分形维数简介文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

分形维数简介

一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）

“世界是非线性的”，分形无处不在.分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界.当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构.

Mandelbrot创造“分形”（Fractal）这个词，用来表达“破碎、碎块、不规则”的意思.他明确指出：分形是局部与整体按某种方式相似的集合. 以在形态或结构上具有分形特征的大自然为研究对象的几何学，称为分形几何.自相似性或标度不变性是分形中的核心概念.在数学史上的“病态函数”或“魔鬼曲线”等分形集是严格意义上的自相似，而自然分形则是在统计意义上的自相似.貌似无规的分形图案可以由相应的分形元为基础，用迭代方法生成[]1．

维数是几何对象的一个重要特征量.直观地说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目.抽象地讲，它是集合层次结构的一种量值标号，是集合空间复杂程度的一种量度.我们将Koch曲线（科赫曲线Koch曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线[]2）想象为可以用介于1维与2维之间的非整数维尺度来测量它可能正合适.这种非整数维数统称分维.分形维数是分形几何中的核心概念[]3．由于自然界的分形是种类繁多的，对不同的对象需用不同的测量方法，因此，分维也具有多种形式的定义.本文对分形维数的多种定义及其它的应用作出初步探索和分析.

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）

由于计算技术和计算机图形学的进展，分形几何得到了速度的发展.分形这个名词Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文Fractus转化后引入自然科学领域的.

在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的、不光滑的集合，如Weierstrass 型函数、Cantor 集、Peano 曲线、Koch 曲线、Sierpinski 缕垫和海绵等.这些都属于规则的分形图形，它们是数学家按一定的规则构造出来的、具有严格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集.

1913年Perrin 对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动轨迹不具有导数.自然界的许多事物也具有不光滑性和不规则性.它们和几何学中的规则图形是不同的，这表现在对它们进行测量时，其被测值的大小一般随测量尺寸的变化而发生着变化，在一定测量范围内两者存在着幂函数关系.为了测量这些集合，1915年豪斯道夫引入了豪斯道夫维数的概念，这类统计自相似性图形和曲线的豪斯道夫维数一般都不是整数，而是一个分数值.20世纪20年代到70年代，维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数使分形理论初具雏形.但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用.

Mandelbrot 在1988年出版了《Fractal ： Chance and Dimension 》一书，1982年又出版了《The Fractal Geometry of Nature 》一书.在这两本书中他将分形的理论及应用推动道一个全新的阶段.在这个阶段中分形理论本身得到迅速的发展、并得到科学界的广泛重视，同时在物理学、化学、生物学、地学、材料科学、表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛的领域得到了应用[]4．

分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.

在理解分形维数的概念的基础上，进而来探讨以下分形维数的其他常用定义和一些在各个学科方面的应用.

（1） 豪斯道夫（Hausdorff ）维数[]

5 对于任意给定的集合F 和1δ<，()p H F δ对于p 来说是非增的，因为当0p =时，只

要F 非空，必有()p

H F δ=∞.若t p >且{}i U 是F 是δ-覆盖，我们有

t p t p p t p i i i i i i i U U U U δ--=≤∑∑∑， 从而有

()()t t p p H F H F δδδ-≤

令0δ→，若()0p H F <<∞，必有()0()t H F t p =>.

同理可证，当t p <时，若0δ→时，()0p H F <<∞，必有()t H F =∞.

这说明存在一个临界值p ，在这点上，()p H F 从∞猛降为零，这个临界值称为F 的Hausdorff 维数，记为dim H F ，也称其为Hausdorff-Besicovitch 维.

正规的写法应是

(){}(){}dim inf :0sup :p p H F p H F p H F ====∞， 于是

(),dim ,0,

dim .H p H p F H F p F ∞<⎧=⎨>⎩ （2） 计盒维数[]6

设F 是n R 上任意非空的有界子集，()N F δ是直径最大为δ，可以覆盖F 的集的最少个数，则F 的下、上计盒维数分别定义为

()0log dim lim log B N F F δδδ

→=-

()0log dim lim

log B N F F δδδ→=- 如果这两个值相等，则称这共同的值为F 的计盒维数或盒维数，记为

()0log dim lim log B N F F δδδ

→=- （3） 自相似集的维数[]7 设E 为对应于压缩比为i c 的相似压缩族{}1i i m S ≤≤的自相似集，那么()1m

i

i E S E ==U .由此式，我们看到，影响E 的维数的一个重要因素是()i S E 的相对位置.进一步，若0E 为紧集，()00i S E E ⊂，则由定理：设1,...,m S S 为d ¡上的压缩，则设k S 为S 的k 次迭代，即对任意

()d F ∈l ?，