1.2矩形的性质与判定课件(共22张PPT)

③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的
1
关系是OB= 2 AC．
问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不
是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例题
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
跟踪训练
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）对角线相等的四边形是矩形；（ X ） （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ √ ） （3）有四个角是直角的四边形是矩形；（ √ ） （4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
D
邻角互补可使问题得证.
证明:
B
C
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90, ∠B=180-∠A=90, ∠D=180-∠A=90.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
的有
（填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边 A １ 形是矩形；矩形的定义. 答案：① ④
Ｂ
Ｄ
２
Ｃ
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为
AC的中点，则DE＝
．
解析：根据直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半可得，DE等于AC的 一半，所以DE=4. 答案：4
3．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD 和BCD组成的，M、N•分别为BC、AD的中点． 求证：四边形BMDN是矩形． 证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N•分 别为BC、AD的中点. ∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°， ∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°. ∴∠NBM=90°. ∴四边形BMDN是矩形.
结论：
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形. 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行 四边形,可使问题得证.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°.
A
D
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
B
C
B
C
分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个
角由量变到质变的变化过程．
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角
是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形
是矩形”来定义矩形．
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形与平行四边形之间的关系
平行四边形 矩形
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一 切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．
解析: ∵四边形ABCD是矩形.
A
D
∴AC=BD,且 OA OC 1 AC.
2
OB OD 1 BD. 2
OA OD.
O
B
C
你认为例1还可以怎
∵∠AOD=120°.
么去解？
∴∠ODA=∠OAD= 1800 1200 300.
∵∠DAB=90°.
2
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
矩形的性质与判定
学习目 标
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及 相 关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
新课导 入
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪 些性质？
边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分．
知识讲 解
A
D
A
D
一 个角 变 形 成直 角
（ X）
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那
么这个三角形是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且 CD 1 AB.
2
求证:△ABC是直角三角形.
A
E
D
C
B
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平
行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∵ AD=BD,CD=ED. ∴四边形ACBE是平行四边形. ∵AB=2CD,CE=2CD. ∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=90°. ∴△ABC是直角三角形.
随堂练 习
1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②
AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形
A
D
O
B
C
（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的
特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互
相垂直；
②角：四个角是直角（性质1）；
③对角线：相等且互相平分．
定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90.
分析:由矩形的定义,利用对角相等, A
等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是
矩形．
A
解析：（1）在等边△ABC中，∵点D
是BC边的中点，∴∠DAC＝30º，又
F
E
∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º，
B
D
C
∴∠CAE＝30º.
（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点， ∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1） 知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF， ∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又 ∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形．
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
A
D
分析:根据矩形的性质,可转化
为全等三角形(SAS)来证明.
A
D
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形.
B
C
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
∵BC=CB. ∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
练一练：如图，在矩形ABCD中：
①AB∥CD，AB=CD；
A
D
O
AD∥BC，AD=BC
B
CLeabharlann ②∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°