概率论与数理统计 随机变量函数的分布

在实际应用中，人们常常对随机变量的函数 感兴趣.
比如，某厂的电机的噪声电压V 的密度分布：
0
t0
t
求功率 W=V2/R (R 为电阻)的分布.
概率论与数理统计
❖随机变量的函数是一个这样的随机变量，若
随机变量Y 满足：
Y=g(X)
则称随机变量Y 是X 的随机变量的函数。 ❖设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g
是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的
分布？
概率论与数理统计
❖例1 离散型随机变量X的分布律如下： X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4
求Y ( X 1)2的分布律。
解
X -1 0 1 2 Y4101 P 0.2 0.3 0.1 0.4
概率论与数理统计
所以Y的分布律为： Y0 1 4 P 0.1 0.7 0.2
对于任意固定的 y , F (, y) 0; 对于任意固定的 x , F( x,) 0;
F(,) 0; F(,) 1.
（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0)。
概率论与数理统计
❖若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或可数对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
二维联合分布律的性质：
(1) pij 0, (2)
pij 1.
i1 j1
概率论与数理统计
X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1 j
…
x2
p 21
p22
…
p2 j
…
xi
p i1
p ij
…
概率论与数理统计
❖例7 已知二维分布(X,Y)分布律如下：
Y0
(ln
y)g1 y
1
2
y
exp
(ln y)2 2
概率论与数理统计
( y 0).
❖例6 已知随机变量X～N (, 2 ). 则Y eX 服从对数正态分布LN (, 2 )，求其密度。
解 FY ( y) P(Y y) P(eX y)
P X ln y
ln y 1
(t )2
exp{
概率论与数理统计
联合分布函数的定义 设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y,
二元函数: F ( x, y) P{(X x) (Y y)} P{ X x,Y y}
称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
X ,Y的分布函数FX (x), FY ( y)分别称为F (x, y) 关于X 和Y的边缘分布函数。
❖例4 设随机变量X～e(1),即
pX
x
ex , 0,
求Y X 2的密度函数。
x 0, 其他.
解 FY ( y) P(Y y) P( X 2 y)
P y X y
FX y FX y
概率论与数理统计
求导，得
pY
( y)
FY
y
2
1 y
pX
y
pX
y
dFX
(
y
2
8) d( g
y
2
8)
d ( y 8) dy
2
y8 1
fX (
2
)g 2
概率论与数理统计
复合函数求导法则
当0 y 8 4,即8 y 16时，有 2
fY ( y)
fX
(
y
2
8)
1 2
y 8 1 16 2
故
fY
(
y)
y 8 32
,
8 y 16
0, 其它
概率论与数理统计
2
2 2
}dt
pY ( y)
1
2
y
exp
(ln
y 2 2
)2
( y 0).
概率论与数理统计
定理1 设随机变量 X 具有概率密度
fX (x), x
又设函数 g(x) 处处可导，且 g(x) 0（或 g(x) 0），
则 Y g(X ) 是连续型随机变量，其概率密度为：
fY
用 { y X y} 代替{ X2 ≤ y }
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出
相应的概率。
这就是分布函数法。
概率论与数理统计
❖例5 已知随机变量X～ N(0,1)。
求Y eX的密度函数。 解 FY ( y) P(Y y) P(eX y)
P X ln y
ln y
pY
(
y)
概率论与数理统计
❖例2 加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3 元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车 数X的分布律如下：
X 10 20 30 40
P 0.15 0.25 0.45 0.15
求加油站获利的概率。
解 纯收入Y = 3 X – 60
X 10 20 30 40
Y -30 0
P 0.15 0.25
且h( y) y b , h( y) 1 ;
a
a
故fY ( y)
Leabharlann Baidu
f
X
[
y
a
b
]g|
1 a
|
1
2
exp
(
y
b a
2 2
)2
g|
1 a
|
概率论与数理统计
2
1 |a
|
exp
[
y (b 2(| a
a)]2 | )2
,
y R.
所以Y aX b : N (a b, (a )2 ).
(
y)
fX
(h(
y)) 0
h( y)
,
y
其它
其中 min{g(), g()}, max{g(), g()},
h( y) 是函数 g(x) 的反函数.
概率论与数理统计
❖例7 设随机变量 X ~ N (, 2) ，证明
Y aX b (a 0)也服从正态分布。
解 由于y g(x) ax b严格单调，
概率论与数理统计
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2, , 记
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2, , 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
F x， y 表示平面上的随机点X， Y 落在 以 x， y 为右上顶点的无穷矩形中的概率．
y (x, y)
(X, Y ) o
概率论与数理统计
如何利用分布函数计算概率
P{x1 X x2, y1 Y y2}
y
y2
y1
O
x1
x2 x
P{x1 X x2, y1 Y y2}
F(x2, y2 )F(x1, y2) F(x2, y1) F(x1, y1)
x
8
,
0 x 4,
0 , 其它。
求随机变量 Y 2X 8 的概率密度。
解 Y的分布函数FY(y)为
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8y )
=P{ X
y8 2
} = FX(
y 8)
2
概率论与数理统计
于是Y 的密度函数
fY
( y)
dFY ( y) dy
dFX
( y 8) 2
dy
概率论与数理统计
（1）F (x , y )是变量 x , y 的单调非减函数，即 对于任意固定的 y ,当 x1< x2时， F( x1 , y) F( x2 , y); 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时，F( x, y1 ) F( x, y2 );
(2) 0 F( x, y) 1, 且
1
X
0
0.3
0.3
1
0.3
0.1
求边缘分布。
概率论与数理统计
Y0 X
1
p.j
0
0.3
0.3
0.6
1
0.3
0.1
0.4
pi.
0.6
0.4
概率论与数理统计
概率论与数理统计
家庭衣食住行的花费分别为X1,X2,X3, X4。 某企业的利润率X 、总资产周转率Y 与 资金流动比率Z。 CET4的听力成绩X1，词汇成绩X2，阅读 成绩X3，写作成绩X4。
能不能将上述随机变量单独分别进行研究 由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联系的， 所以应该把它们作为一个整体来看待。
概率论与数理统计
FX (x) P{X x} P{(X x) I (Y )} F(x, ).
FY ( y) P{Y y} P{(X ) I (Y y)} F(, y).
F (, y) P{(X ) I (Y y)} ? F (x, ) ?
F(, ) ?
概率论与数理统计
概率论与数理统计
❖在试验E 中如果定义了两个随机变量X、Ｙ， 则它们构成的向量（X，Ｙ）叫做二维随机
变量。
例如，考察某地区的气候状况，令 X：该地区的温度；Y：该地区的湿度．
则 X， Y 就是一个二维随机变量．
❖由于X,Y之间往往是有一定联系的，所以应 该把它们作为一个整体来看待。因而要研
究X，Ｙ的联合分布。
获利的概率：0.45+0.15=0.60
概率论与数理统计
30 0.45
60 0.15
❖设连续型随机变量 X 的密度函数f(x)已 知，Y=g (X)，如何由X的分布求出Y的密度
函数？ ❖通常有两种方法：
①分布函数法；（通法）
②“公式法”。
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❖例3 设随机变量X具有概率密度
fX
(x)
,
y 0,
0,
y 0.
2
1
y
e
y,
0,
y 0, y 0.
概率论与数理统计
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，
关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 。
例如，用 {X y 8} 代替 {2X+8 ≤ y } 2