简单复合函数的求导法则

概括
分析: 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪
个变量对哪个变量求导。
而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式 上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
练习
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
y ( 2 x 2 )3 （1） y sin x 2 （2）
复合函数的导数
新授课
例2 写出由下列函数复合而成的函数： y （1） ln u, u ln x （2） cos u, u 1 x 2 y
解：（1） （2）
y ln(ln x ).
y cos(1 x )
对x求导
f ( x)

f (u ) ( x )
对 (x )求导
注意：不要写成 f (x )！
复合函数的导数
新授课
y u 2 , u 3 x 2 ， ( x ) ( 3 x 2)2，求 y , u , f ( x ) f u x 若
并分析三个函数解析式以及导数之间的关系． y 2u u 3 u x
或写作
f x ( ( x )) f ( u) ( x )
复合函数的导数
例题讲解
例3
求
y ( 2 x 1) 5
的导数．
解：设 y u5 , u 2 x 1 ， 则
yx y ux ( u )u ( 2 x 1)x u
5
5u 2 5( 2 x 1) 2 10( 2 x 1)
f ( x ) [( 3 x 2)2 ] (9 x 2 12 x 4) 8 x 12
2 函数 f ( x ) 可由 y u , u 3 x 2 复合而成．
y u 2u 3 2( 3 x 2) 3 18 x 12 u x f ( x ) y u u x
一、教学目标：1、了解简单复合函数 的求导法则；2、会运用上述法则，求简 单复合函数的导数。 二、教学重点：简单复合函数的求导法 则的应用 教学难点：简单复合函数的求导法则的 应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
复习：两个函数的和、差、积、商的 求导公式。 1、 常见函数的导数公式：
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y f (u) ，则复合 u 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y y u x u x
100 200 2 将t=3代入 2 x (2t 1) 2
200 cm/s。 49
例4 求下列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
[Cu( x)] Cu '( x)'
法则3
u ' v uv ' u 2 v v
(v 0)
复合函数的导数
新授课
2 2 u 函数 y u ， 3 x 2 ， y ( 3 x 2) 构成间的关系？ y ( 3 x 2) 2 可由 y u 2 u 3 x 2复合得到． 与
4 4
4
例1 求函数 y 3 x 1 的导数。
解析
例2 求函数 y ( 2 x 1) 的导数。
3
解析
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程 中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位： s）的函数为 y h(t ) 100 ，求函数在t=3时的导数，
2t 1
n n 1 C ' 0 (sin x)' cos x ( x )' nx (cos x)' sin x ' ' ' 2、法则1 [u( x) v( x)] u ( x) v ( x) 法则2 [u( x)v( x)] u '( x)v( x) u( x)v '( x) ,
2
引例
一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 r 的函数：
S f ( r ) r 油膜半径 r 随着时间 t 的增加而扩大，其函数关
2
系为：
r (t ) 2t 1
问：油膜面积 S 关于时间 少？
t
的瞬时变化率是多
分析： 油膜面积 S 关于时间
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )


(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
例1 指出下列函数的复合关系：
y cos x （4） y ln sin( 3 x 1) （3） 4 y cos x 23x 由 yu,cos u, 2 复合而成． ( 2 ) 由 y 3 u 2 u x x 复合而 解：（1） （3） 4 4 成． y sin x 2 由 y ln u u x 2 v , v 3 x 1 y ln sin( 3 x 1)由 y sin u,,u sin复合而成． 复合而 （4） （2） 成．
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
u ( x) 2 x 1 复合而成，由复合函数求导法则
可知：
(2x 1) f (u) ( x)
u 是中间变量。
复合函数 y f ( ax b ) 的导数： f (u ) f (u ) ( x) af ( ax b)
注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中
阶段我们只讨论 u ( x ) ax b 的情况。
推广：
复合函数 y f (x ) 中，令 u (x )，则

系的求导法则。
结束
分析： 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要 弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的 关键。
解： 1 令 u ( x ) 3 x 1 ，则函数是由 f (u ) u u 2 与 u ( x ) 3 x 1 复合而成，由复合函数求导法则 可知：
1 f ( ) x
×

ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
f (u ) ( x) f (u ) 2 x 2 xf ( x 2 ) y
（2）函数由 y f (u )与 u ( x) sin x 复合而成，
由复合函数的求导法则知：
y f (u ) ( x) f (u ) cos x cos xf (sin x)
概括
一般地，对函数 y f (u ) 和 u ( x) ax b ， 给定 x 的一个值，可得 u 的值，进而确定 y 的值， 这就确定了新函数 y f (ax b)，它是由 y f (u ) 和u ( x) ax b复合而成的，我们称之为复合函 数，其中
并解释它的实际意义。
x (t ) 2t 1 复合而成的，其中x是中间变量。
yt h(t ) f ( x) (t )
100 100 解：函数 y h(t ) 是由函数 f ( x) 2t 1 x
与
h(t )
得： h (3) 200 （cm/s）。 49 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为
(1) y (5 x 2) ( 2) y e1cos x
10
sin x e1cos x y
2 2. 求曲线 y x ( 2 x 1) 在 x 6 处的切线方程。
43 x y 143 0
例4
动手做一做
求下列函数的导数：
1 (1) y f ( ) x ( 2) y f ( x 2 1 )
3

3u 2 2 6( 2 x 1)2
总结
利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清
其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作
一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中 特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量 转换成自变量的函数。