人教版高中数学奥赛辅导 线性递归数列
数列专题——线性递推数列的求法(本人)
数列专题——线性递推数列的求法已经掌握的数列通项求法：（1）公式法：等差、等比；（2）n S 法，即1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩；（3）1()n n a a f n +-=累加法、1()n na f n a +=累乘法； （4）1n n a pa q +=+构造法（等比数列）；1()n n a pa f n +=+，()f n 为高中数学的一些基本初等函数，例如一次函数、二次函数、指数函数、高次函数等等，那么用“待定系数构造等比数列、等差数列” ．1．1 推广之一，()f n 为一次函数：即1n n a pa bn c +=++，()f n 为一次函数时，即1n n a pa bn c +=++，此法可行高效．只需构造1[(1)]n n a n u p a n u λλ+++=+-+，利用待定系数求出λ与u 即可．例1 (04年全国高中数学联赛四川省初赛) 数列{}n a 满足11a =，122(2)nn a a n n -=+-≥，求通项n a ．分析：令：12[(1)]n n a n u a n u λλ-++=+-+ 整理：122nn a a n u λλ-=+-+由待定系数：122u λλ=⎧⎨-+=-⎩，得：10u λ=⎧⎨=⎩所以：12[(1)](2)n n a n a n n -+=+-≥即：{}n a n +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得：2n n a n =- 练习：1． (07天津文20) 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求n a 前n 项和n S ；(3)略答案：14n n a n -=+；41(1)32n n n n S -+=+ 1．2 推广之二，()f n 为二次或二次以上函数： 即11121m m n n m m a pa c n c n c n c -++=+++++ ，其中：p ,*(11,,2)i c i m m N m ≤≤+∈≥为常数 例2 已知数列{}n a 满足11a =，212n n a a n +=+，求通项n a ．分析：令： 221(1)(1)2()n n a n u n v a n un v λλ++++++=+++ 整理：212(2)n n a a n u n v u λλλ+=++-+--由待定系数：2200u v u λλλ=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，得：246u v λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以：2122(1)4(1)62246n n a n n a n n ++++++=+++ 即：2{246}n a n n +++是以1246a +++为首项，2为公比的等比数列，得：12132246n n a n n -=⋅---注：继续推广，()f n 为二次函数(或二次以上时)，此法仍旧可行高效，只需构造，221(1)(1)()n n a n u n v p a n un v λλ++++++=+++利用待定系数求出λ、u 与v 即可．1．3 推广之三，()f n 为指数函数：即1n n n a pa q +=+（此种类型构造等差比构造等比容易，建议讲构造等差，较好解决，下面的方法是构造等比的）例3 (08年高考四川卷20) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=-(1)证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．分析：由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-， 两式相减得：()()1121n n n n b a a b a ++--=-，即：12n n n a ba +=+ ①(1)当2b ≠时，得：112n n a λ+++=()2n n b a λ+，12b λ=-- 易得：()112222n n n a b b b-⎡⎤=+-⎣⎦-．（本小题也可以构造等差数列） (2)当2b =时，由①知122n n n a a +=+，两边除以12n +，构造等差数列， 当2b =时，由(1)知()112n n a n -=+．综合：例4 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑥将425a 3a n n 1n +⋅+=+代入⑥式，得： )y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +⋅+=+⋅++⋅++，整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +⋅=++⋅+．令⎩⎨⎧=+=+y 3y 4x 3x 25，则⎩⎨⎧==2y 5x，代入⑥式，得： )225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++ ⑦ 由013121225a 11≠=+=+⋅+及⑦式，得0225a n n ≠+⋅+，则3225a 225an n 1n 1n =+⋅++⋅+++，故数列}225a {n n +⋅+是以13121225a 11=+=+⋅+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -⋅=+⋅+，则225313a n 1n n -⋅-⋅=-．。
高三数学递归数列
当下读书风气清浊分明。书香文化气息渐浓，但读书无用论也大行其道。教了十几年的书，伤神于一届届为数众多的中学生成厌学生，痛心于一批批的青少年过早地离开了书本，抛弃了本可滋养他 们终生的知识宝库。他们过早地闯入这个科技日新月异、文明日益进步、门槛越来越高的社会，无知驱使他们沦为永世难得翻身的屌丝。
新2买球网平台 www.woBiblioteka 而今，为人师表，注定要与书相伴。只是，当今社会风气浮华虚荣，读书多为功利。带着这种目的读书，自然享受不到读书的乐趣，又哪里会品味到其中的书香呢？为师者，工作后奔波于家校之间，
操劳于烦琐的业务和家事，又有几多闲情静下心来读本好书？无怪乎不少从教者年长日久，连原有的学科专业知识都日渐萎缩。当我走下讲台，手捧一本好书，它沉甸甸的，重于千钧，贵于黄金万两。 我钟情历史和文学类书籍。闲时一杯清茶，一本诗文集，似菩提树下大彻大悟，仿佛泛舟于平静的湖面、扬帆于无边的大海。待灵感来时，执笔即兴一气呵成，那成就感比中双色球还愉快。
高三数学递归数列(PPT)5-5
【颤巍巍】（～的）形状态词。抖动摇晃的样子（多用来形容老年人或病人的某些动作）。 【颤音】ī名①颤动的声音。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音，
如俄语中的就是舌尖颤音。 【颤悠】?动颤动摇晃：他的脚步正合着那扁担～的节拍。 【羼】掺杂：～入｜～杂。 【羼杂】动掺杂。 【韂】见
名有楼的茶馆（多用于茶馆的名称）。 【茶炉】名烧开水的小火炉或锅炉，有的地区也指供应或出售热水、开水的地方：烧～。 【茶卤儿】名很浓的茶汁。 【茶农】名以种植茶树为主的农民。 【茶盘】（～儿）名放茶壶茶杯的盘子。也叫茶盘子。 【茶品】名指叶制品。 【茶钱】名①喝茶用的钱。②小费的别 称。 【茶青】ī形深绿而微黄的颜色。 【茶色】名； https:// 森林舞会；茶褐色：～玻璃。 【茶社】名茶馆或茶座?（多用于茶馆或茶 座的名称）。 【茶食】?名糕饼、果脯等食品的总称。 【茶水】名茶或开水（多指供给行人或旅客用的）：～站｜～自备。 【茶汤】名①糜子面或高粱面用 开水冲成糊状的食品。②〈书〉茶水。 【茶汤壶】名茶炊。 【茶托】（～儿）名垫在茶碗或茶杯底下的器皿。 【茶锈】名茶水附着在茶具上的黄褐色沉淀 物。 【茶叶】名经过加工的茶树嫩叶，可以做成饮料。 【茶叶蛋】名茶鸡蛋。 【茶艺】名有关烹茶、饮茶及以茶款待客人的艺术。 【茶油】名用油茶的种 子榨的油，颜色较浅，供食用，也可用来制化妆品、物等。 【茶余饭后】指茶饭后的一段空闲休息时间。也说茶余酒后。 【茶园】名①种植茶树的园子。② 旧时称戏院。 【茶砖】名砖茶。 【茶资】ī名茶钱。 【茶座】（～儿）名①卖茶的地方（多指室外的）：树荫下面有～儿。②卖茶的地方所设的座位：茶馆 有五十多个～儿。 【查】动①检查：盘～｜～收｜～户口｜～卫生｜～出病来了没有？②调查：～访｜～勘｜问题还没有～清楚。③翻检着看：～词典｜～ 地图｜～资料。 【查办】动查明犯罪事实或错误情节，加以处理：撤职～｜严加～。 【查抄】动清查并没收犯罪者的财产：～逆产。 【查处】动查明情况， 进行处理：严肃～｜对违章车辆，管理部门已予～。 【查点】动检查清楚（数目）：～人数。 【查堵】动检查堵截（从事非法活动的人或违禁物品）：～病 害畜禽制品。 【查对】动检查核对：～材料｜～账目｜～原文。 【查房】∥动检查房间内住宿等情况，特指医生定时到病房查看病人的病情。 【查访】动调 查打听（案情等）：暗中～。 【查封】动检查以后，贴上封条，禁止动用：～赃物。 【查岗】∥动①查哨。②检查岗位上工作人员的工作情况。 【查核】动 检查核对（账目等）：反复～，结算无误。 【查获】动侦查或搜查后获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～度品。 【查缉】ī动①检查（走私、偷税等活动）； 搜查：～走私物品。②搜查捉拿（犯罪嫌疑人等）：～凶手｜～逃犯。 【查检】动①翻检查阅（书刊、文件等）：这部书立
奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第三讲：递归数列
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2 （2）已知 a1 2 ， an an 1 2 an 1 4 1( n 2) ，求 an .
3 （3）已知 a1 2 ， an an 1 ( n 2) ，求 an .
解： （1）由已知得 等差数列，从而，
1 1 1 1 1 2(n 2) ，所以，数列 { } 是首项为 ，公差 d 2 的 an a1 2 an an 1
2n 1 (n N *) ，求 an . 2n 1
a2 a1 5, a a 7, 将这 n 1 个式子相加，得 解： （1 ） （累加法）由已知得 3 2 an an 1 2n 1(n 2).
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an a1 5 7 (2n 1)
2 1 1 4n 3 (n 1) 2 (n N *). ，所以 an 4n 3 an 2 2
（2） 由已知得 an 1 1 (an 1 1) 2 3 ， 即 (an 1)2 (an 1 1)2 3. 所以数列 {(an 1)2 } 是 首项为 (a1 1)2 1 ，公差 d 3 的等差数列，从而 (an 1) 2 1 3(n 1) 3n 2. 因为 an 1 ，所 以 an 1 3n 2(n N *).
an 1 q ）就是最简单的递推数 an
列.在历史上有一些很著名的递推数列，例如关于“兔子繁殖问题” ： “假定免笼中开始时有 一对大兔子，一个月后生了一对小兔子，而这对小兔子经过一个月后就长成大兔子，此后， 每对大兔子每个月生一对小兔子， 而每对小兔子经过一个月又长成大兔子， 如果不发生死亡， 问到第 n 个月时，免笼中共有多少对大兔子？”这是一个很有趣的问题，由意大利数学家斐 波那契首先提出的.原来兔笼中有一对大兔子，即 a1 1 ，第一个月，这对大兔子产下一对小 兔子，笼子中仍有一对大兔子，即 a2 1 ；第二个月，这对兔子产下一对小兔子，此时，第 一个月产下的小兔子已长成大兔子，则笼子中已有两对大兔子，即 a3 2 ；第三个月，原来 的和第一个月出生的兔子一起共有 2 对兔子各产一对小兔子， 而与此同时， 第二个出生的小 兔子也长成了大兔子，即 a4 3 ；第四个月，原来的和第一、第二个月出生的共 3 对大兔子 各产下一对小兔子，而与此同时，第三个月出生的小兔子也已长成了大兔子，此时，笼子中 共有五对大兔子，即 a5 5 ，……，按照这种“连锁反应”地繁殖小兔，来推算第 n 个月的 大兔子的总数，当 n 比较大时，我们同样需要找出一个简捷地“连锁反应关系式”来解出 an .
高中数学竞赛专题讲座---递归数列
递归数列讲座知识与方法递归（推）数列数列的表示方法大致有两类：一是通项公式；另一是递推公式．数列{}n a 的相邻几项的关系式简称为递推式．数学竞赛中遇到有关数列的问题不仅是等差、等比数列，许多是递归数列的问题．在解递归数列的问题时，有时需要根据递推关系求数列的通项，常常用到叠加法：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；适当时需要进行代数换元转化为常见数列的通项；有时需要用到从特殊到一般的、归纳－猜想证明方法（常常用到数学归纳法）．但也有一些题目并不要把数列的通项公式求出，而往往可根据题设所给的递推关系，得到新的、更明显的递推关系．而这时就需要综合运用其他数学知识．范例选讲1. 已知11=a ，52=a ，121211++=--+n n n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．解：定义11=F ，02=F ， ,4,3,21=+=--n F F F n n n 由所给关系式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+21221111111n n n a a a ,由归纳法可得 ,2,1,111111122212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++n a a a n nF F n从而1112251322526211+++-=⎪⎭⎫⎝⎛=+n n nn n F F F F F na ,因此(),2,1,15132212112=-=--+++n a n n n F F F n其中 ,2,1,2512515122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n F n n n 注：本题是今年冬令营的一个测试题．在解题时层层推进，比较容易找到思路．2. 证明数列knk k n n Ca 3012122⋅=∑=++都不能被5整除．解：10=a ，111=a ，又()()12232312322221222+-+=⋅=k k k．所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++1212122122241n n n a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=nn249122249122241．18211=+=x x c ，49212-=-=x x c ,所以()5mod 349182121----+≡-=n n n n n a a a a a ．,,10a a 除以5的余数为 ,1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1形成周期数列．()5mod 12n n a a ≡+，又前12项中没有被5整除的．∴命题得证．注：这是一个逆向运用二阶递推的例子．已知数列的通项公式无法证明所要求证的．反过来通过将数列的二阶递推关系找到，结合数列的周期性加以证明．3. 数列{}n a 满足10=a ，51=a ，() ,3,229322121=--=---na a a a n n n n ，证明n a 都是整数．解：由题意知93221212--=---n n n n a a a a ，9322211--=+-n n n n a a a a ．两式相减， 有1212211323222---+-+--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ．整理，得() ,3,23223222111=-+-+=--+-n a a a a a a n n n n n n ，将1-n 个式子联乘得11120223,223n n n a a a a a a +-+-=+-又132=a ．所以322511-+=-+n n n a a a （＊），可得()32213211--=---+n n n n a a a a ，又03201=--a a ，所以0321=---n n a a （１）， 由此可推知Z a n ∈．又由（＊）式推知()3223211+-=+--+n n n n a a a a ，又123201=+-a a 所以n n n n a a 262123211⋅=⋅=+---．与（１）联立可解得322-=+n n a ．注：本题已知数列的一个递推关系是分式形式的，证明＂n a 都是整数＂有一定的难度．因此通过整理变形得到数列的另一个递推公式：0321=---n n a a ．这样证明起来变得容易了．另外本题也可通过先求数列的前几项，再根据结果猜测数列满足0321=---n n a a ，再用数学归纳法加以证明．4. 求证：由31=a ，52=a 及不等式()N n n na a a n a a n n n n n ∈≥+<<-+-+-,21111可唯一确定正整数列{}n a ．解：（1）先证明3+=n n F a 是满足条件的．（{}n F 为斐波那契数列）413F a ==，413F a ==均成立． ∵12213=-F F F .当3≥k 时,()()()21221112111-------+--=+-+=-k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F ,因为()()()()()222132212211111-----+-=--==--=-n n n n n n n n F FF F F F F F F ．若对所有N n ∈，3+=n n F a ． 则验证2≥=k n 时，()123242111+++++--=-=-k k k k kk k F F F a a a ,所以k a a a k k k k <≤-≤-<-+-11211，na a a n a a k k k k k +<<-+-+-1111．存在数列{}n a ．（使{}n a 中每个3+=i i F a ）（２）下证：{}n a 唯一确定．用数学归纳法证明3+=n n F a 且22+≥n a n （＊）．3=n 时，92232371223122=+<<-=<a a a a a ．事实上由已知不等式可推得12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ，因为N a ∈3，所以83=a ，同时2323+⨯≥a ．所以（＊）成立．4=n 时，1456733561122234223<=+<<-=<a a a a a ，又N a ∈4，所以134=a ．另外，2424+⨯≥a ，所以（＊）成立．设1-=k n 及()4≥=k k n 时（＊）成立．则1+=k n 时， 因为()12122211212=+-≤=--+---k ka k a k a a k a k k k k k ，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1212,k k k k a k a a k a 中至多只有一个整数． N a k ∈+1，且12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ,所以1+k a 确定为4+k F ．且()()21222212341++≥++≥+=+==+++++k k k a a F F F a k k k k k k ．所以1+=k n 时，（＊）成立． 因此{}n a 唯一确定．证毕．综合（１）（２），可发现⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+++33325125151n n n n F a ． 注：本题用同一法证明．在证明过程中用到了数学归纳法． 5. 数列{}n a 定义如下：01=a ，12=a ，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+=--2111212121n a n n na a n n n n ()3≥n ．试求()11222211132a nC a C n a C a C a f n n n n n n n n n n ----+-++++= 的最简表达式．解：由题意知()()()2112121--+-+=+--n a n n na a n n n n ，所以()()()()!21!2!1!2121n n n a n a n a n n n n --+-+-=+--,令!n a b n n =，01=b ，212=b ．则()()!212121n n b b b n n n n --++=+--,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-------!111!21221211n b b n b b n n n nn n ，令()!111n b b c nn n n ---=-，则121--=n n c c ，又02=c ，所以()!111n b b nn n -+=-.另一方面，()()()∑∑==--⋅-+=-+=nk k n k k kn nn a k k n n k n a Ck n f 11!!!11．令()∑=--+==nk k n n b k n kn n f g 1!1!，()()k nk k n k n n b k n kn b k n kn g g ⋅--+-⋅-+-+=-∑∑=+=+1111!1!12()()()()1121212!2!12!12-+=-=+=-⋅--+=⋅+--+-⋅-+-+=∑∑∑k kn k k nk k n k b bk n kn b k n kn b k n kn()()()()()()∑∑∑+==+=+--+--=-⋅+--+=12212!!11!!1!1!12n k knk k kn k k k n k k n k k n kn ()()()()()()[]11!111!11!111!11212+-+---=-++-=∑∑+=+=n n n n C n Cn n k kkn nk kkn()()!11!11+--=n n又342323=+=b b g ，所以()()1!2!11!1!31!21!3+-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=n n n n g n f n ． 注：这是2000年冬令营的测试题．由已知条件比较容易根据题设的条件想到将数列{}n a 的递推关系除以!n ，从而得到{}n b 的递推关系：()!111n b b nn n -+=-．同时也应将n f 的两边同除以!n ，先求出n g 与1-n g 的关系．6. 设数列{}n a 的通项公式为()()N n a nnn ∈--=312；数列{}n b 的定义如下：20=b ，251=b ，()()N n b b b b n n n ∈--=-+12112．求证：对一切自然数n ，都有[]na nb 2=．证：我们证明更强的命题：N n b nna a n ∈+=-,22,易知数列{}n a 的特征方程是022=--x x ，所以{}n a 的递推公式是N n a a a n n n ∈+=++,212，故N a n ∈．下面用数学归纳法证明加强的命题．(1) 当1=n 时，11=a ，112225-+==b ，命题成立．(2) 假设当k n ≤时，命题成立，都有kkaa kb -+=22．当1+=k n 时，()()()[]12111211222222b b b b b k k kka a a a k k k --++=--=-----+()()1222222bkkkka a a a -++=--122)2(211112222b k k k k k k k k a a a a a a a a -+++=----+--+-+12211112222b k k k k k k a a a a a a -+++=--+++---,而()()[]kkkkk k a a 1222123121-⋅+⋅---=--()[]()1111331++-=-⋅=k k ．所以121=--k k a a ，112225222211b k k k k a a a a ==+=+-+----．所以11221++-++=k k a a k b ， 当1+=k n 时命题也成立．由（１）（２）可知，加强命题成立．同时，又因为N a n ∈,所以[]na nb 2=，原命题得证．注：本题的关键在于加强命题N n b nna a n ∈+=-,22．然后用数学归纳法加以证明．在加强命题之前可通过计算数列的前几项找到规律．7. 设()m a a a A ,,,21 =是由m 个数{}m i a i ,,2,1,1,0 =∈组成的数组．定义运算S 如下：(){}m m b b b b b b A S 2124321,,,,,,-= ，其中当1=i a 时，012=-i b ，12=i b ；当0=i a 时，112=-i b ，02=i b ，m i ,,2,1 =．用()A Sn表示()()() A S S S （n 个S ）．取()1=A ．问在()()n a a aA S n221,,, =有多少对由连续两项组成的数对()1,+i i a a ，满足01==+i i a a ？解：()1=A 时，()()na a a A Sn221,,, =中满足01==+i ia a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n f ，满足0=i a ，11=+i a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n g ．由题意知，()A Sn中数对()0,0必由()A S n 1-中的数对()1,0经运算S而得到，而()A S n 1-中的数对()1,0必由()A S n 2-中的1或数对()0,0经运算S 而得到．由于()A Sn 2-是22-n 数组，其中有一半的项（即32-n ）为1，所以可得如下递归关系：2312---+==n n n nf g f ． ∴当n 为奇数时， =++=+=-----45323222n n n n n n f f f 3122222110253-=+++++=---n n n f当n 为偶数时，31222212153+=++++=---n n n n f f ．∴()()1n S 中，连续两项是0的数对有()[]nn 12311-+-个．注：本题是个应用题，关键在于通过题意找到递归关系．训练题1. 设{}n a 中的每一项都是正整数，并有21=a ，72=a ，()32121221≥≤-≤---n a a a n n n ．证明：自第二项开始，数列的各项都是奇数．2. 已知00=a ，11=a ，()1221>+=--n a a a n n n ．证明：n a kn k22⇒．3. 已知数列{}n a 满足：11=a ，22=a ，且212212-++=n n n a a a ，() ,2,121222==++n a a a n n n ，试求数列的通项公式．4. 设d 为正整数，求()d x x x n mod 021≡++ ，()n i dx i ≤≤<<10的解()n x x x ,,,21 的个数．。
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 线性递归数列.pdf
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 线性递归数列
【基础知识】
1、概念：①、递归式：一个数列中的第项与它前面若干项，，…， （）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：
类型Ⅰ：（一阶递归）
其特例为：（1） （2）
（3）
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：（二阶递归）
解题方法：利用特征方程，求其根、，构造，代入初始值求得。
类型Ⅲ：其中函数为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】
例1、已知数列满足以下递归关系，求通项。
例2、已知数列满足，求通项。
例3、已知数列满足，求通项。
例4、已知数列满足，求通项。
例5、由自然数组成的数列，满足，，求。
例6、已知数列满足，（），求。
例7、已知，且，方程有唯一解，设（），求。
例8、已知数列中，，，求。
例9、设正数列满足，证明（，，，…）
【练习】
1、已知数列满足以下递归关系，求。
（1），（）
（2），（） （3），（）
（4），（） （5），（为前项和）
（6），（） （7）
2、已知数列和中，，，且，，求和。
3、已知，（，1，2，3，4，…），证明（）。
4、已知数列满足：，证明是不能被3整除的整数。
高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列
高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列高中数学知识点归纳：数学归纳法与递归数列数学归纳法和递归数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在解决数列、证明问题以及推理推广中发挥着重要的作用。
下面将对数学归纳法与递归数列进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这两个概念。
一、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明以及构造数学问题解决方案的重要方法。
它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。
基础步骤：首先，我们需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这个特定值通常是一个自然数，比如n = 1 或 n = 0。
通过验证这个基础步骤，我们确保了对于第一个自然数命题成立。
归纳假设：接下来，我们假设当n = k时，命题成立，其中k是一个正整数。
这个假设被称为“归纳假设”。
归纳推理：最后，我们需要证明当n = k+1时，命题也成立。
这一步通常是通过使用归纳假设，并根据命题的规律进行推理得出的。
通过这样的步骤，我们可以推广这个命题对于所有自然数n成立的结论。
数学归纳法在证明数学命题中使用广泛，特别是在数列和等式的证明中。
二、递归数列递归数列是指一个数列的每一项都是前面一些项的函数。
通常，递归数列的第一项和第二项是已知的，而后面的项则通过递归关系得到。
常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n≥2斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
2. 阶乘数列：阶乘数列的定义如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1阶乘数列的特点是每一项都是前一项与当前项的乘积。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
递归数列在数学中具有重要的应用，例如在组合数学、概率论以及计算机科学等领域有广泛的应用。
综上所述，数学归纳法和递归数列是高中数学中重要的知识点。
高中数学竞赛之数列 huangyuelong文档
2、 若方程有两等根 A B, 则 a n (c1 nc 2 ) A 其中 c1 、 c 2 可由初始条件确定。
n
很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生难以接受。 下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源” 。 设 a n 1 ta n s ( a n ta n 1 ) ，则 a n 1 ( s t ) a n sta n 1 ,令 （1） 若方程组（*）有两组不同的解 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) , 则 a n 1 t1 a n s1 ( a n t1 a n 1 ) , a n 1 t 2 a n s 2 ( a n t 2 a n 1 ) , 由等比数列性质可得 a n 1 t1 a n ( a 2 t1 a1 ) s1
பைடு நூலகம்
所以
借助于辅助数列 {
例 6 已知数列 {an } 满足 a1 2 ，当 n 2 时， an
例 7 设数列 a n 满足 a1 2, a n 1
5a n 4 （我们通常也可以采用参数法，同学们 , 求a n 。 2a n 7
可以比较两种方法的不同数学思想） 解： 对等式两端同加参数 t 得
高中数学竞赛讲义
一. 知识归纳 1. k 阶递归式
第五章
数列（二）
对 于 数 列 {an } ， 若 项 an k 与 项 an , an 1 ,..., an k 1 之 间 满 足 函 数 关 系 式 。由此 an k f (an k 1 , an k 2 ,..., an ) (n N ) ，则称此关系式为 k 阶递归式（又称递推式） 递归式和初始值 a1 , a2 ,..., ak 所确定的数列 {an } 称为 k 阶递归数列。数列的递归式分线性递 归式和非线性递归式两种情况。 2. an 1 an f ( n) 型递归式：利用累加法可得 an a1 3. an 1 f ( n) an 型递归式：利用累乘法可求。 4. an 1 pan q ( p 1) 型递归式：凑出一个等比辅助数列 5. an 1 pan q ( p 1) 型递归式：变形为
高中数学奥赛辅导系列 线性递归数列教案
线性递归数列【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式． ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列．2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等．3、思想策略：构造新数列的思想．4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．类型Ⅱ：2112(00),(n n n a pa qa p q a a a b a b ++=+≠≠⎧⎨==⎩，，为常数）（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得A B ，． 类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成．解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型．【例题】例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a ．例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a ．例3、已知数列}{n a 满足112(2)1n n a na n a +=+⎧⎨=⎩≥，求通项n a ．例4、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a ．例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a ．例6、已知数列}{n a 满足101=a ，4411n n a n n a +=+（1n ≥），求n a ．例7、已知)2()(+=x a x x f ，且21)(0=x f ，方程x x f =)(有唯一解，设)(1-=n n x f x （n ∈N ），求n x ．例8、已知数列}{n a 中，11=a ，)24141(1611n n n a a a +++=+，求n a ．例9、设正数列}{n a 满足21n n n a a a +-≤，证明12n a n +≤（2=n ，3，4，…）【练习】1、已知数列}{n a 满足以下递归关系，求n a ．（1）11=a ，1251+=+n n a a （n ∈N ）（2）11=a ，121-+=+n a a n n （n ∈N ）（3）21=a ，na n n a n n 211+-=+（n ∈N ） （4）11=a ，n n a n S 2=（n S 为前n 项和）（5）101=a ，4110n n a a =+（2n n ∈N ≥，） （6）⎩⎨⎧==+=++1322112a a a a a n n n 2、已知数列}{n a 和}{n b 中，101-=a ，131-=b ，且n n n b a a 421+-=+，n n n b a b 751+-=+，求n a 和n b ．3、已知00=x ，114521++=+n n n x x x （0=n ，1，2，3，4，…），证明n x ∈N （n ∈N ）． 4、已知数列}{n a 满足：)31(arccos cos 3n a n n =，证明n a 是不能被3整除的整数．。
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。
在这节数学精品课的辅导公开课中，我们将深入解析数列与递推关系，帮助同学们更好地掌握相关知识，并在竞赛中取得优异成绩。
一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。
通常用字母表示，如a₁、a₂、a₃，其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，还存在其他特殊数列，如斐波那契数列、递增数列等。
二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质，根据已知项与后一项的关系，可以推导出数列中的其他项。
2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。
通常用递推公式表示，如an = an-1 + d，其中an-1表示前一项，d为公差。
2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件，逐步推导出数列的后续项。
常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。
2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律，根据已知的条件得出数列的递推关系。
这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。
2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。
通过多次差分，可以得出数列的递推公式。
2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式，进而推导出数列的递推关系。
这种方法适用于等差数列和等比数列。
三、常见数列问题的解析在数学竞赛中，常常会出现与数列与递推关系相关的问题。
下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。
递归数列及其性质-高中数学知识点讲解
递归数列及其性质1．递归数列及其性质1．对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方n N a ＝（f a ，a ，，a ）k k*n n﹣1 n﹣2 n﹣k程，由阶递归关系及给定的前项的值（称为初始值）所确定的数列称为阶递归数列．若是k k a，a ，，a k f1 2 k线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题．2．求递归数列的常用方法：①公式法：{a } a d a ＝a （n﹣m）d是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；n 1 n m是等比数列{a } ，首项为a ，公比为q ，则其通项为푎푛=푎푚푞푛―푚；n 1푆1，(푛=1)已知数列的前项和为，则={n S S푆푛―푆푛―1，(푛≥2)．n n②迭代法：迭代恒等式：；a a a a a a a a a a a a＝（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 n﹣2 n﹣3 3 2 2 1 1푎푛푎푛―1푎푛―2푎푛―3푎3푎2迭乘恒等式：=푎푛―3×a 푎푛―4×⋯×0푎푛―1×푎푛―2×푎2×푎1×a1，；（）ann迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；a＝b，a ＝a （f n）a1 n 1 n n类型二：已知求通项；a＝b，a ＝（f n） a a1 n 1 n n③待定系数法：类型三：已知，求通项；a＝b，a ＝pa q1 n 1 n④特征根法：类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为，其特征方程为，x 2＝px 1 qx（n 1，p、q为常数q 0）x2＝pxq n n n其根为特征根．（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确、x ＝A n B（n n 1）A、Bn定；1/ 2（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确x ＝[A B（n﹣1）]n﹣（1 n 1）A、Bn定．典型例题：已知数列满足求数列的通项．{a } *a1＝2，a2＝3，a n2＝3a n﹣12a（n n N ）{a }a n nn解：其特征方程为，解得，令，x2＝3x﹣2x1＝1，x2＝2 a ＝A1n B2nn퐴=1푎1=퐴+2퐵=2푎2=퐴+4퐵=3，得到{ 由{퐵=1，2所以＝．a 1 2n﹣1n2/ 2。
高三数学第二轮复习递归数列 人教版
高三数学第二轮复习递归数列 人教版1.迭代加法使用于能变形为a n -a n-1=f(n)或a n+1-a n =f(n)的数列.例:已知数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +2n ,n ∈N *求a n . 解:由题意知: a n+1-a n =2n 且a 1=2 ∴a 2-a 1=2×1a 3-a 2=2×2 ……a n -a n-1=2(n-1)以上各式相加得:a n -a 1=2[1+2+3+…+(n -1)] ∴a n =n 2-n+2.思考:若具有a n+1-a n =f(n)我们宜用迭代加法， 若具有a n+1+a n =f(n)我们如何处理呢？ 我们看∵a n+1+a n =f(n)……① ∴a n +a n-1=f(n-1)……②①-②得a n+1-a n-1= f(n)- f(n-1)故原数列中每隔一项抽出组成的新数列可使用迭代加法. 例、（天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，则100S =_ ___.例：（江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n}的通项公式. 解：方法一：先考虑偶数项有：2121222113()3()22n n n n S S ----=⋅-=-⋅23232224113()3()22n n n n S S -----=⋅-=-⋅ ………3342112()3().22S S -=⋅-=-⋅2123321233222111111113[()()()]3[()()()]2222222111()111122434[()]2()(1).1224214n n n n n n n n S S n -----∴=-+++=-++++-=-⋅=--⋅=-+≥-同理考虑奇数项有：222121113()3().22n nn n S S ---=-=⋅22222123113()3()22n n n n S S -----=⋅-=⋅……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S222222112212212122212122211111113[()()()]2()(1).22221112()(2())43()(1).2221112()(2())43()(1).2221.n n n n n n n n n n n n n n n n S S n a S S n a S S n a S -+-++---∴=++++=-≥∴=-=---+=-⋅≥=-=-+--=-+⋅≥==综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n方法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n)1(-，可得：.)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n nn n n n a a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n nn所以,)21(311---⋅-=-n n n b b ,)21(3221----⋅-=-n n n b b………23213(),2b b -=-⋅-212222111()1114423[()()()]3122212n n n n b b b ----⋅∴=-+++=-⨯-).3()21(32312≥⋅+-=-n b n 又11221351,1,22a S a S S ===-=--=-1211225(1)1,(1)2b a b a ∴=-=-=-=-∴1153113()43()(1)2222n n nb n --=--+⋅=-+⋅≥ ∴11(1)4(1)3(1)()2nnnn n n a b -=-=--+⋅-⋅31143(),,2143(),.2n n n n --⎧-⋅⎪⎪=⎨⎪-+⋅⎪⎩为奇数为偶数 例:已知数列{a n }的相邻两项a n 、a n+1是方程x 2+3nx+C n =0的两根,n ∈N *,当a 1=1时,求C 1+C 2+…+C 2p 的值. 解:由题意知a 2n-1、a 2n 是方程 x 2+3(2n-1)x+C 2n-1=0的两根∴a 2n-1+a 2n =-3(2n-1)…………① 同理a 2n +a 2n+1=-3·2n………② ②-①得a 2n+1-a 2n-1 =-3 ∴奇数项通项为a 2n-1=4-3n 偶数项通项为a 2n =-1-3n 据题意C 2k-1=a 2k-1·a 2k =9k 2-9k-4C 2k =a 2k ·a 2k+1=9k 2-1 ∴C 1+C 2+…+C 2p=(C 1+C 3+…+C 2p-1)+(C 2+C 4+…+C 2p ) =…… = p 2 (12p 2+9p-13). 2.迭代乘法 使用于能变形为a n+1a n=f(n)的数列. 例:已知数列{a n }中, a 1=2, a n+1= n+1n ·a n ,n ∈N*, 求a n .解: 由题意知 a n+1 a n = n+1n∴a 2 a 1 =21 a 3 a2 = 32……a n a n-1 =nn-1以上各式相乘得a na 1=n ∴a n =2n.3. 深层迭代法 (对a n = pa n-1+f(n)型) 当p=1时,可用迭代加法; 当p≠1时,可用深层迭代法. 例: 数列{a n }中a 1=1,满足递推式a n =- 1 3 a n-1+23(n≥2), 求a n . 解:∵a n =- 1 3 a n -1+23 (n≥2)∴a n =- 1 3 (- 1 3 a n-2+ 2 3 )+23=(- 1 3 )2a n -2+(- 1 3 )· 2 3 +23 =……=(- 1 3 )n-1a 1+(- 1 3 )n-2· 2 3 +…+(- 1 3 )· 2 3 +23 =12 [(- 1 3 )n-1+1].4.由递推公式构造辅助数列 类型一a n = pa n-1+q 型 可构造成等比辅助数列:a n - q 1-p =p(a n-1- q 1-p)证明：由a n -x=p(a n-1-x) 则a n =pa n-1-px+x 令x-px=q 得x=q 1-p.例: 数列{a n }中a 1=1,满足递推式a n =- 1 3 a n-1+23(n≥2)求a n .解:由a n =- 1 3 a n-1+23 (n≥2)得a n - 1 2 =- 1 3 ( a n-1- 1 2 )而a 1=1 ∴{a n -1 2 }是以12 为首项以- 13为公比的等比数列 故a n - 1 2 = 1 2 (- 1 3 )n-1∴a n = 1 2 (- 1 3 )n -1+12.类型二:递推公式中含有a n 、a n-1、a n-2连续三项的一次关系式时, 通常拆分中间项,使之与前后两项分别结合, 变形为形式a n -pa n-1=q(a n-1-pa n-2),进而构造辅助等比数列. 当不容易变形时,可用待定系数法. 比如,对于a n =4a n-1-4a n-2 可令a n -pa n-1=q(a n-1-pa n-2) 整理得a n =(p+q)a n-1-pqa n-2 于是有p+q=4且pq=4 可得p=q=2故可变形为a n -2a n-1=2(a n-1-2a n-2). 进而构造辅助等比数列.例（广东卷，10）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212nn n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则=1x ( )（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５类型三:形如k ·a n+12 +t ·a n+1·a n +p ·a n 2=0递推公式是关于a n+1、a n 的二次齐次式,可以同除以a n 2,得 a n+1 a n 的一元二次方程.构造 a n+1a n=f(n)形式,进而用迭代乘法. 练习:设{ a n }是首项为1的正数列且(n +1)a n +12=na n 2- a n +1·a n , n ∈N* 求a n . 答案: a n =1n.类型四:形如k ·a n+1 +t ·a n+1·a n -k ·a n =0(t ·k≠0) 可以同除以a n+1·a n 得:k a n+1 - ka n=t .进而构造等差辅助数列.递推公式的特点是a n+1与a n 都是一次,系数相反,含交叉项a n+1·a n ,无常数项. 例(重庆卷，文22)数列{a n }满足a 11且8a n 1 a n 16a n 12a n 50 (n ≥1)。
高中数学竞赛辅导第九讲数列与递进
高中数学竞赛辅导第九讲高中数学竞赛辅导第九讲 数列与递进数列与递进知识、方法、技能知识、方法、技能数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, , a a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有项和，则有îíì³-==-).2(),1(11n S S n S a n n nI ．等差数列与等比数列．等差数列与等比数列 1．等差数列．等差数列（1）定义：.2)(211++++==-n n n n n aa a d a a 或常量（2）通项公式：a n=a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=（4）等差中项：.221+++=n n n aa a（5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质：）性质：①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数；的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数；的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列；仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{nS n 是等差数列；是等差数列；⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；是等差数列；⑦设{a n }与{b n }是等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1，λ2是常数）也是等差数列；是常数）也是等差数列；⑧设{a n }与{b n }是等差数列，且b n ∈N*，则{a bn }也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{a n}是等差数列，则{na C}（c>0, c ≠1）是等比数列. 2．等比数列．等比数列 （1）定义：nn n n nn a a a a q a a 1121),(++++==或常量（2）通项公式：a n =a 1q n －1. （3）前n 项和公式：ïîïíì¹--=--==).1(11)1().1(111q q q a a q q a q na S n nn（4）等比中项：.21++±=n n n aa a（5）任意两项：a n =a m qn －m. （6）无穷递缩等比数列各项和公式：）无穷递缩等比数列各项和公式： S=).1||0(1lim 11<<-==¥®+¥=åqqa S a n n n n（7）性质：）性质：①设{a n }是等比数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m ·a n =a p ·a q；②设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …，…， S pm －S (p －1)m (m>1, p ≥3，m 、n ∈N*)仍为等比数列；仍为等比数列；③设{a n }是等比数列，则{λa n }（λ是常数）、{mn a }（m ∈Z*）仍成等比数列；）仍成等比数列； ④设{a n }与{b n }是等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列；也是等比数列；⑤设{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ∈Z*，则{a bn }是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；⑥设{a n }是正项等比数列，则{log c a n }(c>0, c ≠1)是等差数列. 赛题精讲例1 设数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1(n=1, 2,…)，数列{b n }满足b 1=3, b k+1=b k +a k (k=1,2，…)，求数列{b n }的前n 项之和. （1996年全国数学联赛二试题1）【思路分析】欲求数列{b n }前n 项和，需先求b n . 由a k =b k+1－b k , 知求a k 即可，利用即可，利用 a k =S k －S k －1(k=2, 3, 4,…)可求出a k . 【略解】由S n =2a n －1和a 1=S 1=2a 1－1,得a 1=1, 又a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1,即a n =2a n －1,因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则有a n =2n －1. 由a k =b k+1－b k ，取k=1,2,…,n －1得 a 1=b 2－b 1, , a a 2=b 3－b 2, , a a 3=b 4－b 3, …, , a a n －1=b n －b n －1,将上面n －1个等式相加，得b n －b 1=a 1+a 2+…+a n . 即b n =b 1+a 1+a 2+…+a n =3+(1+2+22+…+2n －1)=2n －1+2,所以数列{b n }的前n 项和为S n ′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n －1）=2n+2n－1. 【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法. 例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形. 【思路分析】由△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d, 60°, 60°+d ，其中d 为常数；又由对应的三边a 、b 、c 成等比数列，知b 2=ac ，或将三边记为a 、aq 、aq 2，其中q 为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c. 【证】设△ABC 的三个内角为A 、B 、C 及其对边a 、b 、c ，依题意b 2=ac, ∠B=60°. 【方法1】由余弦定理，得,,2160cos 2cos 22222ac ac c a acb c a B =-+==-+=所以整理得(a －c)2=0因此a=c. 故△ABC 为正三角形. 【方法2】设a 、b 、c 三边依次为a 、aq 、aq 2，由余弦定理有，由余弦定理有 cosB=2160cos 2)()(22222==××-+aqa aq aq a ,整理得q 44－2q 22+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC 为正三角形. 【方法3】因为b 2=ac, 由正弦定理：由正弦定理：(2RsinB)22=2RsinA ·2RsinC （其中R 是△ABC 外接圆半径）即sin 22B=sinA ·sinC ，把，把 B=60°代入得sinA ·sinC=43，整理得21[cos(A －C)－cos(A+C)=43，即cos(A －C)=1,所以A=C ，且∠B=60°，故此△ABC 为正三角形. 【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d 代入sin 2B=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)= 43，即21[cos(2d)－cos120°]= 43. 得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C ，故△ABC 为正三角形. 【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角. 例3 各项都是正数的数列{a n }中，若前n 项的和S n 满足2S n =a n +na 1,求此数列的通项公式. 【思路分析】【思路分析】 在S n 与a n 的混合型中，应整理成数列{S n }的递推式或数列{a n }的递推式，然后用递推关系式先求出S n ，再求a n ，或直接求a n .本题容易得到数列{S n }的递推式，利用a n =S n －S n －1先求出S n ，再求a n 即可. 【解】n ≥2时，将a n =S n －S n －1代入2S n =a n +na 1,得2S n =S n －S n －1+11--n n S S ,整理得整理得,1),2(111212==³=--a S n S S n n 且所以数列}{2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即),2(1,,1)1(112³--=-===×-+=-n n n S S a n S n n S n n n nn 从而当n=1时，由2S 1=a 1+na 1,得a 1=1也满足1--=n n a n. 故数列{a n }的通项公式为1--=n n a n. 【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足S n 与a n 混合型中的通项公式. 例4 设数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系为S n =－ba n +1－nb )1(1+，其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.（1）求a n 与a n －1的关系式；的关系式；（2）写出用n 与b 表示a n 的表达式. 【思路分析】利用S n =a n －a n －1(n ≥2)整理出数列{a n }的递推关系式求a n . 【解】（1）21111)1(1)1(11b a b ba S a +=+-+-==得当n ≥2时，a n =S n －S n －1= －b a n +1－nn n n n nb b ba ba b ba b )1(])1(11[)1(1111+++-=+-+--+---,整理得整理得,41,1)2((*))2()1(1111==³+++=+-a b n b ba bb a n n n 时当,212111+-+=n n n a a 两边同乘以2n ，得2n a n =2n －1a n －1+21,可知数列{2n a n }是以2a=21为首项，公差为21的等差数列所以2,221)1(2121+==-+=n n n nn a n n a 即当b ≠1，b ≠－1时，时，由（*）式得(1+b)na n =b(1+b)n －1a n －1+bb +1.)1(1,)1(.)1(1)1()1(11111-----++=+=+++=+n n n n n n n n n n nbb c c a bb c bb a bb a bb 则令有从而数列{c n －c n －1}就是一个等比数列，n 取2，3，…，n 得 ,)1)(1()1()1)(1(1)1()1(,)1)(1(1)1111(11,111),111(111,)1(1,,)1(1,)1(111112111211122312+------+--=+--×+=×+=+--=+++++=+=+=++++=--+=-+=-+=-n n n nnnn nn n n nn n n n n n n b b b b b b bb b bc b b a b b bb b bbb c ba bb c bb b bc c n b b c c bb c c bb c c 从而所以且个式子相加得上述故数列{a n }的通项公式为的通项公式为ïïîïïíì±¹+--==+.1)1)(1()1(,1,21b b b b b b na n nn n【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了辅助数列{c n }、{c n －c n －1}，使数列{c n －c n －1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解. 例5 n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列a 11 a 12 a 13 a 14…………a 1n a 21 a 22 a 23 a 24…………a 2n a 31 a 32 a 33 a 34…………a 3n a 41 a 42 a 43 a 44…………a 4n … … … … ………… …a n1 a n2 a n3 a n4…………a nn 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24=1, a 42=81，a 43=163,求a 11+a 22+a 33+…+a nn .（1990年全国高中数学联赛试题）年全国高中数学联赛试题）【思路分析】求和需要研究a 11和a kk ，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a 1k和q,又每行成等差数列，需要求得a n 和第一行的公差d ，因而本题利用已知建立a n 、d 和q 之间关系，使问题获解. 【解】设第一行数列公差为d ，各列数列公比为q.因为2a 43=a 42+a 44, 所以a 44=2a 43－a 42=2×163－81=41.又因为a 44=a 24·q 22=q 22,所以q=21,于是有于是有ïïîïïíì=+=×==+=×=,81)21)((,121)3(31131242111424d a q a a d a q a a解此方程组，得d=21,a 11=21. 对于任意的1≤k ≤n,有.2212,22112211)211(2122121212121,2332221,,2)21](21)1(21[])1([133221111132132332211111111nn nn n nn nn nn nn kk k k k kk n a a a a n n n S n S a a a a S k k q d k a q a a --=++++--=---=-++++=++++=++++==-+=-+=×=-++++--- 故两式相减得则有设【评述】数列求和应先研究通项，通项c n =a n b n ，其中{a n }成等差为九列，{b n }为等比数列，数列{c n }的求和用错项相减去. 例6 将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n 组有(2n －1)奇数进行分组：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1组）（第2组）（第3组）组）问1991位于第几组中？位于第几组中？（1991年全国高中数学联赛试题）年全国高中数学联赛试题）【思路分析】【思路分析】思路需要写出第思路需要写出第n 组的第1个数和最后一个数，1991介于其中，而第n 组中最后一个数是第（1+3+…+2n －1）=n 2个奇数为2n 2－1. 【解】因为1+3+5+…+(2n －1)=n 2所以前n 组共含有奇数n 2个，第n 组最后一个数即第n 2个奇数为2n 2－1,第n 组第一个数即第n －1组最后一个数后面的奇数为[2(n －1)2－1]+2=2(n －1)2+1.由题意，有不等式由题意，有不等式2(n －1)2+1≤1991≤2n 2－1. 解得(n －1)2≤995且n 2≥996，从而n ≤32且n ≥32， 故n=32，即1991位于第32组中. 【评述】应用待定的方法，假定位于第n 组中然后确定n 即可. 例7 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和，证明项和，证明.log2loglog15.025.05.0++>+n n n S S S（1995年全国高考题）年全国高考题）【思路分析】要证原结论成立，只需证S n S n+2<21+n S 成立，用等比数列前n 项和公式表示或建立S n 、S n+1、S n+2的关系，用比较法证之. 【证法1】设{a n }的公比为q,由题设知a 1>0, q>0. （1）当q=1时，S n =na 1，从而，从而S n S n+2－21+n S =na 1(n+2)a 1－21a (n+1)2=－21a <0. （2）当q ≠1时，,1)1(1qq a S n n --=0)1()1()1()1)(1(2122121222112<-=------=-+++-nn n n n n n qa q q a q q q a S S S由①、②知.212++<n n n S S S根据对数函数的单调性，得根据对数函数的单调性，得log2logloglog)(log15.025.05.0215.025.0++++>+>n n n n n n S S S S S S 即【证法2】设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0, q>0. 因为S n+1+=a 1+qS n , S n+2=a 1+qS n+1, 所以S n S n+2－21+n S =S n (a 1+qS n+1)－(a 1+qS n )S n+1=a 1(S n －S n+1) =－a 1(S n+1－S n ) =－a 1a n+1<0. 即.212++<n n n S S S （以下同证法1）. 【评述】明确需要证212++<n n n S S S ，建立S n 、S n+1、S n+2之间的关系较为简单. 针对性训练题1．设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13, 且a 1>0, Sn 为其前n 项之和，求S n (n ∈N*)中最大的是什么？中最大的是什么？（1995年全国高中数学联赛题）年全国高中数学联赛题）2．一个等比数列{a n }的首项a 1=2－5，它的前11项的几何平均数为25，若在前11项中抽出一项中抽出一项后的几何平均数为24，求抽去的是第几项？，求抽去的是第几项？11,,11,11+++a a a 成等差数列。
高中数学竞赛辅导讲座-数列(二)
高中数学竞赛辅导讲座—数列（二）【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列{a n }中的第n 项a n 与它前面若干项a n-1,a n-2…a n-k ，（k<n ）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法，不动点法，归纳猜想等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =A αn +B βn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
5、与递归数列有关的综合问题，一般可先求其通项公式，利用通项公式，结合多方面的知识和各种数学方法加以解决。
如与不等式结合的综合题，就利用比较法、放缩法等。
若给出的数列难于求通项，可借助与构造法、数学归纳法、函数与方程的知识等加以解决。
【例题选讲】1、已知a 1=2，a n=1n 2a 2-+，求数列{a n }的通项公式。
解：由数学归纳法，不难证明0< a n <2(n=1,2,….),故可设a n =2cos θn （0<θn <2π）,于是2cos θn =1n 2a 2-+=2cos 21n -θ故θn =21θn-1 ，由a 1=2，得θ1=4π因此，θn =θ1（21）n-1=12+n π，所以a n =2cos 12+n π 2、正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇因子（例如g （3）=3，g （20）=5），求g （1）+ g （2）+ g （3）+……..+ g （2n ）(其中n ∈N*)解：设S n = g （1）+ g （2）+ g （3）+ ……. g （2n ）,则易知S 1= g （1）+ g （2）=2 由g （k ）定义知：当k 为奇数时，g （k ）=k ；当k 为偶数，即k=2m （m ∈N*）时，g （k ）=g （m ）。
数学竞赛中的递推数列问题
= 2 + ( b1 - 1) n - 1 .
n 由于 b1 = 3 , 故有 S′ n = 2 + 2 n - 1.
由 a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 7 , 均不是 4 的倍数 , 为此 我们猜测{ an } 中所有的项都不是 4 的倍数 . 事实上 , 假设 am 是 4 的倍数 , m 为最小下标
an = a n 1
= =
2 an - 1 + 2 an - 3 - 3
an a1
2
= …
2 a2 + 2 a0 - 3
= 5 ( 容易求得 a2 = 13) .
+ an - 3 + a n -
4
( 1)
故 2 an + 2 a n - 2 - 3 = 5 a n - 1 , 即有 an - 2 an - 1 - 3 =
n- 2 = 2 n - 1・ S1 + 2 + 2 n - 3 + …+ 2 + 1
迭代法就是反复运用题设所给数列{ an } 的递推 关系进行代换 , 每代一次 , 脚标 n 就往下降 , 直到能 用初始值表示 an 为止 . 但是在大多数情况下 , 迭代 之后不能写成简单的形式 , 因此迭代不出任何结果 , 这时也可考虑进行适当的变换 , 然后再进行迭代 . 例 1 ( 1996 年全国高中数学联赛试题 ) 设数
41
证 由递推关系可知 an , an + 1 , an + 2 的奇偶性
= ( 2 - 1) + ( 22 - 1) + …+ ( 2 n - 1 - 1) + nb1
= 1 + 2 + 2 + …+ 2
高中数学竞赛联赛导引 函数 数列 数学归纳法 整数
高中数学竞赛联赛导引 函数 数列 数学归纳法 整数一,基础知识导引 <一>,数列: 1,等差数列:(1),定义:12()n n n n a a d a a ++-==+n+1常量或2a .(2),通项公式:1(1)n a a n d =+-. (3),前n 项和公式:11()(1)22n n a a n n n S na d +-==+. (4),任意两项,n m a a 有()n m a a n m d =+-.(5),对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则m n k l a a a a +=+.反之不行. (6),若{},{}n n a b 均是等差数列,则{}n n ca db +也是等差数列.(,c d R ∈) 2,等比数列: (1),定义:11()n n n na a q a a ++==n+2n+1a常量或a .(2),通项公式:11n n a a q -=. (3),前n 项和公式:11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩.(4),任意两项,n m a a 有n mn m a a q -=.(5),对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则n m k l a a a a =. (6),无穷递缩等比数列所有项和公式:1lim (01)1n n a S S q q→∞==<<-. 3,一些常用递归数列的通项:(1),形如1()n n a a f n +=+的一阶递归式,其通项求法为1111111()()n n n k k k k a a a a a f k --+===+-=+∑∑.(累加法)(2),形如1()n n a f n a +=的递归式,其通项求法为3211121(1)(2)(3)(1)(2)n n n a a a a a a f f f f n n a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-≥.(累积法) (3),形如1(1)n n a pa q p +=+≠的递归式,由1n n a pa q +=+及1n n a pa q -=+,两式相减 得11()n n n n a a p a a +--=-,有1{}n n a a +-是首项为21a a -,且公比为p 的等比数列,先求 出1n n a a +-,再求出n a .(4),形如1()(1)n n a pa q n p +=+≠的递归式,两边同时除以1n p+,得111()n n n n n a a q n p p p +++=+,令n n n a b p =,得11()n nn q n b b p ++=+,求n b ,再求n a . (5),形如1qn n a pa +=(0,0n p a >>)的递归式,两边取对数有1lg lg lg n n a q a p +=+,令lg n n b a =,则1lg n n b qb p +=+,仿(3)得n b ,再求n a . <二>数学归纳法 形式1:(i)验证0()p n 成立; (ii)假设()p k (0k n ≥)成立,那么可推出(1)p k +也成立. 形式2:(i)验证000(1),(2),,()p n p n p n r ++⋅⋅⋅+;(ii)假设()p k 成立, 那么可推出()p k r +也成立.<三>,整数: 1,整数的分类:(1),⎧⎪⎨⎪⎩负整数0正整数; (2) ±⎧⎨⎩奇数:形如2n 1的数,它的平方被4,8除余1.偶数:形如2n 的数,它的平方被4整除.(3),⎧⎪⎨⎪⎩质数(素数):只有1与本身两个约数.1合数:约数个数大于2个.(4),⎧⎨⎩2完全平方数:形如m 的数,m 为整数.非完全平方数.2,不定方程的常用解法: (1),公式法 :若00x x y y =⎧⎨=⎩是方程ax by c +=的一组整数解,则该方程的所有解为00x x bty y at=+⎧⎨=-⎩(t z ∈).(2),数或式的分解法; (3),不等式法; (4),奇偶分析法; (5),换元法. 二,解题思想与方法导引1,归纳-猜想-证明; 2,数形结合; 3,整体处理; 4,换元法; 5,配方法; 6,估算法.三,习题导引 <一>,选择题1,删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003 项是A,2046 B,2047 C,2048 D,2049 2,已知数列{}n a 满足134(1)n n a a n ++=≥且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是 A,5 B,6 C,7 D,8 3,设等差数列{}n a 满足81335a a =,且10a >,n S 为其前n 项之和,则n S 中最大的是 A,10S B,11S C,20S D,21S 4,等比数列{}n a 中,11536a =,公比12q =-,用n ∏表示它的前n 项之积,则n ∏中最大的是 A,9∏ B,11∏ C,12∏ D,13∏ 5,已知数列{}n a 满足11(2)n n n x x x n +-=-≥,12,x a x b ==,记12n n S x x x =++⋅⋅⋅+,则 下列结论正确的是A, 100100,2x a S b a =-=- B,100100,2x b S b a =-=- C,100100,x b S b a =-=- D,100100,x a S b a =-=- 6,给定公比为(1)q q ≠的等比数列{}n a ,设1123b a a a =++,2456b a a a =++,⋅⋅⋅,32313n n n n b a a a --=++,则数列{}n bA,是等差数列车员 B,是公比为q 的等比数列 C,是公比为3q 的等比数列 D,既非等差数列又非等比数列 <二>填空题7,设数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足121a a ==,32a =,且对任意自然数n ,都有12n n n a a a ++⋅⋅1≠,又123123n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅=+++,则12100a a a ++⋅⋅⋅+的值是 .8,各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的 数列至多有 项.9,设正数012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(2)n a n -=≥,且011a a ==, 则数列{}n a 的通项n a = .10,将二顶式n 的展开式按x 的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 个.11,正整数n 使得22005n +是完全平方数,则22(2005)n n +的个位数字是 . 12,已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni o ia =∑的值是_________________________。
递推数列的几种解
q q n 1 q , 公比为p的等比数列，即an a1 p . 1 p 1 p 1 p
6
例3：在数列an 中，已知a1 1，an1 2an 3 n N , 求数列的通项an .
解析：由an 1 2an 3，有an 1 3 2an 6， an 1 3 =2，又a1 3 1 3 4, an 3
各式相乘（或代入）得 an a1 f 1 f 2 f 3
4
例2：数列an 满足nan 1 2 a1 +a2 +
+an ，
n=1,2,3, ,且a1 1，求数列an 的通项。
解析：因nan 1 2 a1 +a2 + n 1 an 2an n+1 an， 即an 1
9
类型五：型如an1 =f n an +g n的递推式
此类型和类型四的区别是an的系数不是常数，而是f n . 设辅助数列h n ，使f n h n 1 h n ，则an 1 h n 1 h n an g n ，
例5 已知数列
解析：因an 1 n2 an 1. ① n h n n2 可令 ，则有 h n 1 n h n h n 1 n 2 n n 1 ， ， = n2 h n 1 n 1 h n 3 n ，
h n 1 h n h 4
n 1
由此可求出bn，从而求出an .
8
例4 数列an 的前n项和为Sn，且满足a1 1，
an 1 2Sn n 2 n 1 n N ,求数列an 的通项公式.
2
解析：因an 1 2Sn n 2 n 1，则有an 2Sn 1 + n 1 - n 1 +1，(n 2) 两式相减得an 1 an 2an 2n 2，即an 1 3an 2n 2， an 1 an 2n 2 = n + n 1 ， n 1 3 3 3 2 n 1 an a1 1 令bn n ,则bn 1 =bn ， b = = , 1 n 1 3 3 3 3 3n 1 从而转化为类型一，不难求得an -n+ . 2 2 两边同除以3n 1，得到
高三数学递归数列
银杏的叶又和百草的叶不一样。霜降杀百草。霜降以后，登临书院山看看就知道了。登山的石阶犹如一架天梯，直抵山顶。如羁鸟归巢，这样的登临似乎更有仪式感。两株根相连、枝相交、叶相覆 的银杏树在高山上矗立，代表的是温暖的家园、心灵的憩所。88真人
暮春盛夏，两株古树葱茏苍翠，与众多植物相融。银杏叶是两千年前的样子，犹如此地的儒家文化一样，不被折损。秋天，太阳像一把大火，把禾苗烧成火红的高粱、金黄的玉米。这就叫金秋。庄 稼既获，如薄雾似轻尘的银霜出场了，银杏叶却奇迹般地由绿转黄，满树黄叶竟如春天初绽的鹅黄。书院山绚烂起来，仿佛被聚光灯一打，书院山成了大地的中心。树上的黄叶像许许多多的鸣鸟挤在一 起，热烈、华。也有许多叶子轻轻袅袅地飘落，落在树下，犹如金色的浪花，跳跃。看银杏换衣服，犹如目睹准备盛装出行的女子，细心地画了眉毛眼影，缓慢地描了嘴唇两颊，一笔一画秋黄冬凛。
银杏叶是一个个金黄的没有污染的色块，如同夏天的麦浪。此地的乡民对金黄的植物有一种天然的亲近。或研叶为末，和面做饼；或捣敷外搽，人们以药用的方式表达着对银杏的珍爱，与自然草木 的心心相印。陈文伟《公冶长书院记》：“裂石出泉，树稳风不鸣，泉安流不响。”如今的书院山依旧保留着古代的美。到处鸟语花香，到处是识鸟语的人群。布谷布谷，收麦种谷。识鸟语的现代版是 遵从自然的秩序，以此安排农事，规范生活，达成人与自然的水乳交融。
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【基础知识】
1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…， k n a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：
类型Ⅰ：⎩
⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q
pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩
⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】
例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨
⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
例3、已知数列}{n a 满足⎩
⎨
⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
例4、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧==-=++2,12321
12a a a a a n n n ，求通项n a 。
例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
例6、已知数列}{n a 满足101=a ，44
11n n a n n a +=+（1≥n ），求n a 。
例7、已知)2()(+=x a x x f ，且2
1)(0=x f ，方程x x f =)(有唯一解，设)(1-=n n x f x （N n ∈），求n x 。
例8、已知数列}{n a 中，11=a ，)24141(16
11n n n a a a +++=+，求n a 。
例9、设正数列}{n a 满足12+-≤n n n a a a ，证明2
1+≤n a n （2=n ，3，4，…）
【练习】
1、已知数列}{n a 满足以下递归关系，求n a 。
（1）11=a ，1251+=+n n a a （N n ∈）
（2）11=a ，121-+=+n a a n n （N n ∈） （3）21=a ，111++=
+n n a n n a （N n ∈） （4）21=a ，n
a n n a n n 211+-=+（N n ∈） （5）11=a ，n n a n S 2=（n S 为前n 项和） （6）101=a ，4110n n a a =+（N n n ∈≥,2） （7）⎩⎨⎧==+=++13221
12a a a a a n n n 2、已知数列}{n a 和}{n b 中，101-=a ，131-=b ，且n n n b a a 421+-=+，n n n b a b 751+-=+，求n a 和n b 。
3、已知00=x ，114521++=+n n n x x x （0=n ，1，2，3，4，…），证明N x n ∈（N n ∈）。
4、已知数列}{n a 满足：)3
1(arccos cos 3n a n n =，证明n a 是不能被3整除的整数。