线性代数中的若干个充要条件

线性代数中的若干个充要条件

一、n 阶方阵可逆的充要条件

A 是n 阶可逆方阵

⇔E BA AB ==)(

⇔0det ≠A （非奇异）

⇔n A =rank （满秩）

⇔A 的最高阶非零子式的阶数等于n

⇔E A ~（等价）

⇔A 的伴随矩阵*A 可逆

⇔)rank()rank(B AB =

⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP =

⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA =

⇔存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ,使s P P P A 21= ⇔0=Ax 只有零解

⇔0=Ax 解空间的维数是零

⇔ββ=∈∀Ax R n ,总有唯一解

⇔A 的行（列）向量组线性无关

⇔

ββ ,n R ∈∀总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示 ⇔A 的特征值均不为零

实对称

A ⇔A 的正、负惯性指数的和n q p =+

⇔A A T 是正定矩阵

⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基

⇔A 的列向量组与单位向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε等价 ⇔A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵

二、β=⨯x A n m 有(无)解的充要条件

β=⨯x A n m 有（无）解

⇔),rank(rank βA A = （),rank(rank βA A <） ⇔向量β可以（不能）被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示

三、β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解的充要条件

β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解

⇔)(),rank(rank n n A A <==β

⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示（n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一）

四、0=⨯x A n m 只有零（有非零）解的充要条件

0=⨯x A n m 只有零（有非零）解

⇔n A =rank （n <）

⇔A 列满秩（列亏秩）

⇔A A T 可逆 (A A T 不可逆)

⇔A A T 正定 (A A T 非负定)

⇔存在矩阵m n Q ⨯，使n n E QA ⨯=

⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关（线性相关） ⇔n ααα,,,21 中每一个（至少有一个）都不能（可以）由其余1-n 个线性表出

⇔向量组n ααα,,,21 与n 维单位向量组n εεε,,,21 （不）等价 ⇔解空间维数0=s （A n s rank -=）

⇔没有基础解向量（基础解系中有A n rank -个基础解向量）

五、ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解的充要条件

ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解

⇔m A =rank (行满秩)

⇔0)det(≠T AA (0)det(=T AA )

⇔T AA 可逆 (T AA 不可逆)

⇔存在矩阵m n P ⨯，使m m E AP ⨯=

⇔A 的行向量组T m T T βββ,,,21 线性无关

⇔m n =),,,(rank 21ααα （若n m <，A 的列向量组线性相关） ⇔A 的列向量组n ααα,,,21 可线性表示任意一m 维列向量

⇔m R ∈∀β，存在常数n k k k ,,,21 使()βααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n n k k k 2121,,, ⇔向量组n ααα,,,21 与m 维单位向量组m εεε,,,21 等价

六、n n A ⨯ 可以相似对角化的充要条件

n n A ⨯ 可以相似对角化

⇔存在可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1（对角矩阵） ⇔A 有n 个线性无关的特征向量

⇔A 的任一特征值的重数与该特征值线性无关特征向量的个数相等 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，0)(0=-x A E λ有k 个基础解向量 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，k n A E -=-)(rank 0λ

附1：n n A ⨯ 可以相似对角化的充分条件

n n A ⨯ 有n 个不同的特征值⇒A 可以相似对角化

n n A ⨯ 是实对称矩阵⇒A 可以相似对角化

附2：两个n 方阵A 与B 相似的必要条件

B A ~（相似）

⇒)(det )(det B E A E -=-λλ（特征值相同）

⇒B A tr tr =∑==n i i 1λ（等迹且等于特征值的和，∑==n

i ii a A 1

tr ）

⇒B A rank rank =（等秩）

⇒B A det det =（行列式相等）

七、n 元二次型Ax x T 正定的充要条件

n 元二次型Ax x T 正定

⇔ 0 ,≠∈∀x R x n ，0>Ax x T

⇔A 是正定矩阵

⇔A 的正惯性指数n p =

⇔E A ~（合同）

⇔存在可逆矩阵D ，使D D A T = ⇔A 的特征值均为正数

⇔A 的顺序主子式均大于零

附：n 元二次型Ax x T 正定的必要条件 A 是正定矩阵

⇒A 的主对角元n i a ii ,,2,1 , 0 => ⇒ 0det >A

八、矩阵合同的充要条件

B A ~（合同）⇔A 与B 有相同的正、负惯性指数 B A ~（合同）⇒B A rank rank =，反之未必. A 实对称⇒Λ~A （与对角阵合同），反之未必.