实变函数证明题

1 证明题
1 由直线上互不相交的开区间作为集合A 的元素，则A 至多为可数集。

2 证明区间上的单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。

3 设{|},{|}A B αααα∈Γ∈Γ是两个集族.若,A B ααα∀∈Γ ,且
,,(,,)A A B B αβαβφφαβαβ⋂=⋂=≠∈Γ, 则A B αααα∈Γ∈Γ
.
4 设:f X Y →, 则f 是单射当且仅当,,()()()A B X f A B f A f B ∀⊂⋂=⋂.
5 设[0,1]M 是[0.1]上全体实函数所成之集, 证明[0,1][0,1]2
M . 6 证明数轴上一切闭区间所成之集的基数为c.
7 设A B c ⋃=,则A c =或B c =
8 设:f X Y →, 则f 是单射当且仅当1,[()]A X A f f A -∀⊂=.
9 设:f X Y →, 则f 是单射当且仅当,()()()A X f X A f X f A ∀⊂-=-. 10 设:f X Y →,1(),[()]f X Y C Y f f C C -=⇔∀⊂=.
11 设A 是可数集,则A 的一切有限子集所成之集是可数集.
12证明每一个闭集必是可数多个开集的交集。

13证明)(x f 为[a, b]上连续函数的充要条件是对任意实数c ，集})(|{c x f x E ≥=和
})(|{1c x f x E ≤=都是闭集。

14 明直线上非空开集的任何两个不同的构成区间必不相交。

15 间（a, b ）上任何两个单调函数，若在一稠密集上相等，则它们有相同的连续点． 16 证明{}x E x E x '∈⇔∈-
17 证明E '为闭集.
18 证明)(x f 为(,)a b 上连续函数的充要条件是对任意实数c ，集{|()}E x f x c =>和
1{|()}E x f x c =<都是直线上的开集。

19 证明(,{})0x E d x E x '∈⇔-=.
20 证明任何非空闭集可表示为可数个开集的交.
21 证明n R 中的孤立点集至多可数.。