第二章 波函数

( x)
将已知波函数代入得到
a

2
dx 1
0 A sin a x

2
dx 1
A
积分后有
2 a
0 sin
2

a
xdx 1
即：
a 1 a 2 A xdx 1 0 dx 0 cos 2 a 2 1 2 A a 1 A 2 a 2
所以归一化的波函数为

(3) 原子光谱 原子只有在两个定态间跃迁时才发射或吸收电磁波 Em-En=hν 能量量子化，轨道角动量的量子化条件 (4)Compton 散射 光子与电子的碰撞，动量能量守恒 光的粒子性的实验证实
outline
黑体辐射 Planck假设
En nh
光电效应
Einstein假说
p
h

Compton 散射 Bohr理论
在某一位置附近衍射图样的强度与r点附近感光粒子的数目 成正比，即与电子打在该点附近的几率成正比。 • 在t时刻，在r点附近的体积元d中找到粒子的几率为
2 r , t r , t r , t 2 w(r , t ) (r , t ) (r,t ) (r,t ) 称为几率密度
12.25 (Å) U
若 U=100伏 若 U=150伏 若 U=1000伏
=1.225Å =1Å =0.122Å
－ X射线波段
（2）经典粒子德布罗意波长的估算
例1 质量m=0.01kg，速度V=300m/s的子弹的德布罗意波 长为
h h p mV
6.6310 2.211034 m 0.01300
光的粒子性 能量量子化
光子
能量非连续性
光 的 波 粒 二 象 性
第二章 波函数和薛定谔方程
一． 德布罗意假设
二． 薛定谔方程 三． 波函数的统计解释 四． 粒子数守恒 五． 态的叠加原理 六． 不确定关系(测不准)
一 物质波的提出 matter wave
一个能量为E,动量为 P 的实物粒子同时具有波动性, 且有:
(r,t ) 2 2 i (r,t ) U (r,t) (r,t ) t 2m
薛定谔波动方程
算符化规则---- 量子力学的基本原理之四
将 写成
2 2 p 2 (p p) (i) (i)
ex e y ez x y z
即 其中
2 2 2 p2 ( 2 2 2 ) 2 x y z
ex e y ez x y z
梯度算符 Laplace 算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
有
p
2 2 2
2
归一化是几率波的特性
B 归一化常数 normalization constant
(r,t)与C (r,t)所描述的(相对)几率是相同的，例如在空间点r1 与点r2的相对几率，波函数为 2 2 C (r1 ) (r1 ) 2 2 C (r2 ) (r2 )
所以应该有,if


(3) 首先求出几率密度一阶导数为零的位置
则
a x 0, , a 2
d 2 2 sin dx a a
2 2 x 2 sin x0 a a
（只能取x＝0，a/2,a）
二阶导数小于零的位置 当x＝a/2时，上式的值为
d2 dx 2
2 2 2 2 4 x 3 cos x sin a a a a
可见
ˆ p i
i E t
动量算符
另，由
ˆ i E t
能量算符
由此派生的经典动能T与算符的对应关系为
p2 2 2 ˆ T 2m 2m
哈密顿(Hamilton)量 对应的算符为 于是薛定谔方程可简写成
2 2 ˆ T V ˆ ˆ H U (r ) 2m
34
• 因普朗克常数极其微小，子弹的波长小到实验难 以测量的程度(其它经典粒子，例如足球的波长也是 如此)，它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。 设有一个体重为m=50kg的短跑运动员，以速度V=10m/s 作运动，求其相应的德布罗意波长。
波动方程的引入
wave equation
微观粒子有二象性：既有粒子性，又有波动性；
微观粒子的状态用波函数
( r , t )描述；
微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态 例如，电子在氢原子中时和在无外电场时的状态应该 是不同的。波函数也应该是不同的。 怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的不同状态的 波函数？
1 平面波 plane wave
• 平面波是描述自由粒子的量子态，是最简单的波函数 • 平面波具有时、空周期性
h h m p
德布罗意关系式 De Broglie relation
E h
与粒子相联系的波称为物质波，或德布罗意波。 ─ 德布罗意波长
(1) 微观粒子德布罗意波长的计算
h 估算自由电子的波长: p
设电子动能由U 伏电压加速产生
h 2mE
h h 2meU p
k 2
A cos(k r t )
t )]

2
2 德布罗意自由粒子的平面波
利用de Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由 粒子平面波的表达式
2i ( x, t ) A exp[ ( p x x Et )] h
2p x k h 2
4 2 3 0 a
所以，x=a/2处几率密度最大
(5)波函数满足的条件—量子力学基本假设之一
(r , t ) d 3r 有限值 1. 平方可积条件
2
2.一般说来，波函数 (r , t ) 3.要求是 (r , t )
2
r
0
几率密度只能有限，所以要求波函数有限，不能无限大
第一章 复习
量子力学的诞生 1 四大力学：牛顿力学、热力学、电动力学、量子 2 两个理论：相对论和量子论 3 四个实验： (1) 黑体辐射 8h ν3 E ( ν, T ) 3 普朗克公式： c exp( hν / k BT ) 1 普朗克的能量子假说：ε=hν (2) 光电效应 Einstein光量子假说： ε=hν (光子) 由 1 mV 2 hν A 可知，光子的频率不小于阈值才有 2 光子发射。
身不代表任何物理量，是个不可观测量。 考虑由若干个粒子组成的多粒子体系，则波函数为
r1 , r2 ,...rN , t
(4) 波函数的数学性质
A 归一化条件 normalization condition
• 粒子在空间各点的几率总和应为l，即


(r) d (r) (r)d 1
推广：
当1 ，2 ，· n是体系的可能状态时它们的线性叠 · · 加也是系统的可能状态。
(r) c1 1 (r) c2 2 (r) cn n (r) cn n (r)
各态出现的几率为
Cm
2
n
C
i 1
n
2 i
五 不确定关系—量子力基本假设之一
(r) d (r) (r)d A 0
2

(r )
A
2

d 1
1 / A 称为归一化常数
例：假如粒子做一维运动，波函数为
x 0, x a 0， A sin a x, 0 x a
A是一常数，求：
例题
(1) 归一化的波函数；(2) 几率分布函数(几率密度) (3)几 率密度最大的位置 解： (1) 因为粒子做一维运动，归一化条件为
2 1 2 1 2 px A exp[ i(p r Et ) / ] 2 px 2 x
即
2 2 p x x 2
2
同理
2 2 2 2 p y y
2 2 2 p z2 z
可得
2 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( p x p z2 p z2 ) x y z
2E 2 h
i Et
i A exp[ ( px x Et )] ( x)e
对任意方向运动的自 由粒子的波函数
i (r , t ) A exp[ (p r Et )]
二 薛定谔方wk.baidu.com-
量子力学的基本原理之三
Schrö dinger equation 为了考察体系状态随时间的变化，则波函数必须有时间t 介绍量子态随时间变化规律的动力学方程 引入了力学量算符的本征值、本征函数等概念 • 薛定谔方程是一个非相对论范畴内的波动方程
自由粒子的能量
E p 2 / 2m
2 2 i t 2m
i E t
自由粒子波函数所满足的微分方程
自由粒子的薛定谔方程
若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况 下，粒子的能量是 p2
E 2m U (r )
类比自由粒子的情况，得到波函数 所满足的微分方程
( x, t ) A cos[ 2 ( t )]
代表频率为、波长为，沿x方向传播的平面波 对于沿n方向传播的平面波可写为
x
(r , t ) A cos[ 2 (
写成复数形式
其中
ˆ rn
(r , t ) A exp[ i(k r t )]
x 0, x a 0， 2 sin x, 0 x a a a
(2) 几率密度为
x 0, x a 0， 2 w( x) ( x) 2 2 a sin a x, 0 x a
知道几率密度函数后，任意一点的几率密度就可以求得，例 如x＝a/2处的几率密度 2 a a 2 2 a 2 w( ) ( ) sin 2 2 a a 2 a
单值函数
' 1' (a) 2 (a)
4.波函数及其各级微商要具有连续性
1 (a) 2 (a),
m
* 1

* m2
四 态叠加原理—量子力学第二个基本原理
定义：若 1 , 2 是体系可能状态， 则它们的线性 组合 = C11+C22 也是该体系的一个可能的状态。 其中C1 , C2 为复常数
(r,t ) ˆ i H (r,t ) t
三 波函数的统计解释--量子力学的基本原理之一
(1) 波函数的统计解释 statistical interpretation 玻恩的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振 幅绝对值的平方）与该点找到粒子的几率成正比。也 就是描写微观粒子的波乃是几率波。 (2) 实验表明
(3) 波函数的性质
波函数描述微观粒子的运动状态，即量子态 波函数(r,t)也常称为几率波幅 (probability amplitude) 通过波函数可以确定在r处附近的体积元d中找到粒 子的几率分布 (r) 2 d
Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，它是个复函数，本
A 薛定谔方程适用条件
• 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动 速度(υ＜＜c)
• 要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保 持不变，--粒子数守恒
B.波动方程的建立
自由粒子的波函数
i A exp[ (p r Et )]
i i 将上式对t 求微商 EA exp[ i(p r Et ) / ] E t 即 i E t i i p x A exp[ i(p r Et ) / ] p x 对x求微商 x
The uncertainty principle