n阶常系数线性非齐次方程解法

n 阶常系数线性非齐次方程解法

对于形如()(1)'11()n n n n y a y a y a y f x --++++=的解法，它的通解等于

其对应的齐次方程()(1)'110n n n n y a y a y a y --++

++=的通解与它本身的一个特解之和.

比较系数法（待定系数法）

下面分两种类型讨论:

01设1011()()m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++，其中λ及(0,1,,)i b i m =为实常数.

当λ不是特征根时，()(1)'11()n n n n y a y a y a y f x --++++=有形如

1()()x m y x Q x e λ=的特解，其中1011()m m m m m Q x q x q x q x q --=++++

当λ是k （1k ≥）重特征根时，()(1)'11()n n n n y a y a y a y f x --++++=有

形如()x m k 1e

x x x y λ）（Q =的特解，其中1011()m m m m m Q x q x q x q x q --=++++，对于）（x y 1中的）

（x m Q 的系数，则可以由待定系数法求得. 例11求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解

解 先求对应齐次方程065=+'-''y y y 的通解，其特征方程是

0652=+-λλ;

故特征根为322,1==λλ， 从而，对应齐次线性方程通解为

x x e c e c y 3221+=;

由于0=λ不是特征根，因而已知方程有形如c Bx A y ++=21x 的特解. 为确定C B A ,,将它代入原方程中，由于A y B Ax y 2,2=''+=',

故 2106)(6x 25222+-=++++-x x c Bx Ax B A A ）（

. 比较上式等号两端x 的同次幂系数，可得 001===C B A ，，,

故已知方程特解为21x y =，则原方程的通解为 x x e c e c x y 32212++=.

例12 求方程x e y y y 2244=+'-''.

解 由于0442=+-λλ则221==λλ

故齐次方程通解为： )(212c c e y x += ，

由于2=λ为二重特征根,

故有 x e Ax 221y =,

故 x e x A 221y 1==，,

则原方程的通解为 )(y 21222x c c e e x x x ++=.

︒2设t e t t B t t A t f αββ]sin )(cos )([)(+=，

其中βα，为常数，而)(,t t B A ）（是带实系数t 的多项式，其中一个的次数为m ，一个的次数不超过m ，则有形如t k e t t Q t t P t x αββ]sin )(cos )([+=的特解.其中k 为特征方程0=）（λP 的根的重数，而)(),t (t Q P 均为特定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式 根据欧拉公式，有i

e e x e e x x

i x i x i x i 2sin ,2cos ββββββ---=+= 则x i x i x x i x i x x i x i e t B e t A e i

e t B e e e t A t

f )()()(~)(~2e )(2)()(βαβααββαββ-+--+=-++= 再利用迭加原理,于是有两种形式：

（1） 如果βαi ±不是特征根，则特解具有形式

]sin cos [)2()1(1x Q x Q e y m m x ββα+=其中)(),()

2()1(m x Q x Q m 是系数待定的m 次多项式.

（2）如果βαi ±是k 重特征根，则特解应具有形状

]sin )(cos )([)

2()1(1x x Q x x Q e x y m m ax k ββ+=. 例13 求解方程t t x x 2cos sin ''-=+.

解 先求对应的齐次方程0''=+x x ，我们有012=+λ,

故特征根为i i -==21,λλ；由于迭加原理，则原方程可化为

⎩⎨⎧-=+=+''t

x x t x x 2cos sin '' (1)对于t x x sin ''=+，由于i i ±=±βα是特征根，故方程t

x x sin ''=+具有形如)cos cos (1t B t A t x +=的特解，现将上式代入t x x sin ''=+，则

0,2

1=-=B A ; 则t x x sin ''=+的通解为t t c t t c t t x sin )(cos )(cos 2

1

~'2'1++-=. (2)对于t x x 2cos ''-=+，由于i i 2±=±βα不是特征根，故方程t x x 2cos ''-=+具有形如)2sin 2cos (1t B t A x +=的特解.现将上式代入

t x x 2cos ''-=+，则03

1==B A ，, 则t x x 2cos ''-=+的通解为t c t c t x sin ~cos ~2cos 3

1~21++=. 故原方程的通解为t t t t c t c x 2cos 3

1cos 21sin cos ~21+-+=. 总结：比较系数法用于方程右端)(t f 是某些基本函数的情况，常见的有：多项式，指数函数，正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合，然后根据)(t f 的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解，进而求出通解.

拉普拉斯变换 []9

它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是：先通过拉普拉斯变换将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变换，便可得到所求初值问题的解.