线性代数中的若干个充要条件
线性代数第四章第二节
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 ,线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , , am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , , km , 使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无
关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0. 2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如 的分量对应成比例.
向量组 A:
1 3 a1 = 1 , a 2 = 3 , 2 6
图 4.3
从几何上讲, 从几何上讲 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 中至少有三个平面共线 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关. 同一直线则该向量组一定线性相关
二 ,向量组线性相关的充要条件
定理 向量组线性相关的充要条件是该向量
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示
图 4.1
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的 几何意义是这三个向量共面. 几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z 上取三点: =3. 在 π 上取三点 M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量: 作三个向量 z R3 M3 O M1 M2 x 3 3
线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则:2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示，= n ！ 逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D= ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j jt (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn 2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n n n j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n in 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =7. 重要性质：利用行列式的性质或，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
线性代数-知识点总结part 2
线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。
（2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。
可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
唯一表示。
可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。
工程数学线性代数
参考书：线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社概要&总结 一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵例1：设A 是m n ⨯矩阵，设B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 是m 阶单位矩阵，则： ()()(); ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n======== 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组例2：设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1)TTTa ααα=-==，若123,,ααα形成的向量组为2，则___a = 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤例3：设11010,1111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。
(I)求,a λ；(II)求AX b =的通解2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤例4：设A 是四阶实对称矩阵，且20A A +=，若()3r A =则A 相似于：11111111();();();()11110000A B C D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使T P P A =；所有特征值大于零)例5：设二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q的第三列为)22T 。
线性代数概要2
第四章线性方程组一．线性方程组的各种表达形式及相关概念二．基础解系的概念及其求法三．齐次方程组有非零解的判定定理4.1设A是m×n矩阵，齐次方程组Ax=0有非零解的充要条件是r（A）<n，即A的列向量线性相关定理4.3 Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数小于未知数个数四．非齐次线性方程组有解的判定设A是m×n矩阵，线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩，即Or b可由A的列向量线性表出Or 与是等价向量组注意！！Ax=b有唯一解，则Ax=0只有零解Ax=0只有零解是，Ax=b可能无解，也可能只有唯一解五．非齐次线性方程组解的结构六．线性方程组解的性质1.如果是Ax=b的两个解，则是Ax=0的解2.如果是Ax=0的两个解，则其线性组合仍是Ax=0的解3.如果是Ax=b的解，是Ax=0的解，则仍是Ax=b的解题型一线性方程组解的基本概念注意！！！基础解系一定线性无关题型二线性方程组求解题型三含有参数的方程组解的讨论题型四关于线性方程组公共解、同解问题解法：1.将两个方程组联立后的方程组求解，所得解为公共解2.把一个方程组的解带入另一个方程组3.两个方程的基础解系都知道时，令两个解系相等，解方程组题型五有关基础解系的证明要证是Ax=0的基础解系，应证明三点：1. 是Ax=0的解；2. 线性无关；3.解向量个数t=n-r（A）或可表示Ax=0的任一解题型六有关线性方程组的证明题第五章矩阵的特征值与特征向量一．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法1. 注意！！！特征向量是非零向量——在证明题中常用2. 特别的，0是A的特征值|A|=0 A不可逆。
Ax=0的基础解系就是λ=0的线性无关的特征向量3.若r（A）=1则|λE-A|=可见，若r（A）=1，则A的n个特征值是4.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A的行列式的值，即5.n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值6.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，他的任意特征值均布等于07.若λ是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，是的特征值二．相似矩阵的概念与性质设A、B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B相似，记为1.相似矩阵的性质，如①②③④注意！！这些都只是必要条件2.3.4.5.三．矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤1. 矩阵可相似对角化的充分必要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）对于矩阵A的每一个重特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，即秩2.A与对角矩阵相似的充分条件（1）A有n个不同的特征值；（2）A是实对称矩阵3.【解题步骤】第一步先求出A的特征值第二步再求所对应的线性无关的特征向量第三步构造可逆矩阵4.实对称矩阵的特性（1）实对称矩阵必可对角化（2）特征值全是实数，特征向量都是实向量（3）不同特征值的特征向量相互正交（4）重特征值必有个线性无关的特征向量，或者说必有5.用正交矩阵化A为相似标准形的解题步骤注意！！（1）当A的特征值互不相同是，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵P（2）当特征值有重根时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化方法处理，才能构造出正交矩阵P（3）仅实对称矩阵才能用正交变换化为对角形！！题型一求矩阵的特征值和特征向量解题思路：（1）有|λE-A|=0求特征值，再由（λE-A）x=0求得基础解系得特征向量（2）用定义法（3）用相似题型二 n阶矩阵A能否相似对角化的判定解题思路：先求特征值，若特征值不同，则；若特征值有重根，则求秩r（λE-A），检查n-r（λE-A）= ？题型三求相似时的可逆矩阵解题思路：如果，那么求出矩阵A的线性无关的特征向量就可构成可逆矩阵P题型四求矩阵A中的参数题型五用特征值和特征向量反求矩阵A题型六相似对角化的应用——求题型七有关实对称矩阵的问题题型八有关特征值与特征向量的证明第六章二次型一．二次型的概念及其标准形1.二次型的概念2.二次型的标准形注意！！正交变换化二次型为标准形时，标准形中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性3.二次型的规范形二．正定二次型与正定矩阵1.二次型正定的充分必要条件定理6.3 n元二次型正定的正惯性指数p=nA与E合同，即有可逆矩阵C，使A的所有特征值全大于零A的顺序主子式全大于零存在可逆矩阵C，使得注意！！正定的必要条件——三．合同矩阵1.概念：两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C，使得，则称矩阵A和B合同，记作2．两个矩阵合同的充分必要条件：实对称矩阵的充要条件是，二次型与有相同的正、负惯性指数3.两矩阵合同的充分条件——两矩阵合同的必要条件——题型一有关二次型基本概念的问题题型二化二次型为标准形【解题思路】1．用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为：第一步，把二次型表示为矩阵形式第二步，求A的特征值及相应的特征向量(当时，最好检验所求是否正交第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需用Schmidt 正交化第四步，把特征向量单位化为第五步，构造正交矩阵第六步，令x=Cy，得2.用配方法化二次型为标准形注意！！如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设，则可令经此坐标变换，二次型中出现后，再配方题型三判别或证明二次型的正定性【常用思路】（1）用定义（2）正惯性指数p=n（3）顺序主子式全大于0（4）特征值全大于0注意！！！正定的必要条件可帮助排除非正定的二次型题型四合同矩阵。
考研数学《线性代数》考点知识点总结
n
aki Akj
k 1
Dij
D, 0,
当i 当i
j, n
j;
或
k 1
aik
Ajk
Dij
D, 0,
当i 当i
j, j; 其中ij
1, 0,
当i j, 当i j.
1 1 1 1
范德蒙德 行列式：
x1 Dn x12
x2 x22
x3 x32
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 3
xn xn2 ＝ (xi x j ) ．证明用数学归纳法．
A
0
A2
0
A11
，若
A
0 ，则 A1
As
0
A
1 2
0
A
1 s
性质： A A1 A2 As ，且 Ai 0 (i 1,2, , s) ，则 A 0 ．
行向量：
α1T
A mn
α
T 2
，
α
T m
αiT (ai1, ai2, , ain )
列向量：
A (a1, a2 , , an )
线性方程组有解，称它相容；无解，就称 它不相容．
（iii）有无限多解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n ．
线性方程组 Ax b 有解的充要条件是 R(A) R(A, b) ．
n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R(A) n ．
矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R(A) R(A, B) ．
定理 2： n 阶行列式可定义为 D (1)t a a p11 p2 2 apnn = (1)t a1p1 a2 p2 anpn ．
1．D=DT，DT 为 D 转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)
好用的线性代数教材所有定理
1, 2 ,, n线性相关
T T T r (1 , 2 , , n ) n 向量组中的向量个数
a1 j a2 j j a nj
定理3.5推论1:设n个n维向量
( j 1, 2, , n)
(1 2
a11 a21 n) A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
n 1 2 n 1 1 2 2 n n
定理1.4 n阶行列式D =|aij|等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=
+ …+
+ …+
i =1,2,3,…,n j =1,2,3,…,n
定理1.5 n阶行列式 D aij 某一行(列)的元素与另一行(列) 对应元素代数余子式乘积的和等于0,即:
a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n
其中Dj是把系数行列式D中第j列 D j 的元素用方程组右端的常数项代替 an1 an, j 1 bn an, j 1 ann 后所得到的n阶行列式，
定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13) 的系数行列式 xj=0 j=1,2,..,n) D≠0,则它仅有零解. (D≠0
设n阶矩阵A (aij )nn , A的全部特征值为 1，2 ,, n
(其中可能有重根、复根），则 即： (1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
定理4.5 若n阶矩阵 A与B相似,则A与B的特征多项式相同
,
从而A与B的特征值相同. 定理4.5推论 若n阶方阵A与对角阵
1 2 n
线性代数必须熟记的结论
1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； n 2n !n 2n2. 代数余子式的性质：①、ij A 和的大小无关；ij a ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A ++=−=−M4. 设行列式n D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D −=−； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为o2D ，则(1)22(1)n n D D −=−；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n −× −；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n −× −；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB OB==、(1)m n CA OA AB B OB C==−⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk k k E A S λλλn k −=−=+−∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =−； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是阶可逆矩阵：n ⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组有非零解； 0Ax =⇔n b R ∀∈，总有唯一解； Ax b =⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；线性代数必须熟记的结论⇔A 的行（列）向量组是的一组基； n R ⇔A 是中某两组基的过渡矩阵；n R 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A −−−−===1***11()()()T T TAB B A AB B A AB B A −−−===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、； 111121s A A A A −−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O②、111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎟；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎟1⎟；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） 1111A C A A CB O B OB −−−−−⎛⎞−⎛⎞=⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⑤、11111A O A O C B B CAB −−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎟；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m 矩阵n ×A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；r m nE OF O O ×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若，则(,)(,)rA E E X A 可逆，且1X A −=；②、对矩阵做初等行变化，当(,)A B A 变为E 时，B 就变成1A B −，即：；1(,)(,)cA B E A B − ∼ ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且； 1x A b −=4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j −=，例如：；1111111−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())((E i k E i k −=，例如：1111(011k k k −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠)； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k −=−，如：；11111(11k k k −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=≠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0))5. 矩阵秩的基本性质：①、0(；)min(,m n r A m n ×≤≤②、；()()T r A r A =③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===⑤、max ；（※） ((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+⑥、；（※） ()()()r A B r A r B +≤+⑦、；（※）()min((),()r AB r A r B ≤)⑧、如果A 是矩阵，m n ×B 是矩阵，且n s ×0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为阶方阵，则；n ()()()r AB r A r B n ≥+−6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）×行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；101001a c b ⎛⎞⎜⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟m 二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n nnnnnnm a b C a C a b C a b Ca b C b Ca b −−−−=+=++++++=∑L L −；注：Ⅰ、(展开后有项；)n a b +1n +Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!−−+==−LL L m n n n n n n m n C C m m n m ==n C −=1Ⅲ、组合的性质：；111102−−+−===+=∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==⎨⎪−<−⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,AAAX X A A A A X X λλλ− == ⇒ =)；③、*1A A A −=、1*n A A−=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、，()r A n =A 中有阶子式不为0，n 1n +阶子式全部为0；（两句话）②、，()r A n <A 中有阶子式全部为0； n ③、，()r A n ≥A 中有阶子式不为0；n 9. 线性方程组：，其中Ax b =A 为矩阵，则：m n ×①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有个方程；m ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为元方程； n 10. 线性方程组的求解：Ax b =①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成n 元线性方程：n m ①、；11112211211222221122n n n n m m nm n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L LLLLLLLLLLL L n②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⇔=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠L L M M O M M M L （向量方程，A 为m n ×矩阵，个方程，个未知数）m n ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M （全部按列分块，其中）；12n b b b β⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（为未知数的个数或维数）n 4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组m n A ：12,,,m αααL 构成n m ×矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个维行向量所组成的向量组n B ：12,,,T T TmβββL 构成m n ×矩阵12T T T m B βββ⎛⎞⎜⎟⎜=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M ⎟； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax ⇔=②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组） Ax b ⇔=③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）AX B ⇔=3. 矩阵与m n A ×l n B ×行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ；(()(T r A A r A =)101P 例15) 5.维向量线性相关的几何意义：n ①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααL α线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s ααL α线性无关，则121,,,s ααα−L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若维向量组r A 的每个向量上添上个分量，构成n 维向量组n r −B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为）能由向量组r B （个数为）线性表示，且s A 线性无关，则r (二版s ≤74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； （()(,)r A r A B ⇔=85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价（()()(,)r A r B r A B ⇔ ==85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆存在有限个初等矩阵，使⇔12,,,l P P P L 12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵与m n A ×l n B ×：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则与0Ax =0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若，则：m s s n m n A B C ×××=①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 0ABx =①、 只有零解0ABx =0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解一定存在非零解；0ABx ⇒ =12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ×L 可由向量组线性表示为：（12:,,,n s s A a a a ×L 110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中为，且K s r ×A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与的列向量组具有相同线性相关性） K （必要性：；充分性：反证法）()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q 注：当时，为方阵，可当作定理使用；r s =K 13. ①、对矩阵，存在， m n A ×n m Q ×m AQ E =()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵，存在， m n A ×n m P ×n PA E =()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααL α线性相关⇔存在一组不全为0的数，使得12,,,s k k k L 11220s s k k k ααα+++=L 成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M 有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<L ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设的矩阵m n ×A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：；()r S n r =−16. 若*η为的一个解，Ax b =12,,,n r ξξξ−L 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ−L 线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵或T A A E ⇔=1T A A −=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即；1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩L ②、若A 为正交矩阵，则也为正交阵，且1T A A −=1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a L 1b a =1；122211[,][,]b a b a b b b =−1LLL12112112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b −1−−−=−−−− L ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、可逆； Q ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ，其中可逆；⇔=T C AC B⇔与有相同的正、负惯性指数； T x Ax T x Bx ③、A 与B 相似 1−⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则C T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. 元二次型为正定：n T x Ax A ⇔的正惯性指数为；n A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵，使C T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0； A ⇔0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数重要知识点总结
线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。
推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。
定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
*注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。
推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。
性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。
注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。
推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。
性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。
#注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。
性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。
行列式按行（列）展开余子式：Mij 代数余子式：Aij=（-1）i+j Mij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij 与它代数余子式的乘积，即D=aijAij[定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+i k+j1+j2+…+j k）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,i k为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,j k为M在D 中的各列标。
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数各章学习要点3
第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。
本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。
无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。
3. 1 n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数a-i,a2/ , a n组成的有序数组-■ - ( a i, a2, , a n)a2耳一称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中a1, a2 / ,a n称为向量的分量（或坐标）。
分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。
如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。
行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。
以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
设有向量■■ = （a i,a2,…，a n），- - （b1 ,b2 / , b n ）则向量相等的定义为- a i = b i （i=1,2,…,n）向量的加法定义为a + P =（a i +b i a? +b2 …a* +b n T数乘向量的定义为k：（「k）二（ka i,ka2, ,ka n）T向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中：■,'-,为n维向量，k,l为常数）：（1）二：+：= ：+=；)( :• - ) ( - )；(3)存在零向量0= ( 0,0，…，0 ) T，使得〉+0= ;(4)存在:-的负向量-二=(_a i,_a2,…，-a n)T,使得〉+ (-二)=0；(5)仁• = ：•；(6)k(l ： )=(kl):-;(7)k(: + 1 )=k +k :;(8)(k+l)用=k : +1 :;如果记矩阵A = (a j )m n的第j列向量为：a i ja2jQ j = : , (j=1,2,…,n)貝一则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：论一：* - X2J2…'x n J n二 b而齐次线性方程组A X=0则可写成向量形式：Xv 1 ■ X2： 2 …• X n： n = 03. 2向量组的线性相关性定义(线性组合)设宀，：^，…，〉m是一组n维向量，k1, k2/ ,k m是一组常数，则称向量kr 1 k2： 2 k m： m为向量〉1,〉2,i,〉m的一个线性组合，并称k1,k2 / , k m为该线性组合的系数。
线性代数知识点总结(2)
大学线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列得n 个元素得乘积得与（奇偶）排列、逆序数、对换行列式得性质:①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式）② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论:若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③ 常数k 乘以行列式得某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论:行列式中某一行（列）元素全为零,行列式为零。
④ 行列式具有分行（列）可加性⑤ 将行列式某一行（列）得k 倍加到另一行（列）上,值不变行列式依行（列）展开:余子式、代数余子式定理:行列式中某一行得元素与另一行元素对应余子式乘积之与为零。
克莱姆法则：D,非齐次线性方程组：当系数行列式时，有唯一解= 土（丿・=1、2……a ）齐次线性方程组：当系数行列式时，则只有零解逆否:若方程组存在非零解，则D 等于零痔殊行列式： n il 牡 a iia n a 212）转置行列式: a 2i ci 22 a 口 —> ci l2 a 22a 31 6/32 °335 a 23 ②对称行列式:a tj = ciji③反对称行列式:a tj = -a jf 奇数阶得反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式：行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多得）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、④三线性行列式：a 21a 22 5 °方法:用把化为零,。
化为三角形行列式第二章矩阵矩阵得概念：4”血（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）矩阵得运算:加法（同型矩阵）交换、结合律数乘kA = （ka ij）^l分配、结合律A*〃 =（讥"*如旳=（工畋如）龄乘法V 注意什么时候有意义一般AB^=BA,不满足消去律;由AE=O,不能得A=0或B=0转置（A T）r = A（4 + By =A T+B T（kA）7 = kA T（AB）T=B T A T（反序定理）方幕:泸八=A kl+kz几种特殊得矩阵:对角矩|阵:若AB都就是N阶対角阵左就是数，则kA、A+B、AB都就是n阶对角阵数量矩阵:相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列得卜方都就是0分块矩阵:加法，数乘，乘法:类似，转置:每块转置并且每个子块也要转置注:把分出来得小块矩阵瞧成就是元素逆矩阵:设A就是N阶方阵，若存在N阶矩阵B得AB=BA=I则称A就是可逆得,= 奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2、、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）得K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵得可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到得（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵矩阵得秩［（A）:满秩矩阵降秩矩阵若A可逆,则满秩若A就是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵得秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式得联系与区别：都就是数表;行列式行数列数一样，矩阵不一样;行列式最终就是一个数,只要值相等, 就相等，矩阵就是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵伙® ）” = R （州）“，行列式5 广K a ijn逆矩阵注:®AB=BA=I则A与B —定就是方阵②EA=AB=I则A与B —定互逆；③不就是所有得方阵都存在逆矩阵;④若A可逆，则其逆矩阵就是唯一得。
我整理的大一线性代数要点
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
线性代数性质公式整理
线性代数性质公式整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。
当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用表示排列的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开——，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i 行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若，则，且特征值相同。
(完整word版)线性代数中的若干个充要条件
线性代数中的若干个充要条件一、n 阶方阵可逆的充要条件A 是n 阶可逆方阵⇔E BA AB ==)(⇔0det ≠A （非奇异）⇔n A =rank （满秩）⇔A 的最高阶非零子式的阶数等于n⇔E A ~(等价)⇔A 的伴随矩阵*A 可逆⇔)rank()rank(B AB =⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP =⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA =⇔存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ，使s P P P A 21= ⇔0=Ax 只有零解⇔0=Ax 解空间的维数是零⇔ββ=∈∀Ax R n ,总有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔ββ ,n R ∈∀总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示⇔A 的特征值均不为零实对称A ⇔A 的正、负惯性指数的和n q p =+⇔A A T 是正定矩阵⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基⇔A 的列向量组与单位向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε等价 ⇔A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵二、β=⨯x A n m 有（无）解的充要条件β=⨯x A n m 有（无)解⇔),rank(rank βA A = (),rank(rank βA A <)⇔向量β可以(不能)被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示三、β=⨯x A n m 有唯一（无穷多)解的充要条件β=⨯x A n m 有唯一(无穷多）解⇔)(),rank(rank n n A A <==β⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示(n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一）四、0=⨯x A n m 只有零（有非零）解的充要条件0=⨯x A n m 只有零（有非零）解⇔n A =rank （n <)⇔A 列满秩（列亏秩）⇔A A T 可逆 （A A T 不可逆）⇔A A T 正定 (A A T 非负定）⇔存在矩阵m n Q ⨯，使n n E QA ⨯=⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关(线性相关)⇔n ααα,,,21 中每一个（至少有一个）都不能（可以)由其余1-n 个线性表出⇔向量组n ααα,,,21 与n 维单位向量组n εεε,,,21 （不)等价 ⇔解空间维数0=s （A n s rank -=）⇔没有基础解向量(基础解系中有A n rank -个基础解向量）五、ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解的充要条件ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解⇔m A =rank （行满秩)⇔0)det(≠T AA (0)det(=T AA ）⇔T AA 可逆 (T AA 不可逆）⇔存在矩阵m n P ⨯，使m m E AP ⨯=⇔A 的行向量组T mT T βββ,,,21 线性无关 ⇔m n =),,,(rank 21ααα (若n m <，A 的列向量组线性相关）⇔A 的列向量组n ααα,,,21 可线性表示任意一m 维列向量⇔m R ∈∀β,存在常数n k k k ,,,21 使()βααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n k k k 2121,,, ⇔向量组n ααα,,,21 与m 维单位向量组m εεε,,,21 等价六、n n A ⨯ 可以相似对角化的充要条件n n A ⨯ 可以相似对角化⇔存在可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1（对角矩阵)⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔A 的任一特征值的重数与该特征值线性无关特征向量的个数相等 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，0)(0=-x A E λ有k 个基础解向量 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，k n A E -=-)(rank 0λ附1：n n A ⨯ 可以相似对角化的充分条件n n A ⨯ 有n 个不同的特征值⇒A 可以相似对角化n n A ⨯ 是实对称矩阵⇒A 可以相似对角化附2：两个n 方阵A 与B 相似的必要条件B A ~（相似）⇒)(det )(det B E A E -=-λλ（特征值相同) ⇒B A tr tr =∑==n i i 1λ（等迹且等于特征值的和,∑==ni ii a A 1tr ）⇒B A rank rank =（等秩)⇒B A det det =（行列式相等）七、n 元二次型Ax x T 正定的充要条件n 元二次型Ax x T 正定⇔ 0 ,≠∈∀x R x n ，0>Ax x T⇔A 是正定矩阵⇔A 的正惯性指数n p =⇔E A ~（合同）⇔存在可逆矩阵D ，使D D A T =⇔A 的特征值均为正数⇔A 的顺序主子式均大于零附:n 元二次型Ax x T 正定的必要条件 A 是正定矩阵⇒A 的主对角元n i a ii ,,2,1 , 0 =>⇒ 0det >A八、矩阵合同的充要条件A~(合同）⇔A与B有相同的正、负惯性指数BA~（合同）⇒BBrank=，反之未必.A rankA(与对角阵合同)，反之未必。
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
向量组相似的充要条件
向量组相似的充要条件
向量组相似的充要条件
引言
在线性代数中，向量组的相似性是一个重要的概念。
想要判断两个向量组是否相似，我们需要了解其中的充分必要条件。
本文将介绍向量组相似的充要条件。
向量组相似的定义
在向量空间V中，有两个向量组{v1,v2,…,v m}和{u1,u2,…,u n}。
如果存在一个m × n的矩阵A，使得v i=Au i（i = 1,2,…,n），则称这两个向量组是相似的。
向量组相似的充要条件
为了判断两个向量组是否相似，我们需要满足以下充要条件：
1.向量组的维数相等：两个向量组{v1,v2,…,v m}和
{u1,u2,…,u n}的维数相等，即m = n。
2.向量组的秩相等：两个向量组的秩相等，即
rank({v1,v2,…,v m})=rank({u1,u2,…,u n})。
3.相似矩阵的秩等于向量组的秩：如果向量组相似，那
么相似矩阵A的秩等于向量组的秩，即rank(A)=
rank({v1,v2,…,v m})。
4.线性方程组的解空间相同：如果两个向量组相似，那
么它们所对应的齐次线性方程组的解空间相同。
结论
通过以上充要条件的判断，我们可以确定两个向量组是否相似。
相似的向量组有着重要的性质，它们在一些线性代数的问题中起到了关键作用。
参考文献
•[线性代数-相似矩阵和向量组的相似](
•[线性代数课件](
•[向量组相似的定义与定理](
以上是关于向量组相似的充要条件的相关内容，希望对读者理解向量组的相似性有所帮助。
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线性代数中的若干个充要条件
一、n 阶方阵可逆的充要条件
A 是n 阶可逆方阵
⇔E BA AB ==)(
⇔0det ≠A （非奇异）
⇔n A =rank （满秩）
⇔A 的最高阶非零子式的阶数等于n
⇔E A ~（等价）
⇔A 的伴随矩阵*A 可逆
⇔)rank()rank(B AB =
⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP =
⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA =
⇔存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ,使s P P P A 21= ⇔0=Ax 只有零解
⇔0=Ax 解空间的维数是零
⇔ββ=∈∀Ax R n ,总有唯一解
⇔A 的行（列）向量组线性无关
⇔
ββ ,n R ∈∀总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示 ⇔A 的特征值均不为零
实对称
A ⇔A 的正、负惯性指数的和n q p =+
⇔A A T 是正定矩阵
⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基
⇔A 的列向量组与单位向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε等价 ⇔A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵
二、β=⨯x A n m 有(无)解的充要条件
β=⨯x A n m 有（无）解
⇔),rank(rank βA A = （),rank(rank βA A <） ⇔向量β可以（不能）被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示
三、β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解的充要条件
β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解
⇔)(),rank(rank n n A A <==β
⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示（n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一）
四、0=⨯x A n m 只有零（有非零）解的充要条件
0=⨯x A n m 只有零（有非零）解
⇔n A =rank （n <）
⇔A 列满秩（列亏秩）
⇔A A T 可逆 (A A T 不可逆)
⇔A A T 正定 (A A T 非负定)
⇔存在矩阵m n Q ⨯，使n n E QA ⨯=
⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关（线性相关） ⇔n ααα,,,21 中每一个（至少有一个）都不能（可以）由其余1-n 个线性表出
⇔向量组n ααα,,,21 与n 维单位向量组n εεε,,,21 （不）等价 ⇔解空间维数0=s （A n s rank -=）
⇔没有基础解向量（基础解系中有A n rank -个基础解向量）
五、ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解的充要条件
ββ=∈∀⨯x A R n m m ,总有解
⇔m A =rank (行满秩)
⇔0)det(≠T AA (0)det(=T AA )
⇔T AA 可逆 (T AA 不可逆)
⇔存在矩阵m n P ⨯，使m m E AP ⨯=
⇔A 的行向量组T m T T βββ,,,21 线性无关
⇔m n =),,,(rank 21ααα （若n m <，A 的列向量组线性相关） ⇔A 的列向量组n ααα,,,21 可线性表示任意一m 维列向量
⇔m R ∈∀β，存在常数n k k k ,,,21 使()βααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n k k k 2121,,, ⇔向量组n ααα,,,21 与m 维单位向量组m εεε,,,21 等价
六、n n A ⨯ 可以相似对角化的充要条件
n n A ⨯ 可以相似对角化
⇔存在可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1（对角矩阵） ⇔A 有n 个线性无关的特征向量
⇔A 的任一特征值的重数与该特征值线性无关特征向量的个数相等 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，0)(0=-x A E λ有k 个基础解向量 ⇔对A 的任一k 重特征值0λ，k n A E -=-)(rank 0λ
附1：n n A ⨯ 可以相似对角化的充分条件
n n A ⨯ 有n 个不同的特征值⇒A 可以相似对角化
n n A ⨯ 是实对称矩阵⇒A 可以相似对角化
附2：两个n 方阵A 与B 相似的必要条件
B A ~（相似）
⇒)(det )(det B E A E -=-λλ（特征值相同）
⇒B A tr tr =∑==n i i 1λ（等迹且等于特征值的和，∑==n
i ii a A 1
tr ）
⇒B A rank rank =（等秩）
⇒B A det det =（行列式相等）
七、n 元二次型Ax x T 正定的充要条件
n 元二次型Ax x T 正定
⇔ 0 ,≠∈∀x R x n ，0>Ax x T
⇔A 是正定矩阵
⇔A 的正惯性指数n p =
⇔E A ~（合同）
⇔存在可逆矩阵D ，使D D A T = ⇔A 的特征值均为正数
⇔A 的顺序主子式均大于零
附：n 元二次型Ax x T 正定的必要条件 A 是正定矩阵
⇒A 的主对角元n i a ii ,,2,1 , 0 => ⇒ 0det >A
八、矩阵合同的充要条件
B A ~（合同）⇔A 与B 有相同的正、负惯性指数 B A ~（合同）⇒B A rank rank =，反之未必. A 实对称⇒Λ~A （与对角阵合同），反之未必.。