第三章布朗运动(维纳过程)-Xidian
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随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 布朗运动{Wt,t≥0} 的轨道是连续的 事实上，利用布朗运动定义中 的（2）（3）两条 件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛 夫（轨道）连续性判断准则。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动的仿真样本轨道
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动定义 称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动,如果
(1) W0 = 0
(2) {Wt ,t ≥ 0} 是平稳的独立增量过程．
(3) ∀0 ≤ s < t,Wt −Ws ~ N (0,σ 2 (t − s))
σ2 =1时，称为标准布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
2. ( µ,σ 2 ) −布朗运动
设µ ∈ R, σ > 0, 定义
Bµ ,σ 2 t
=
µt
+ σWt ,
t ≥0
则称随机过程Bµ,σ 2 ={Btµ,σ 2 ,t ≥ 0}为(µ,σ 2 )-布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 计算(µ,σ 2 )-布朗运动的均值函数和相关函数
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
P ( lim ∆t →0
∆Wt ∆t
> x) = 1
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动
如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
第三章 布朗运动（维纳过程）
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动内容
¾ 布朗运动定义 ¾ 布朗运动的一些性质 ¾ 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 Wat a1/2Wt
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T
则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
−Wt n−1 ) ⋅
⎜0
⎜ ⎜
0
1 0
L L
1⎟ 1⎟⎟
⎜M M L M⎟
⎜ ⎝
0
0
L
1⎟⎠
所以 (Wt 1,Wt2 ,L,Wtn ) 是n维正态变量.
所以W是正态过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动的性质 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动，则W具有 ¾ 对称性 即
-W= {-Wt,t≥0}也是标准布朗运动
数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t) = 0, DW (t) = t, t ≥ 0, RW (s,t) = CW (s,t) = min(s,t), s,t, ≥ 0
证明 由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t ,t ≥ 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ϕt2−t1 (z )为N(0,t2 -t1 )分布的密度函数。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 验证布朗运动是正态过程
证明 定设义W，={对W任t,t≥意0的}是n≥参1数,及为任σ意2的的0布≤朗t1 运< t动2 <，L则<由tn
Wt 1,Wt2 −Wt1 ,L,Wtn −Wtn−1 相互独立且
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
RW (s,t ) = E[WsWt ]
= E[(Ws −W0 )(Wt −Ws +Ws )]
独立性
= E[(Ws −W0 )(Wt −Ws )] + E[Ws ]2
= 0 + E[Ws ]2
= D[Ws ] + ( E[WsW (s,t ) − mW (s )mW (t) = min(s,t )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
一维分布函数 F(t1; x ) = P(Wt1 ≤x )
=
∫ 1
2πt1
e dx x
- x2 2t1
-∞
(其中注意到有Wt1 N(0,t1))
W= tP2 (−ξW≤t1
,则ξ x1,ξ
服从N( 0,
+η ≤x2)
t
1
)分布，η 服从N( 0, t
2
−t
1
)分布
∫=
x1 −∞
P(η
≤x
2
-y
)P(ξ
∈dy
)
∫=
x1 −∞
P(η
≤x
2
-y
)ϕt
1
(
y
)dy
∫ ∫ =
x1 −∞
x2− y −∞
ϕt
2
−t 1
(
z
)dzϕt1
(
y
)dy
其中ϕt1( y )为N(0,t1)分布的密度函数，
W W − tk
t k −1
N(0，σ 2(t k −t k −1 ))
所以
（Wt 1,Wt2 −Wt1 ,L,Wtn −Wtn−1）是n维正态变量.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
又由于
⎜⎛1 1 L 1⎟⎞
(Wt 1,Wt2 ,L,Wt n ) = (Wt 1,Wt2 −Wt1 ,L,Wtn
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 验证(µ,σ 2 )-布朗运动是一个正态过程 证明 对任意的n≥2,及任意的 0 ≤ t1 < t2 < L < tn
Bt 1, Bt2 − Bt1 ,L, Btn − Btn−1 相互独立且 Btk − Btk−1服从N ( µ(t k −t k −1 )，σ 2(t k −t k −1 ))分布 所以 （Bt 1, Bt2 − Bt1 ,L, Btn − Btn−1）是n维正态变量.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
二维分布函数为
F(t 1,t 2 ; x1, x2 ) = P(Wt1 ≤x1, Wt2 ≤x2 )= P(Wt1 ≤x1, Wt1 + (Wt2 − Wt1 ) ≤x2 )
令ξ 所以
F=(tW1,tt1
,
2
;
η= x1,x2 )
¾ 布朗运动{Wt,t≥0} 的轨道是连续的 事实上，利用布朗运动定义中 的（2）（3）两条 件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛 夫（轨道）连续性判断准则。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动的仿真样本轨道
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动定义 称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动,如果
(1) W0 = 0
(2) {Wt ,t ≥ 0} 是平稳的独立增量过程．
(3) ∀0 ≤ s < t,Wt −Ws ~ N (0,σ 2 (t − s))
σ2 =1时，称为标准布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
2. ( µ,σ 2 ) −布朗运动
设µ ∈ R, σ > 0, 定义
Bµ ,σ 2 t
=
µt
+ σWt ,
t ≥0
则称随机过程Bµ,σ 2 ={Btµ,σ 2 ,t ≥ 0}为(µ,σ 2 )-布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 计算(µ,σ 2 )-布朗运动的均值函数和相关函数
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
P ( lim ∆t →0
∆Wt ∆t
> x) = 1
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动
如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
第三章 布朗运动（维纳过程）
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动内容
¾ 布朗运动定义 ¾ 布朗运动的一些性质 ¾ 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 Wat a1/2Wt
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T
则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
−Wt n−1 ) ⋅
⎜0
⎜ ⎜
0
1 0
L L
1⎟ 1⎟⎟
⎜M M L M⎟
⎜ ⎝
0
0
L
1⎟⎠
所以 (Wt 1,Wt2 ,L,Wtn ) 是n维正态变量.
所以W是正态过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动的性质 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动，则W具有 ¾ 对称性 即
-W= {-Wt,t≥0}也是标准布朗运动
数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t) = 0, DW (t) = t, t ≥ 0, RW (s,t) = CW (s,t) = min(s,t), s,t, ≥ 0
证明 由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t ,t ≥ 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ϕt2−t1 (z )为N(0,t2 -t1 )分布的密度函数。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 验证布朗运动是正态过程
证明 定设义W，={对W任t,t≥意0的}是n≥参1数,及为任σ意2的的0布≤朗t1 运< t动2 <，L则<由tn
Wt 1,Wt2 −Wt1 ,L,Wtn −Wtn−1 相互独立且
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
RW (s,t ) = E[WsWt ]
= E[(Ws −W0 )(Wt −Ws +Ws )]
独立性
= E[(Ws −W0 )(Wt −Ws )] + E[Ws ]2
= 0 + E[Ws ]2
= D[Ws ] + ( E[WsW (s,t ) − mW (s )mW (t) = min(s,t )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
一维分布函数 F(t1; x ) = P(Wt1 ≤x )
=
∫ 1
2πt1
e dx x
- x2 2t1
-∞
(其中注意到有Wt1 N(0,t1))
W= tP2 (−ξW≤t1
,则ξ x1,ξ
服从N( 0,
+η ≤x2)
t
1
)分布，η 服从N( 0, t
2
−t
1
)分布
∫=
x1 −∞
P(η
≤x
2
-y
)P(ξ
∈dy
)
∫=
x1 −∞
P(η
≤x
2
-y
)ϕt
1
(
y
)dy
∫ ∫ =
x1 −∞
x2− y −∞
ϕt
2
−t 1
(
z
)dzϕt1
(
y
)dy
其中ϕt1( y )为N(0,t1)分布的密度函数，
W W − tk
t k −1
N(0，σ 2(t k −t k −1 ))
所以
（Wt 1,Wt2 −Wt1 ,L,Wtn −Wtn−1）是n维正态变量.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
又由于
⎜⎛1 1 L 1⎟⎞
(Wt 1,Wt2 ,L,Wt n ) = (Wt 1,Wt2 −Wt1 ,L,Wtn
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 验证(µ,σ 2 )-布朗运动是一个正态过程 证明 对任意的n≥2,及任意的 0 ≤ t1 < t2 < L < tn
Bt 1, Bt2 − Bt1 ,L, Btn − Btn−1 相互独立且 Btk − Btk−1服从N ( µ(t k −t k −1 )，σ 2(t k −t k −1 ))分布 所以 （Bt 1, Bt2 − Bt1 ,L, Btn − Btn−1）是n维正态变量.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
二维分布函数为
F(t 1,t 2 ; x1, x2 ) = P(Wt1 ≤x1, Wt2 ≤x2 )= P(Wt1 ≤x1, Wt1 + (Wt2 − Wt1 ) ≤x2 )
令ξ 所以
F=(tW1,tt1
,
2
;
η= x1,x2 )