2021高考数学考点精讲精练《18 等差数列》(练习)(解析版)

考点18 等差数列

【题组一 定义的运用】

1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，(,1)n a S =，1

(1,22)n n b a +=-+，a b ⊥.求证：{}2n n

a 为等差数列； 【解析】证明：

a b ⊥，∴1

220n n n a b S a +⋅=-++=，

可得：122n n n S a +=+，1n =时，14a =-．2n 时，11122(22)n n

n n n n n a S S a a +--=-=+-+，

122n n n a a -∴-=-，可得

11

122n n n n a a ---=-．

∴{}2n

n a 为等差数列，公差为1-，首项为2-． 2．已知数列{}n a 中，111

33

n n n a a +=+ *()N n ∈，11a =.设3n n n b a =*()N n ∈，求证：{}n b 是等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】（1）*111

()33

n n n a a n N +=

+∈，11333n n n n a a ++∴-=，又*3()n n n b a n N =∈，13n n b b +∴-=， {}n b ∴是等差数列，首项为3，公差为3．

3．在正项数列{}n a 中，已知11121n n n n

a a a a a ++=-=

+,且2

2n n a b =-.证明：数列{}n b 是等差数列；

【答案】证明见解析

【解析】∵112n n n n

a a a a ++-=

+∴22

12n n a a +-=，∴数列{}

2n a 是公差为2的等差数列.

∵11a =∴()2211

121n a a n ==+-，，∴2

21n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+， ∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.

4．已知数列{}n a 满足13a =，

()

12

11n n a a n n n n +=+++.证明：数列{}n na 为等差数列；

【答案】证明见解析；

【解析】（1）由()

12

11n n a a n n n n +=+++得()112n n n a na ++-=， 又13a =，所以数列{}n na 首项为3，公差为2的等差数列；

5.已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=

+.证明数列11n a ⎧⎫

⎨⎬+⎩⎭

是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）见解析，12

n n

a =

-（2）()121n n S n =-+ 【解析】因为113n n n a a a +-=

+两边都加上1，得()

12113

n n n a a a +++=+ 所以

11

1211

112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n n

a a +-=++， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列．所以112n n a =+，即12n

n a =-． 6.数列{}n a 中，113a =，()*

121+-=∈n n n a a n N a ，数列{}n b 满足11n n

b a =-.求证：数列{}n b 是等差数列；

【答案】见解析

【解析】

11

111

11121n n n n n a b a a a ---=

==--⎛⎫-- ⎪⎝

⎭，而11

1

1n n b a --=-， ()*112,n n b b n n N -∴-=≥∈，13

2

b =-.

因此，数列{}n b 是首项为3

2

-，公差为1的等差数列；

【题组二 中项性质】

1．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 既是等差数列又是等比数列则角B 的值为 。 【答案】60︒

【解析】由题意得：2b a c =+，2b ac =

由余弦定理得：()2

2222

222

2431cos 2222

a c ac

b a

c b b b B ac ac b +--+--==== ()0,B π∈ 60B ∴=

2．设0a >，0b >，lg lg 4a

与lg 2b

的等差中项，则21

a b

+的最小值为 。 【答案】9 【解析】

∵lg4a 与lg2b

的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+，即2lg 2lg 42lg 2

a

b

a b

+=⋅=，

∴21a b +=．所以

212122()(2)559b a a b a b a b a b

+=++=++≥+= 当且仅当

22b a a b =即13a b ==时取等号，∴21a b

+的最小值为9． 3．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2

396150a a a +-+=，则11S = 。

【答案】55

【解析】由{}n a 是等差数列，得3962a a a +=，因为2

396150a a a +-+=，所以

2662150a a -+=，65a =或63a =-，又0n a >，得65a =，所以()1111161

1111552

S a a a =

+⋅==， 4．在等差数列{}n a 中，已知16112a a a π++=，则6sin a 的值为______.