简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
19-20版 第2章 §5 简单复合函数的求导法则
1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合 而成． 2．复合函数求导的步骤
栏目导航
2．求下列函数的导数． (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝ 1－1 2x； (3)y＝sin－2x＋π3；(4)y＝102x＋3.
栏目导航
2．复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(φ(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关 系为 yx′＝ yu′·ux′ .即 y 对 x 的导数是 y对u的导数与u对x的导数 __的__乘__积_____．
栏目导航
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－1x＋1 C．y＝ln1x
栏目导航
复合函数导数的应用
[探究问题] 1．求曲线 y＝cos2x＋π6在 x＝π6处切线的斜率． [提示] ∵y′＝－2sin2x＋π6， ∴切线的斜率 k＝－2sin2×π6＋π6＝－2．
栏目导航
2．求曲线 y＝f(x)＝e2x＋1 在点－12，1处的切线方程．
栏目导航
1．指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos( 3x＋1)．
[解] (1)y＝ln u，u＝ x. (2)y＝eu，u＝sin x. (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1．
栏目导航
求复合函数的导数
【例 2】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 思路探究：先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层 求导．
栏目导航
1．判断复合函数的复合关系的一般规律是：从外向里分析，最 外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构 也都是基本函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而得到 的函数．
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式有哪些链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。
要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。
链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
"拓展阅读：复合函数的奇偶性复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。
1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。
奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。
函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
复合函数的单调性的判断方法复合函数单调性就2句话：2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数简单记法：负负得正,正在得正,负正得负。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
第2章 §5 简单复合函数的求导法则
§5简单复合函数的求导法则学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点一复合函数的概念已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？答案函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？答案设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．梳理一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．知识点二复合函数的求导法则(1)复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．(2)复合函数求导的步骤①适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)．②分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f′(u)，再求φ′(x)．③计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代入原变量的函数．1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(×)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(×)3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．(√)类型一 复合函数的概念 例1 指出下列函数的复合关系． (1)y ＝(a ＋bx )x ；(2)y ＝ln 3e x ＋2； (3)y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)；(4)y ＝sin 3⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 解 函数的复合关系分别是： (1)y ＝u x ，u ＝a ＋bx .(2)y ＝ln u ，u ＝3v ，v ＝e x ＋2. (3)y ＝3log 2u ，u ＝x 2－2x ＋3. (4)y ＝u 3，u ＝sin v ，v ＝x ＋1x.反思与感悟 要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数．跟踪训练1 下列函数不可以看成是复合函数的是( ) A ．y ＝x cos x B ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 答案 A解析 B 中函数y ＝1ln x 是由函数f (u )＝1u和函数u ＝φ(x )＝ln x 复合而成的，其中u 是中间变量；C 中函数y ＝(2x ＋3)4是由函数f (u )＝u 4和函数u ＝φ(x )＝2x ＋3复合而成的，其中u 是中间变量；D 中函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是由函数f (u )＝sin u 和函数u ＝φ(x )＝π2－x 复合而成的，其中u 是中间变量．故选A. 类型二 复合函数的求导例2 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数解 (1)y ′＝2×(3x －2)·(3x －2)′＝6×(3x －2) ＝18x －12.(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1. (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .类型三 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y ＝e sin x ，得y ′＝(e sin x )′＝cos x e sin x ， 即当x ＝0时，y ′＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数答案 B解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln 2B ．－ln 2 C.ln 22 D ．－ln 22考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 f ′(x )＝e x －a ·e －x ， 由f ′(x )为奇函数可得a ＝1， 故f (x )＝e x ＋e －x ，f ′(x )＝e x －e －x . 设点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为32，则0e x－0ex －＝32，解得x 0＝ln 2. 3．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．a >0 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝12·(ax 2－1)12-·2ax ＝ax ax 2－1，所以f ′(1)＝a a －1＝2，所以a ＝2.故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝________. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 3 3解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 e 2解析 y ′＝122e x，切线的斜率k ＝12e 2，则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2， ∴切线与坐标轴围成三角形的面积为 12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键．一、选择题1．函数y ＝2sin 3x 的导数y ′等于( ) A ．2cos 3x B ．－2cos 3x C ．6sin 3xD ．6cos 3x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 D解析 y ′＝2(cos 3x )·(3x )′＝6cos 3x .2．已知函数f (x )＝24x －3，则f ′⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A.14 B.14ln 2 C ．ln 2D ．1考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 ∵f ′(x )＝24x －3·ln 2·(4x －3)′＝24x －1·ln 2，∴f ′⎝⎛⎭⎫14＝ln 2.3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得当x ＝0时，y ′＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 4．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 ∵当x ＝0时，y ′＝－2e －2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A ⎝⎛⎭⎫23，23，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.5．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )等于( ) A ．e 2xln 2x ＋e 2x2xB ．e 2xln 2x ＋e 2xxC ．2e 2xln 2x ＋e 2xxD ．2e 2x ·1x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x (ln 2x )′＝2e 2x ln 2x ＋1xe 2x .6．已知函数f (x )＝e ax ＋3x (x ∈R )，a 为实数，若f ′(x )＝0有大于零的解，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 ∵f ′(x )＝a e ax ＋3， 由a e ax ＋3＝0，得e ax ＝－3a (a <0)．又f ′(x )＝0有大于零的解， ∴0<－3a<1，∴a <－3.7．要得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B ．向左平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C ．向右平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3， ∴将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f ′(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3的图像． 二、填空题8．函数y ＝cos(π－3x )的导数y ′＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 3sin 3x解析 ∵y ＝－cos 3x ，∴y ′＝－(－sin 3x )·(3x )′＝3sin 3x . 9．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1， 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e 1－1＝2.10．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 1解析 令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.11．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，0e x －)，当x ＝x 0时，y ′＝－0ex －＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)． 12．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.三、解答题13．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ′＝(e 2x cos 3x )′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x )＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得当x ＝0时，y ′＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，得c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图像(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，即P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.。
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
简单复合函数求导
简单复合函数的导数一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则（二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±（三）复合函数求导法则1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。
则)()('∙'='x u f y φ2、多次复合函数求导法则类推二、典型例题分析：例1、求下列函数的导数； 1）、3(23)y x =- 2）、l n (51)y x =+练习：求下列函数的导数 1）、2(23)y x =+2）、3(13)y x =-例2、求下列函数的导数； 1）、131y x =- 2)、cos(12)y x =-练习：求导数； 1）、1ln y x= 2）、2x y e =3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。
简单复合函数的求导法则精华版
1 f ( ) x
×
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
100 y h(t ) 2t 1 求其在 t 3 时的导数，并解释其意义。解析
例4 求列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y a x (a 0, a 1)
y 0 y x 1
y a x ln a
ye
x
y e x
y 1 x ln a 1 y x
y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y sin x
y cos x
Title
y cos x
y sin x
y 1 cos 2 x
1 sin 2 x
y tan x
y cot x
y
＊ 导数的加减法法则： f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x)
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则简单复合函数的求导法则是微积分中的重要内容之一，它可以帮助我们求解复杂的函数导数问题。
在这里，我将详细介绍简单复合函数的求导法则及其应用。
什么是简单复合函数？简单复合函数是指由两个或多个基本函数组成的新函数，其中一个基本函数作为另一个基本函数的自变量。
例如，f(x) = sin(2x)就是一个简单复合函数。
如何求解简单复合函数的导数？对于简单复合函数f(g(x))，我们可以使用链式法则来计算其导数。
具体来说，链式法则可以表达为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'表示f(x)的导数，g'表示g(x)的导数。
例如，对于f(x) = sin(2x)，我们可以设g(x) = 2x，则：f'(x) = cos(2x)g'(x) = 2因此，(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)= cos(2*2x) * 2= 2cos(4x)这样就得到了sin(2x)的导数为2cos(4x)，这个结果可以进一步用于计算更加复杂的函数。
需要注意的是，在使用链式法则时，我们需要先计算内层函数（即g(x)）的导数，并将其代入到外层函数（即f(x)）的导数中。
简单复合函数的应用简单复合函数的求导法则在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中，运动物体的位置、速度和加速度之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到运动物体在不同时刻的速度和加速度。
2. 金融学中，利率和时间之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到不同时间点上的利率变化率。
3. 工程学中，电路元件之间的电流和电压之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到电路元件在不同时刻上的功率和能量变化率。
复合函数求导公式如何求导函数
复合函数求导公式如何求导函数1.复合函数的定义复合函数是指一个函数的输入是另一个函数的输出。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数可以表示为y=f(g(x))。
2.链式法则链式法则描述了复合函数的导数与内外函数的导数之间的关系。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx3.复合函数的导数计算根据链式法则，求复合函数的导数需要分别计算内外两个函数的导数，并将其乘以一起。
为了方便计算，将内外函数分别用u表示。
假设f(u)的导数为df/du，g(x)的导数为dg/dx，复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx可以表示为：dy/dx = (df/du) * (dg/dx)这里有一个例子来帮助理解复合函数的求导过程：4.例子假设有函数y=(x^2+1)^3，将其拆分为内外两部分，即令u=(x^2+1)，f(u)=u^3、我们可以看到，y是f(u)的复合函数。
首先，计算内外两个函数的导数。
对于外函数f(u)=u^3，其导数df/du=3u^2对于内函数u=(x^2+1)，其导数du/dx=2x。
然后，将内外函数的导数代入链式法则，并将其相乘，得到复合函数的导数。
dy/dx = (df/du) * (du/dx)=(3u^2)*(2x)注意，这里的u实际上是内函数的值，即u=(x^2+1)，所以将其代入式子中。
=3(x^2+1)^2*2x最终，我们得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为dy/dx =3(x^2+1)^2 * 2x。
当然，这只是一个简单的例子，实际问题中可能会更加复杂。
不过，不管是什么样的复合函数，都可以通过链式法则来求导。
只需要先计算内外函数的导数，然后将其代入公式即可。
总之，复合函数求导公式通过链式法则，将复合函数的导数化简为内外函数导数的乘积。
通过理解和应用这一公式，可以在实际问题中简化求导计算，提高计算效率。
一句话总结复合函数求导法
一句话总结复合函数求导法
复合函数求导法是微积分中的重要概念，它描述了两个函数复合后求导的方法。
下面列举了十个关于复合函数求导法的总结：
1. 复合函数的求导法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于外层函数f'(g(x))乘以内层函数g'(x)。
2. 复合函数求导的链式法则：对于复合函数f(g(x))，其导数等于
f'(g(x))乘以g'(x)。
3. 复合函数求导的应用：复合函数求导法可以用于求解复杂函数的导数，如指数函数、对数函数等。
4. 复合函数求导的基本思想：将复合函数视为两个函数的组合，先求内层函数的导数，再求外层函数的导数。
5. 复合函数求导的步骤：首先求内层函数的导数，然后求外层函数的导数，最后将两个导数相乘。
6. 复合函数求导的注意事项：在求导过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性。
7. 复合函数求导的例子：例如，对于复合函数f(g(x))=sin(x^2)，其导数等于2x*cos(x^2)。
8. 复合函数求导的推广：复合函数求导法可推广到多个函数的复合，依然使用链式法则进行求导。
9. 复合函数求导与反函数求导的关系：复合函数求导与反函数求导是相互关联的，可以通过链式法则进行推导。
10. 复合函数求导与高阶导数的关系：复合函数求导法可以推广到
高阶导数的计算，依然使用链式法则进行推导。
通过上述总结，可以清晰地了解复合函数求导法的基本原理和应用方法。
掌握这一知识点对于解决复杂函数求导问题非常重要，有助于进一步理解微积分的概念和方法。
希望上述内容能对你有所帮助！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3u 2 2 6( 2 x 1)2
总结
利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清
其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作
一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中 特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量 转换成自变量的函数。
2
引例
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 r 的函数：
S f ( r ) r 油膜半径 r 随着时间 t 的增加而扩大，其函数关
2
系为：
r (t ) 2t 1
问：油膜面积 S 关于时间 少？
t
的瞬时变化率是多
分析： 油膜面积 S 关于时间
u 是中间变量。
复合函数 y f ( ax b ) 的导数： f (u ) f (u ) ( x) af ( ax b)
注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中
阶段我们只讨论 u ( x ) ax b 的情况。
推广：
复合函数 y f (x ) 中，令 u (x )，则
练习
f (u ) ( x) f (u ) 2 x 2 xf ( x 2 ) y
（2）函数由 y f (u )与 u ( x) sin x 复合而成，
由复合函数的求导法则知：
y f (u ) ( x) f (u ) cos x cos xf (sin x)
4 4
4
例1 求函数 y 3 x 1 的导数。
解析
例2 求函数 y ( 2 x 1) 的导数。
3
解析
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程 中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位： s）的函数为 y h(t ) 100 ，求函数在t=3时的导数，
2t 1
一、教学目标：1、了解简单复合函数 的求导法则；2、会运用上述法则，求简 单复合函数的导数。 二、教学重点：简单复合函数的求导法 则的应用 教学难点：简单复合函数的求导法则的 应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
复习：两个函数的和、差、积、商的 求导公式。 1、 常见函数的导数公式：
100 200 2 将t=3代入 2 x (2t 1) 2
200 cm/s。 49
例4 求下列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
[Cu( x)] Cu '( x)'
法则3
u ' v uv ' u 2 v v
(v 0)
复合函数的导数
新授课
2 2 u 函数 y u ， 3 x 2 ， y ( 3 x 2) 构成间的关系？ y ( 3 x 2) 2 可由 y u 2 u 3 x 2复合得到． 与
对x求导
f ( x)
f (u ) ( x )
对 (x )求导
注意：不要写成 f (x )！
复合函数的导数
新授课
y u 2 , u 3 x 2 ， ( x ) ( 3 x 2)2，求 y , u , f ( x ) f u x 若
并分析三个函数解析式以及导数之间的关系． y 2u u 3 u x
或写作
f x ( ( x )) f ( u) ( x )
复合函数的导数
例题讲解
例3
求
y ( 2 x 1) 5
的导数．
解：设 y u5 , u 2 x 1 ， 则
yx y ux ( u )u ( 2 x 1)x u
5
5u 2 5( 2 x 1) 2 10( 2 x 1)
n n 1 C ' 0 (sin x)' cos x ( x )' nx (cos x)' sin x ' ' ' 2、法则1 [u( x) v( x)] u ( x) v ( x) 法则2 [u( x)v( x)] u '( x)v( x) u( x)v '( x) ,
概括
分析: 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪
个变量对哪个变量求导。
而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式 上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
(1) y (5 x 2) ( 2) y e1cos x
10
sin x e1cos x y
2 2. 求曲线 y x ( 2 x 1) 在 x 6 处的切线方程。
43 x y 143 0
例4
动手做一做
求下列函数的导数：
1 (1) y f ( ) x ( 2) y f ( x 2 1 )
1 f ( ) x
×
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2xபைடு நூலகம்x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
f ( x ) [( 3 x 2)2 ] (9 x 2 12 x 4) 8 x 12
2 函数 f ( x ) 可由 y u , u 3 x 2 复合而成．
y u 2u 3 2( 3 x 2) 3 18 x 12 u x f ( x ) y u u x
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y f (u) ，则复合 u 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y y u x u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
u ( x) 2 x 1 复合而成，由复合函数求导法则
可知：
(2x 1) f (u) ( x)
并解释它的实际意义。
x (t ) 2t 1 复合而成的，其中x是中间变量。
yt h(t ) f ( x) (t )
100 100 解：函数 y h(t ) 是由函数 f ( x) 2t 1 x
与
h(t )
得： h (3) 200 （cm/s）。 49 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为
y ( 2 x 2 )3 （1） y sin x 2 （2）
复合函数的导数
新授课
例2 写出由下列函数复合而成的函数： y （1） ln u, u ln x （2） cos u, u 1 x 2 y
解：（1） （2）
y ln(ln x ).
y cos(1 x )
系的求导法则。
结束
分析： 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要 弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的 关键。
解： 1 令 u ( x ) 3 x 1 ，则函数是由 f (u ) u u 2 与 u ( x ) 3 x 1 复合而成，由复合函数求导法则 可知：
例1 指出下列函数的复合关系：
y cos x （4） y ln sin( 3 x 1) （3） 4 y cos x 23x 由 yu,cos u, 2 复合而成． ( 2 ) 由 y 3 u 2 u x x 复合而 解：（1） （3） 4 4 成． y sin x 2 由 y ln u u x 2 v , v 3 x 1 y ln sin( 3 x 1)由 y sin u,,u sin复合而成． 复合而 （4） （2） 成．
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
概括
一般地，对函数 y f (u ) 和 u ( x) ax b ， 给定 x 的一个值，可得 u 的值，进而确定 y 的值， 这就确定了新函数 y f (ax b)，它是由 y f (u ) 和u ( x) ax b复合而成的，我们称之为复合函 数，其中