,也是该方程组的基础解系.
12. 已知向量组1234,,,αααα的秩为3, 且1234,,,αααα可由向量组123,,βββ线性表示, 则向量组123,,βββ必线性 .
二、单项选择题
1． 已知1143α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,221t α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,3231α-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
线性相关, 则t =( ) .
(A ) 2 (B) -2 (C ) 3 (D ) –3 2．已知向量组1234αααα,,,线性无关, 则向量组（ ）线性无关.
12233441122334411223344112233441
A αααααααααααααααααααααααααααααααα+++++++-----++--（） ,,,（
B ） ,,,（
C ） ,,,（
D ） ,,,
3. 对任意实数a , b , c 下列向量组线性无关的是（ ）.
(A) (a , 1, 2), (2, b , 3), (0, 0, 0)
(B) (b , 1, 1), (1, a , 3), (2, 3, c ), (a , 0, c ) (C) (1, a , 1, 1), (1, b , 1, 0), (1, c , 0, 0) (D) (1, 1, 1, a ), (2, 2, 2, b ), (0, 0, 0, c )
4．若向量组 α , β , γ 线性无关, α , β , δ 线性相关, 则( )．
（A ） α 必可由 β , γ , δ 线性表示 （B ） β 必不可由 α , γ , δ 线性表示 （C ） δ 必可由 α , β , γ 线性表示 （D ） δ 必不可由 α , β , γ 线性表示 5. 设同维向量组
12121::,r
r r m
A B αααααααα+，，,，，,，,
则下列说法正确的是( ). (A) A 组与B 组的线性相关性相同 (B) 当A 组线性无关时, B 组也线性无关 (C) 当B 组线性相关时, A 组也线性相关 (D) 当A 组线性相关时, B 组也线性相关 6. 下列说法正确的是( ). (A) 若1α,2α线性相关,
1β ,2β线性相关, 则11βα+,22βα+一定线性相关
(B) 若1α,2α 线性无关, β为任一向量, 则βα+1,βα+2一定线性无关
(C) 若1α,2α ,…,m α（ m ≥ 2 ）线性相关, 则其中任何一个向量都可由其余向量线性表示 (D) 若n 维向量组1α,2α,… ,m α（ m ≥ 2 ）线性无关,则对于任意不全为零的数k 1, k 2 ,… , k m 一定有 θααα≠+++m m k k k 2211
7．已知向量组123ααα,,线性无关, 向量β可由123ααα,,线性表示, 向量γ不能由123ααα,,线性表示, 则对任意常数k , 必有（ ）.
(A) 123,,, k αααβγ+线性无关 (B) 123,,, k αααβγ+线性相关 (C) 123,,, k αααβγ+线性无关 (D) 123,,, k αααβγ+线性相关
8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. (A ) 个数唯一 (B) 个数不唯一
(C ) 所含向量个数唯一 (D ) 所含向量个数不唯一
9．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示, 则n ααα,,,21 （ ）.
(A) 线性相关 (B) 秩等于n
(C) 秩小于n (D) 秩不能确定
10. 已知21346639A t ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, B 为三阶非零矩阵且AB =O ，则( ).
(A)当t = 2时,B 的秩必为1 (B)当t = 2时,B 的秩必为2 (C)当t ≠2时,B 的秩必为1 (D)当t ≠ 2时,B 的秩必为2
11．设非齐次线性方程组A X = B 中未知量个数为n , 方程个数为m , 系数矩阵A 的秩为r ,则 ( ) .
(A ) r = m 时,方程组A X = B 有解 (B) r = n 时,方程组A X = B 有唯一解 (C ) m = n 时,方程组A X = B 有唯一解 (D ) r ＜ n 时,方程组A X = B 有无穷多解
12．n 元线性方程组AX=B 有唯一解的充分必要条件是（ ）.
（A ） 导出组AX=0仅有零解 （B ） A 为方阵,且∣A ∣≠0
（C ） R(A) = n
（D ） 系数矩阵A 的列向量组线性无关,且常数项向量B 可由A 的列向量组线性表示
13．设A 是n 阶矩阵, α 是n 维列向量,若R ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛0T
A
αα = R （A ） ,则线性方程组 ( )．
（A ） A X = α 必有无穷多解
（B ） A X = α 必有唯一解 （C ） ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛y X A T
0α
α = 0仅有零解 （D ） ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛y X A T
0αα = 0必有非零解 14．将齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A , 若存在3阶矩阵B ≠ O
使得AB =O , 则 ( ) ．
（A ） λ = －2且 B = 0 （B ） λ = －2且 B ≠ 0 （C ） λ = 1且 B = 0 （D ） λ = 1且 B ≠ 0 15. 已知123,,ααα是非齐次线性方程组AX=b 的3个解, 则下列（ ）不是导出组 AX = 0的解.
(A) 1232ααα+- (B) 121
()3
αα- (C) 132αα- (D)
311
()2
αα- 16. 已知123,,ααα是非齐次线性方程组AX=b 的3个解,则下列（ ）是AX = b 的解. (A) 1232ααα+- (B) 123ααα+- (C) 132αα- (D)
311
()2
αα- 17. 已知123ααα,,是4元非齐次线性方程组AX=b 的3个不同的解且R (A ) =3,则下列（ ）是导出组AX = 0的基础解系.
(A) 12312,ααααα+-- (B) 12αα- (C) 13αα+ (D) 3121,αααα--
(B)
1．设
12312300111a b αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1011=，=，010012011=，=，1221
求a , b 的值,使向量组123ααα,,与向量组123βββ,,等价.
122.,,,.r t t t r n ≤设是互不相同的数,21(1,,,,) (1,2,
,)n i i i i t t t i r α-==证明:线性无关.
3. ,, , 0. , , , a b c a b c abc αβγαβγθαβαγβγ++=≠设向量,,及数满足且证明和均与等价.
4．设向量组
123411321326,1511031p p αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，
（1）p 为何值时,1234,αααα,,线性无关, 并在此时将向量()4,1,6,10T
β=用该向量组线性表示；
（2）p 为何值时,1234,αααα,,线性相关,并在此时求出该向量组的秩和一个极大无关组. 5．求向量组
1231111121111k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，
的秩和一个极大无关组.
6．,,A m n B n m m n AB E B ⨯⨯<=设为矩阵，为矩阵，且若证明的列向量组线性无关. 7．已知向量组
123967ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13=2，=0，-31
与
1232110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0=1，=，-1
具有相同的秩且3β可由123ααα，，线性表示,求a , b 的值. 8．已知3阶矩阵B O ≠且B 的列向量都是线性方程组
123123123
20200x x x x x x ax x x +-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩ 的解.
（1） 求a 的值； （2） 证明0B =. 9. 已知线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
0032221
2321321x c x b x a cx bx ax x x x ,
(1) 当a , b , c 满足何种关系时,方程组仅有零解？
（2）当a , b , c 满足何种关系时,方程组有无穷多组解？求出其通解. 10. 两个齐次线性方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0
000001121
2111111121211111n tn t n n n n n mn m n n n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 与 的系数矩阵A 与B 的秩都小于n /2. 证明：这两个方程组必有相同的非零解． 11. 设12s ααα,,,为某齐次线性方程组的一个基础解系, 11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+ 12112,,,s s t t t t βαα=+其中为任意常数. 问当12,t t 满足什么条件时, 12s βββ,,,也为该方程
组的一个基础解系.
12．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为 ⎩⎨⎧=-++=-+020324321
321x x x x x x x , 且已知另一四元齐次线性
方程组（Ⅱ）的一个基础解系为 T T a a ）（，）（8,4,2,11,2,1,221+-=+-=αα
（1） 求方程组（Ⅰ）的一个基础解系； （2） a 为何值时,（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？
在有非零公共解时, 求出全部非零公共解.
13．设 r n -γγγγ,,,,210 为非齐次线性方程组A X = β 的n － r ＋1个线性无关的解向量,
其中r = R （A ）．
证明：00201,,,γγγγγγ----r n 是其导出组AX = 0的一个基础解系． 14．若线性方程组
n n n n n nn n n a x a x b a x a x b a x a x b +
+=⎧⎪
++=⎪⎨⎪⎪+
+=⎩11111
21122
11 的系数矩阵的秩等于矩阵B =11
1111
0n n nn
n n
a a
b a a b b b ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
的秩. 证明此方程组有解.
12312315. 4, ()3, ,,,2200
,20028.
AX B R A αααααα==⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设元非齐次线性方程组已知为方程组的解其中求该方程组的通解
16. 设线性方程组
Ⅰ： 12312321
2302040
x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
Ⅱ： 123 21x x x a ++=-
有公共解, 求a 的值及所有公共解.。