电磁场有限元分析(数学基础) 共33页PPT资料

x(x0, xn)
在上述逼近公式中，各基函数的系数刚好为被逼近函数在 插值点的函数值，这样的基函数称为插值的基函数。
整域基的优缺点：
优点：全局有统一的表达式，能反映函数的全局变化 规律及对参数的依赖关系；便于整体处理；逼近函数 全局光滑可导；更适合光滑函数的逼近。
缺点：全局关联，牵一发动全身，不方便；求解矩阵 为满阵，计算量大；龙格现象；对基函数的要求严格
Leabharlann Baidu 极端的分域基—d函数
n
pd (x) fidi i0
n
p0 (x) fii i0
线性逼近和样条逼近
n
p1(x) fii i0
n
p2 (x) aii i0
分段线性插值使用的基函数
在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)，
x(xi, xi1)
扩展一下定义:
x xi1

xi

xi1
i


xi1 xi1

x xi
0

x ( xi1, xi ) x (xi , xi1) x ( xi1, xi1 )
n
那么在整个区间上，有 p1(x) fii i0
设法利用已知条件确定系数 a i 。
已知函数若干采样点的 逼近(1) — 插值
若选用多项式基底{ x i } ，构
造逼近函数：
n
p( x) ai xi
i0
令 p(x) 满足：
p (x j) fj (j 1 ,2 , ,7 )
求解方程可以确定系数 a i 。
插值
逼近曲线严格通过采样点。 方程个数与未知数个数相等； 基函数线性无关，保证方程有
函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建 立两个任意集合之间的某种对应关系。
函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。
把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。
2. 基函数
若函数空间D中存在一组函数 {i,i1,2,3, ,n}，使
工程电磁场数值分析
（数值法的数学基础）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2019.12
第3章 数值法的数学基础—加权余量法
1. 函数空间 2. 基函数 3. 权函数 4. 加权余量法 5. 变分法简介
1. 函数空间
关于函数空间的几个概念粗浅的解释
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动， 从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统 过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。
基函数的选择对于逼近的精度 和效率至关重要！
整域基与分域基
整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函 数和幂函数。
分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数， 例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。
常用的分域基
采样函数d(x)
线性插值 样条函数基 小波函数基
分域基的优缺点：
优点：局部关联，灵活方便；计算量小；没有龙格现 象；基函数选择自由度大。更适合不光滑函数的逼近。
缺点：没有全局统一表达式；函数必须分段（或分域） 处理；函数只在局部光滑可导。
自己构造基函数的应用实例 ——回旋加速器主磁铁修正
3. 权函数（weight function）
得D中任意一个函数都能表示成 { i } 的线性组合，则称{ i } 为函数空间D中的一组基（或基底）； i 称基函数。
若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数 空间。n 称为函数空间的维数。
基函数的性质： 完备性：——足够的 线性无关性：——没有多余的 正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠
有
p1(x)fi
fi1fi xi1xi
(xxi)
或
p1(x)fi xxii 11 xxi fi1xix1xxii
定义
i

xi1 x xi1 xi
i 1

x xi xi1 xi
x(xi, xi1)
x(xi, xi1)
那么 p1(x)fi ifi1i1
或
f (x) akejkx
k
函数逼近：对于函数类 A 中给定的函数 f (x)，要求在另
一类较简单的且便于计算或处理的函数类 B 中寻找一个函 数 p (x)，使 p (x) 与 f (x) 之差在某种度量意义下最小。
逼近的方法：选定一组基底 ，
构造{ 逼i } 近函数
n
p(x) aii (x) i0
基本思想：
考虑算子方程 L(u) f
权的概念 s wiui i
加权求积 sw(x)u(x)dx 内积 (f,g)f(x)g(x)dx
正交 ( f , g) 0
带权正交 w(x)f(x)g(x)dx0
范数
f (f,f) f2(x)dx
2

4. 加权余数法（weighted residual method）
唯一的解。
已知函数若干采样点的 逼近(2) — 拟合
拟合
若选用多项式基底{ x i } ，构
造逼近函数：
p(x)a0a1x
令 p(x) 满足：
p (x j) fj (j 1 ,2 , ,7 )
求解方程可以确定系数 a i 。
逼近曲线不通过采样点， 而使整体误差最小。
方程个数多于未知数个 数，求得最小二乘解；
基函数线性无关。
已知若干采样点的两种 逼近: —插值与拟合
无法简单的说哪种更好。插值 可保证采样点的精确；而拟合 对采样误差有更好的鲁棒性。
基函数有多种选择，如三角函 数、指数函数。
线性无关保证方程有唯一解； 完备性保证了逼近的相似程度。
“好”基函数的标准：简单， 易计算，易解释，个数少。
基函数的例子
幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函
数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式
f(x) ci(xx0)i i
ci
f (i) (x0 ) i!
三角函数：周期为2p的周期函数可以展开为Fourier级
数形式
f(x) [cicos(x)disin(x)] i