6 轴对称变换

第六课轴对称

注意：题目的详细解答过程不要写在资料上，资料所留空隙用来写每道题的思路方法，分析过程。

一、知识点复习。

二、例题分析讲解。

题型一：轴对称的性质

例题分析

1、如图,已知正方形ABCD的对角线长为22√,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为()

A. 8√2

B. 4√2

C. 8

D. 6

2、如图,在扇形OAB中,∠AOB=110∘,半径OA=18,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在ABˆ上的点D处,折痕交OA于点C,则ADˆ的长为___.

3、已知,纸片⊙O的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.

(1)如图2,当折叠后的AB经过圆心O时,求AB弧的长;

(2)如图3,当弦AB=2时,求折叠后AB弧所在圆的圆心O′到弦AB的距离;

(3)在图1中,再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作.

①如图4,当AB∥CD,折叠后的CD弧与AB弧所在圆外切于点P,设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；

②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的CD弧与AB弧所在圆外切于点P时,设点M为AB的中点，点N为CD 的中点.试探究四边形OMPN的形状,并证明你的结论.

知识方法练习

1、(2012⋅河北)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70∘，将平行四边形折叠，使点D. C分别落在点F. E处(点

F. E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于（）

A. 70∘

B. 40∘

C. 30∘

D. 20∘

2、如图,在平行四边形ABCD中,AD=4,∠B=105∘,E是BC边的中点,∠BAE=30∘，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长。

3、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54∘,点D为AB中点,且OD⊥AB,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为___度。

4、如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A. 点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.

(1)求证：∠APB=∠BPH；

(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论；

(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。

题型二、反射类问题

例题分析

1、阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发,沿着AB边夹角为45∘的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45∘的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即当P点碰到BC边,沿着BC边夹角为45∘的方向作直线运动,当P 点碰到CD边,再沿着与CD边夹角为45∘的方向作直线运动，…，如图1所示，

问P点第一次与D点重合前与边相碰几次,P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少。小贝的思考是这样开始的：如图2,将矩形ABCD沿直线CD折叠,得到矩形A1B1CD,由轴对称的知识,发现P2P3=P2E,P1A=P1E.

请你参考小贝的思路解决下列问题：

(1)P点第一次与D点重合前与边相碰___次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是___cm；

(2)近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB:AD的值为___.

知识方法练习

1、如图,从点A(0,2)发出一束光,经x轴反射,过点B(4,3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为______.

2、

如图,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则光线从A到B点经过的路线长是( )。

3、如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E. F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A. B. C重合)，记△DEF的周长为p.

(1)若D. E. F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=___；

(2)若D. E. F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是___.

小亮和小明对第(2)问中的最小值进行了讨论,小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C,再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C,如图2所示。则由轴对称的性质可知,DF+FE1+E1D2=p,根据两点之间线段最短,可得p⩾DD2.老师听了后说：“你的想法很好,但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果。”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”。请参考他们的想法，写出你的答案。

题型三、半角等角翻折有全等

例题分析

1、已知Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CA=CB,有一个圆心角为45∘，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N.

(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证：MN2=AM2+BN2；

(思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决。可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90∘就可以了。请你完成证明过程.)

(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

知识点方法练习

1、如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90∘,∠A=∠E=30∘.△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K.

(1)观察：①如图2、图3,当∠CDF=0∘或60∘时,AM+CK___MK(填“>”,“<”或“=”)；

②如图4,当∠CDF=30∘时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”)；

(2)猜想：如图4,当0∘<∠CDF<60∘时，AM+CK___MK，证明你所得到的结论；

(3)如果MK2+CK2=AM2,请直接写出∠CDF的度数和MKAM的值。

题型四、线段转移

例题分析

1、已知△ABC是等边三角形。

(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0∘<θ<180∘)，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O.