数学必修五基本不等式(市公开课一等奖)
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基本不等式市公开课一等奖省优质课获奖课件
第13页
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2 矩形菜园，问这个矩形长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短篱笆 是多少？
(2)一段长为36m篱笆围成一个 矩形菜园，问这个矩形长、宽各为 多少时，菜园面积最大.最大面积 是多少？
第14页
讲授新课
例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水 池，其容积为4800m3，深为3m.假如池 底每平方米造价为150元，池壁每平 方米造价为120元，怎样设计能使总 造价最低？最低总造价是多少？
第29页
解法1：设流出的水中杂质的质量分数为y， 得y k (k 0), ab 又2 2b 2ab 2a 60(a 0, b 0),
k
k
y ab 30a a2
2a
又 30a a2 34 (a 2 64 ) 18.
2a
a2
由a 2 64 得a 6,则b 3. a2
积必须有一个为定值； (3)函数解析式中，含变数各项均相等，
取得最值. 即用均值不等式求一些函数最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.
第35页
课后作业
1. 教材P101； 2.《导学案》
第36页
值；
第19页
讲授新课
归纳: 用均值不等式处理这类问题时，应按以下 步骤进行： (1)先了解题意，设变量，设变量时普通把
要求最大值或最小值变量定为函数； (2)建立对应函数关系式，把实际问题抽
象为函数最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数最大值或最小
值； (4)正确写出答案.
第20页
讲授新课
第11页
复习引入
小结:
1. 两个正数和为定值时，它们积有最 大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为 定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时 成立.
讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2 矩形菜园，问这个矩形长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短篱笆 是多少？
(2)一段长为36m篱笆围成一个 矩形菜园，问这个矩形长、宽各为 多少时，菜园面积最大.最大面积 是多少？
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例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水 池，其容积为4800m3，深为3m.假如池 底每平方米造价为150元，池壁每平 方米造价为120元，怎样设计能使总 造价最低？最低总造价是多少？
第29页
解法1：设流出的水中杂质的质量分数为y， 得y k (k 0), ab 又2 2b 2ab 2a 60(a 0, b 0),
k
k
y ab 30a a2
2a
又 30a a2 34 (a 2 64 ) 18.
2a
a2
由a 2 64 得a 6,则b 3. a2
积必须有一个为定值； (3)函数解析式中，含变数各项均相等，
取得最值. 即用均值不等式求一些函数最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.
第35页
课后作业
1. 教材P101； 2.《导学案》
第36页
值；
第19页
讲授新课
归纳: 用均值不等式处理这类问题时，应按以下 步骤进行： (1)先了解题意，设变量，设变量时普通把
要求最大值或最小值变量定为函数； (2)建立对应函数关系式，把实际问题抽
象为函数最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数最大值或最小
值； (4)正确写出答案.
第20页
讲授新课
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复习引入
小结:
1. 两个正数和为定值时，它们积有最 大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为 定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时 成立.
高中数学必修五不等式章末归纳整合人教A版必修市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
解：因为 2a2＋1>0，b2＋2>0，y＝(2a2＋1)(b2＋2)， 所以 12y＝ 32a2＋1·4b2＋2≤6a2＋3＋2 4b2＋8. 因为 3a2＋2b2＝5，所以 6a2＋4b2＝10. 所以 12y≤221，可得 y≤743 所以 y 的最大值为11467.
第23页
方法点评：本题是根据约束条件 3a2＋2b2＝5 进 行凑配的，为了利用它，我们转化成求 12y的最大值， 并将根号内含有 a2 与 b2 的项的系数变为 6 与 4.
题型一 一元二次不等式解法
解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次 方程、二次不等式之间关系，二次函数图象与x轴交点 横坐标就是一元二次方程根，二次函数图象在x轴上方， 表示函数值大于0，这时x范围就是不等式ax2＋bx＋ c>0解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0， 这时x范围就是ax2＋bx＋c<0解，解不等式是应该把二 次函数图象画出来，用数形结合思想方法解题．
第18页
解：设 A、B 两种金属板各取 x 张、y 张，用料面
3x＋6y≥45， 积为 z 则约束条件为5x＋6y≥55，
x，y∈N.
目标函数 z＝2x
＋3y.作出以上不等式组表示的可行域，如图所示．
第19页
作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移， 当直线经过可行域上的点 M 时，z＝2x＋3y 取 得 最 小 值 ， 由53xx＋＋66yy＝＝5455 得 M 点 坐 标 为 (5,5)．此时，zmin＝2×5＋3×5＝25. 答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．
应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正 二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2) 二定：要求积最大值，则其和必须是定值；要求和 最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证 等号是否成立．
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四、巩固练习
1、判断对错： （ 1）由 a,bR,则ab2 ab （ 3）当 a0,b0时a， b ab
2
（ 2）若 x0,则x12 x
（ 4）函y数 x1的最小2值 x
【设计意图】考查学生对所学知识点掌握的状况，与否真正 理解了基本不等式并能注意运用公式時需要注意的条件，从 而真正意义上理解不等式的含义。
的不等关系？ 问題3：上述不等式能否取等号？什么時候取等号？
【设计意图】1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数 量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐渐发現基本不等式 的本质和成立条件。2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创 新和想象能力，进而发現并理解基本不等式的实质。
运用几何画板演示赵爽弦图
问題:7：通过上面的例題，同学們总結一下运用基本不等式求最 值的前提条件是什么？ 【设计意图】让学生通过例題观察、归纳基本不等式求最值的 限制条件。
问題8：运用公式取到最值的前提是什么？ 【设计意图】引导学生发現基本不等式求最值中的限制条件定 值问題。
问題9：我們給运用基本不等式需要满足的条件简单总結一下吧 ？ 【设计意图】引导学生总結归纳加深对基本不等式求最值的理 解
创设情境 巩固练习
教学过程
建构数学 課堂小結
数学应用 布置作业
一、设问激疑、创设情境 （1）学校要建造一种長方体形的浴池，其容积為400立方 米，深為1米。假如池底每平方米的造价為150元，池壁每 平方米的造价為120元，怎样设计浴池能使总造价最低？ 最低总造价是多少？
【设计意图】通过生活中的实际问題，由学生构造出函数模型 ，引发学生思考，提高学生的学习爱好。
基本不等式
基本不等式 1、教材分析 2、教法学法分析 3、教学过程 4、教学评价 5、教学反思 6、板书展示
数学必修五基本不等式市公开课一等奖演示文稿
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
xy x y 2
得 xy 81
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最
大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且 仅当两值相等时取最值。
第8页，共16页。
三、应用
发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0）
a b 2 a（b a 0,b 0）
2
例1、若
x 0 ,求 y
x
1
的最小值.
x
变1:若 x 0,求 y 3x 12 的最小值
x
变2:若a 0, b 0,求 y b a 的最小值.
ab
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
33.几.几何何意证义明：:半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等 差中项
第7页，共16页。
重要不等式： a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
变3:若 x 3 ,求 y x 1 的最小值. x3
构造条件
第9页，共16页。
三、应用
发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
2
（a
0,
数学必修五基本不等式(市公开课一等奖)
详细Байду номын сангаас述
基本不等式通常表示为两个正数的和与积之间的不等关系，或者是两个正数的 平方和与平方积之间的不等关系。这些不等式在数学证明、函数最值求解、几 何学等领域有着广泛的应用。
性质
总结词
基本不等式具有一些重要的性质，这些性质决定了它在数学中的重要地位。
详细描述
基本不等式具有传递性、对称性、加法可乘性等性质。传递性是指如果a>b和b>c，则一定有a>c；对称性是指 如果a>b，则一定有b<a；加法可乘性是指如果a>b和c>d，则ac>bd。这些性质使得基本不等式在数学证明和 计算中具有很大的应用价值。
02 基本不等式的证明方法
CHAPTER
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数 恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公 式、完全平方公式、算术平均数
-几何平均数不等式等。
代数证法通常需要经过一系列的 变形和化简，最终推导出基本不
等式。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方 法。
数学必修五基本不等式(市公开 课一等奖)
目录
CONTENTS
• 基本不等式的定义与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展与推广 • 基本不等式的实际应用案例
01 基本不等式的定义与性质
CHAPTER
定义
总结词
基本不等式是数学中一种重要的不等关系，它反映了变量之间的大小关系。
性能和稳定性。
在工程设计中的应用
1 2 3
结构设计
在结构设计中，基本不等式可以用来确定结构的 强度、刚度和稳定性，以确保结构的安全性和可 靠性。
基本不等式通常表示为两个正数的和与积之间的不等关系，或者是两个正数的 平方和与平方积之间的不等关系。这些不等式在数学证明、函数最值求解、几 何学等领域有着广泛的应用。
性质
总结词
基本不等式具有一些重要的性质，这些性质决定了它在数学中的重要地位。
详细描述
基本不等式具有传递性、对称性、加法可乘性等性质。传递性是指如果a>b和b>c，则一定有a>c；对称性是指 如果a>b，则一定有b<a；加法可乘性是指如果a>b和c>d，则ac>bd。这些性质使得基本不等式在数学证明和 计算中具有很大的应用价值。
02 基本不等式的证明方法
CHAPTER
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数 恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公 式、完全平方公式、算术平均数
-几何平均数不等式等。
代数证法通常需要经过一系列的 变形和化简，最终推导出基本不
等式。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方 法。
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CONTENTS
• 基本不等式的定义与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展与推广 • 基本不等式的实际应用案例
01 基本不等式的定义与性质
CHAPTER
定义
总结词
基本不等式是数学中一种重要的不等关系，它反映了变量之间的大小关系。
性能和稳定性。
在工程设计中的应用
1 2 3
结构设计
在结构设计中，基本不等式可以用来确定结构的 强度、刚度和稳定性，以确保结构的安全性和可 靠性。
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C．a>a＋2 b>b> ab
D．a>
a＋b ab> 2 >b
第12页
[解析] 本题的关键在于比较a＋2 b，b， ab的大小，因 为 ab> b2， ab>b，又由推论知a＋2 b> ab，∴a>a＋2 b > ab>b，故选 B. [答案] B
第13页
迁移变式 1 以下结论中，错用基本不等式作依据的是 ()
a2＋2 b2时，可
先证平方成立，然后开方．
第20页
[证明] ∵a>0，b>0，∴1a>0，1b>0，∴1a＋2 1b≥
a1b＝ 1ab>0，
∴1a＋2 1b≤ ab，∴1a＋1 1b≤ 2ab≤ ab.
又a＋4 b2＝a2＋b42＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，∴a＋2 b
，
∴lga＋2 lgb<lg(a＋2 b)，即 Q<R，∴P<Q<R.
第16页
[点评] 依据均值不等式与对数运算法则， 利用不等式传递性，即可得到三个式子大 小关系．
第17页
迁移变式 2 设 m＝12logax，n＝loga1＋2 x，p＝loga12＋xx，其
中 0<a<1，x>0 且 x≠1，则下列结论正确的是( )
A．x，y 均为正数，则yx＋xy≥2 B．a∈R，则(1＋a)(1＋1a)≥4 C．若 x>1，则 lgx＋logx10≥2 D. xx2＋2＋21≥2
第14页
解析：A、C符合基本不等式，能够利用基
本不等式作理论依据．D拆项后为
，
符合基本不等式，只有B，因给出a∈R，
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注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
作业
(课本100页)
1 1.x＞0, 当x取何值时， x 的值最小？最小 x 值是多少？
x y xy x y 2 100, 2 2( x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的 面积最大，最大面积是多少？
1 变3:若 x 3 ,求 y x 的最小值. x3
构造条件
三、应用
发现运算结构，应用不等式
2
ab ab （a 0, b 0） 2
ab ab （a 0, b 0） 2
例2、已知 0 x 1 ,求函数 y x(1 x ) 的最大值.
1 变式:已知 0 x ,求函数 y x (1 2 x ) 的最大值. 2
应用要点： 一正 二定 三相等
例3： （1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
D.
1 4
ab 证明:当 a 0, b 0 时, ab . 2
ab 证明:要证 ab ① 2 a b ( 2 ab ) 只要证
要证②，只要证
②
a b (2 ab ) 0 2 要证③，只要证（ a － b ) 0 ④
显然: ④ 是成立的,当且仅当
③
a b时
2 2
2
2
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab 形，它们的面积总和是S’=———
问3：观察图形S与S’有什么样的大小 D 关系？ 易得，s > s’,即
a b 2ab
2 2
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？ A 何时相等？
E
c
a
F
b
B
变化的弦图
a2 b2
④中的等号成立.
P
A
a
o
Q b
B
如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP,
ab 则半弦PQ=____, ab 半径AO=_____
动态演示 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗?
2
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
得 xy
x y xy =18/2=9 2
81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大， 最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
四、
小结
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
1. 两个不等式 （1）
a, b R, 那么a 2 b 2 2ab
(当且仅当a b时取" "号)
ab （2） ab (a>0,b>0) 当且仅当a=b时，等号成立 2
2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？ 3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
b 1.设 a >0， >0，若 3是
得最小值为（
3a 与 3b
1 1 的等比中项，则 a b
B）
B. 4
（2009年天津理6）
A. 8
C. 1
2 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
基本不等式
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 2.代数证明:
3.几何意义：半弦长小于等于半径 3.几何证明:
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
重要不等式： 2 a
问5：当a,b为任意实数时， 2 b2 2a b a 还成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
a b 等式称为重要不等式
二、新课讲解
1.思考:如果用 a , b去替换 a b 2ab中的 a, b, 能得到什么结论? a , b 必须要满足什么条件?
b 2ab(a、b R）
2
当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
ab ab (a 0, b 0) 2
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
三、应用
发现运算结构，应用不等式
ab ab （a 0, b 0） 2
a b 2 ab a 0, b 0） （
1 例1、若 x 0 ,求 y x 的最小值. x 12 变1:若 x 0,求 y 3 x 的最小值 x b a 变2:若a 0, b 0,求 y 的最小值. a b
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
§3.4基本不等式
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB= a b 则正方形的面积为S= a b 。