空间向量的平行与垂直导学案

空间向量的平行与垂直导学案
学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.30
编写人：陈平审核人：邓朝华班级：姓名：
【导案】
【学习目标】
1．理解直线的方向向量与平面的法向量。

2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。

3．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系。

【学习重点】
空间向量的平行与垂直
【学案】
1.直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_________的向量，显然一条直线的方向向量可以有___________。

2.平面的法向量
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面_________的向量，显然一个平面的法向量有________个，它们是_________向量。

3.直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面平行关系中的应用
（1）若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1∥l2⇔________,即________，（2）若直线l的方向向量为u，平面a的法赂量为v, 则有l∥a⇔_________，即_________，若u=(a1、b1、c1)，v=（a1、b1、c1），则l∥a⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
（3）若两平面α、β的法向量分别是v1、v2则有α∥β⇔________即_________。

4.
5、直线l、m的方向向量分别为a=（a1、a2、a3）,b=（b1、b2、b3），则b⊥m⇔______⇔______⇔_______.
6.直线的方向量与平面的法赂量的坐标关系
设直线l的方向向量是u=(a1、b1、c1)，平面α的法向⊥量v=(a1、b1、c1)，则l⊥a⇔________⇔________⇔________⇔___________（a2·b2·c2≠0）
7.两垂直平面法向量的坐标关系
若平面a=(a1、b1、c1)，平面β的法向量v=(a1、b1、c1)，则a⊥β⇔_______⇔_______⇔__________.
【例1】已知平面a经过三点A（1，2，3），B（2，0，-1）C（3，-2，0），试求平面a的一个法向量.
【例2】在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2
求证：平面GEF⊥平面PBC.
【例3】如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥AC=a，PB=PD=2a，
PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1。

在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.
空间向量的平行与垂直练案（一）
学校：公安一中年级：高二年级班级：姓名：编写人：陈平审核人：邓朝华编写时间：2013.3.30
1.已知=（2，2，1），=（4，5，3）求平面ABC的单位法向量.
2.如图所示，在址三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，
BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.
求证：AC1∥平面CDB1.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、
E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点.
求证：平面AMN∥平面EFBD.
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
B级
1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD边
上的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D＇，
且平面D＇AE⊥平面ABCE.
求证：AD＇⊥EB；
2.已知M为长方体AC1的棱BC的中点，点P在长方体AC1的面CC1D1D内，且PM∥平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置.
2. 如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD
是矩形，AB=2.AD=1，AA 1=3，M 是BC 的中点，在DD 1
上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1上是否存在一点N ，
使MN ⊥DC 1？并说明理由.
C 级
如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点。

（1）若NC
BN MA BM ，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； （2）在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论.
空间向量的平行与垂直练案（二）
学 校：公安一中 年 级：高二年级 班 级： 姓 名： 编写人：陈 平 审核人：邓朝华 编写时间：2013.3.30
A 级
1.若向量m 同时垂直于向量a 和b ，向量n =λα+μb (λ,μ∈R,λ,μ≠0),则（ ）
A. m ∥n
B. m ⊥n
C. m 与n 即不平行也不垂直
D. 以上三种情况均有可能
2.已知a =（sin θ，cos θ,2），b =（cos θ，sin θ,
22），且a ⊥b ，则θ等于（ ） A. 2π
- B. 4π C. κπ2- 2π（Z ∈κ） D. 4
πκπ-（z ∈κ） 3.已知AB =（1,5,-2），BC =（3,1,z ）,若BP BC AB ,⊥=)3,,1(--Y X ，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为 （ ） A. 4,715,733- B. 4,715,740- C. 4,2,740- D. 15,7
40,4-
4.已知A （3,0,-1）、B （0，-2，-6）、C （2，4，-2），则△ABC 是 （ ） A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 以上都不对
5.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在
A 1D ，AC 上，且A 1E=32A 1D ，AF=3
1AC ，则（ ） A. EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直 B. EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC
C. EF 与BD 1相交
D. EF 与BD 1异面
6、如图，在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，CD=DA,
E,F,G 分别是CD,DA 和AC 的中点，则平面BEF 与
平面BDG 的位置关系是________.
7.如图，已知矩形ABCD ，AB=1,BC=a,PA ⊥平面ABCD
若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于_______.
8.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点求证：EF为BD1与CC1的公垂线.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD, AB⊥AD,，AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：PD⊥平面ABE.
B 级
1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，MN 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AM=a 3
2，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 （ ）
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D. 不能确定
2.已知a =(1,2,-2)，若|b |=2|a|，且a ∥b ，则b =_______.
C级
3.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AA1=3，M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1，并说明理由.
空间向量与空间角及空间间距导学案
学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.30
编写人：陈平审核人：邓朝华班级：姓名：
【导案】
【学习目标】
1.能用向量方法求解空间中的线线角、线面角及二面角
2.能用向量方法求解空间中的距离问题
【学习重点】
用向量求角与距离的方法
【学案】
1、两条异面址线所的的角
（1）定义：设a、b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a, b′∥b则a′b′所夹的_________叫作a与b所成的角.
（2）范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是_________.
（3）向量求法：设直线a、b的方向向量分别为a、b，其夹角为ϕ，则有cosθ
=|cosϕ|=_________.
2.直线与平面所成的角
（1）定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的________ 所成的角.
（2）范围：直线和平面成所的角θ的取值范围是________.
（3）向量的求法：设直线L的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为ϕ，则有________=|cosϕ|=_______或cosθ=sinϕ.
3.二面角
（1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的_______叫做二面角.这条直线叫二面角的________，这两个半平面叫做二面角的________.
（2）二面角的平面角概念：在二面角a—l—β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面a和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，构成的∠AOB叫做_______.
（3）二面角的取值范围：_________.
（4）二面角的向量求法：
①若AB、CD分别是二面角a—l—β的两面内与棱l垂直的异面线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图①）.
②设n1、n2分别是二面角a—l—β的两面a、β的法向量，
则向量_______有夹角（或其补角）的大小就是二面角的
平面角的大小（如图②）
4.空间中的距离主要有_______、_______、_______、_______、_______、_______六种.
5.空间中两点间的距离公式
若A（x1，y1、z1），B（x2，y2、z2），则d AB=|AB|=________.
6.向量的模长公式
a=__________.
若a=（x，y、z），则|a|=2
7.点面距离公式
如图所示，设n是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线，则点B到平面a的距离
d=_________.
8.异面直线间的距离公式
l1l2是两条异面直线,n是l1l2的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1l2上的任两点，
=_________.
【例1】如图所示，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，
PA与平面ABCD所成的角为60°，四边形ABCD中，
D=A=90o ,AB=4. CD=1，AB=2.
（1）建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
【例2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求BD与平面A1C1D所成角的余弦值.
【例3】已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，
其中AB=AP=3，AD=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示.
（1）求证：AN∥平面MBD；
（2）求二面角M—BD—C的余弦值。

【例4】如图，在平行四边行ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.
【例5】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C1的距离.
【例6】如图所示，已知正四棱锥V—ABCD的底面边长为2，
高VO=1，VB中点为M，求点M到平面VDC的距离.
【例7】如图所示，已知正方体A1B1C1D1—ABCD的棱长为a.
（1）求证：平面A1BD∥平面CB1D1；
（2）求平面A1BD平面CB1D1的距离.
【例8】已知二面角∂—l—β中，A∈∂，B∈β.AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D.AC=a，BD=b，CD=c，AB=l.求二面角∂—l—β的余弦值.
空间向量与空间角练案
学 校：公安一中 年 级：高二年级 班 级： 姓 名： 编写人：陈 平 审核人：邓朝华 编写时间：2013.3.30
A 级 1.设a =（a 1a 1a 1），b=(b 1b 1b 1)若a ≠b 且记|a -b |=m,则a --b 与x 轴正方向的夹角的余弦为( )
A. m b a 11-
B. m a b 11-
C. m b a 11-
D. ±m
b a 11-
2.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1 =
4
1
1B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是 ( ) A.
1715 B. 21 C. 17
8
D. 23
3.菱形ABCD 在平面a 内，PC ⊥a ，那么PA 与对角线BD 的位置关系是（）
A. 平行
B. 斜交
C. 垂直相交
D. 异面垂直
4.在正三棱形ABC —A 1B 1C 1中，已知AB=1，点D 在BB 1上，且BD=1，则AD 与侧面AA 1C 1C 所成角的余弦值是 （ ） A.
21
B. 23
C. 46
D.
4
10
5.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则 直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 （ ） A.
23 B. 25 C. 510 D. 10
10
6.二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角
的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8， CD=27，则该二面角的大小为（ ） A. 150° B. 45° C. 60° D. 120°
7.如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是正方形 A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是 A. 60° B. 45° C. 30° D. 90°
8.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC.E 是PC 的中点，则EB 与底面ABCD 所成角的正切值为（） A.
25 B. 1010 C. 55 D. 3
3
9.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面为正三角形，若AA 1=AB=1，E 为棱BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 所成锐二角的大小为______.
10.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=BC=AB=2， AB ⊥BC ，求二面角B 1—A 1C —C 1的大小.
11.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是为长 为a 的正方形，且PD=a ，PA=PC=a 2. （1）求证：直线PD ⊥平面ABCD ； （2）试求二面角A —PB —D 的大小.
B 级
1.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ， AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=EF=
AD 2
1
. （1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）示证：平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A —CD —E 的余弦值.
2.已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB=90°， PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。

（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值；
（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的余弦值.
C 级
1. 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠BAD=2
， CD=AD=2，四边形ABEF 为平行四边形，FA ⊥平 面ABCD ，FC=3，ED=7.求：
（1）直线AB 到平面EFCD 的距离；
（2）二面角F —AD —E 的平面角的正切值.
空间向量与空间距离练案
学 校：公安一中 年 级：高二年级 班 级： 姓 名： 编写人：陈 平 审核人：邓朝华 编写时间：2013.3.30
1.已知向量a 、b 、c 两两这间的夹角都为60°，其模都为1，则|a -b +2c |等于（ ） A.
5 B. 5 C.
6 D. 6
2.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的 中点，则E 到直线CB 1的距离为（ ） A.
61 B. 3
1
C. 66
D. 33
3.在四面体P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB 、
PBC 、PCA 的距离分别2、3、6，则M 到P 的距离是 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4.已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD=AD=1，点C 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则 （ ） A. 1＜d 1＜d 2 B. d 1＜d 2 ＜1 C. d 1＜1＜d 2 D. d 2＜d 1＜1
5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为a,点M 分AC 1的 比为
2
1
,N 为B 1B 的中点,则|MN|为 ( ) A.
a 621 B. a 6
6 C. a 6
15
D. a 3
15
６.已知△ABC 的顶点A （1,-1，2）、B （5，-6，2）、C （1，3，-1）则AC 边上的高BD 的长等于（）
A.3
B.4
C.5
D.6
７.设A （2，3，1），B （4，1，2）C （6，3，7），D （-5，-4，8），则点D 到平面ABC 的距离为_______.
８.已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是连长为2的正方体，高为4，则点A 1截面AB 1D 1的距离是_______.
９.如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二 面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8.求CD 的长度.
10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A ＇B ＇C ＇D ＇中，E 、F 分别 为DD ＇、BD 的中点，M 在棱CD 上，且CM=4
1
，N 是C ＇M 的中点. （1）求证：EF ⊥B ＇C ；
（2）求EF 与C ＇M 所成角的余弦值 （3）求FN 的长.
11.三棱柱ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点.
（1）求证：平面AB 1D ⊥ABB 1A ；
（2）求点C 到平面AB 1D 的距离
B 级
1.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，
E 是AB 上一点，PE ⊥EC ，已知PD=2，CD=2，AE=
2
1，求： （1）异面直线PD 、EC 的距离；
（2）二面角E —PC —D 的大小
2.如图，四面体PABD 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA=a ，PB=b ，PC=c ，点P 到平面ABC 的距离为h ，求证
22221111c
b a h ++=.
C 级
1在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AD=4，AB=2.以AC 的中点O 为球心、AC 为直线的球面交PD
于点M ，交PC 于点N.
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值；
（3）求点N 到平面ACM 的距离.。