利用网格线-巧求锐角三角函数(初中)

利用网格线巧求锐角三角函数

在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题，我们知道借助于网格线可以构造直角三角形，利用勾股定理求出任意两个格点的长度，也可以利用对角线的特征构造垂直线、平行线。那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢？

一、构造直角三角形

锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系，所以要求三角函数值，必须将这个角放到直角三角形中。

（2015?山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求∠ABC 的正切值。

分析：∠ABC不在直角三角形中，无法根据对边和邻边的比值来求它的正切值，借助网格线，连接A、C，就可以构造直角三角形求出正切。

解：如图：连接A、C

由勾股定理得

AC=，AB=2，BC=，

∴AC2+AB2=BC2

∴∠CAB=90°

∴tan∠B= =

二、转化角

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，求tan∠APD的值。

分析：P点不在网格线的格点上，无法发挥网格线的作用，可以将∠APD转化为一个顶点在格点上的角，如何转化，利用网格线构造平行，从而得到相等的角。

解：如图，连接BE，AE。

∵DE∥BC DE=BC

∴四边形DEBC是平行四边形∴DC∥BE

∴∠ABE=∠APD

由勾股定理得

BE=，AE=2，AB=

∵AB2=BE2+AE2

∴∠AEB=90°

∴tan∠APD= tan∠ABE=AE BE

=2．

三、面积法

（2015?南京二模）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin∠ABC的值。

分析：∠ABC不在直角三角形中，通过连接对角线又不能得到直角，只有过点A作垂直，抓住面积，求出垂线段的长。

解：如图过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，

∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，

∴S△ABC=×BC×AD=9，

∴×2AD=9，

解得：AD=，

∴sin∠ABC===．

四、勾股定理法

仍然以上题为例，由勾股定理易得AB 2=29 AC 2=17 BC=2

设BD 为x ,CD 为2

-x ,由勾股定理得AB 2-BD 2=AD 2 AC 2-CD 2=AD 2 ∴AB 2-BD 2=AC 2-CD 2

即29-x 2=17-（2-x ）2 ∴x =855 AD 2=29-645=815 ∴AD=955 ∴sin ∠ABC=== 五、建立平面直角坐标系法

还是以上题为例，在原网格线基础上，再向右补一列，

以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，

建立平面直角坐标系,连接CD,并延长CD 交BA 的延长线于点E 。

借助网格线，易证△BOC ≌△CFD ∴∠BCO=∠CDF

∵∠DCF+∠CDF=90° ∴∠DCF+∠BCO=90°∴∠BCD=90°

由图可知B(0,2),A(5,4),C(4,0),D(6,4),可以求出直线AB 函数关系式为：y=25

x +2 直线CD 函数关系式为：y=2x -8，将两个函数关系式联立成一个二元一次方程组，可求E 点坐标为（254，92

）利用点C 、B 、E 的坐标，由勾股定理可求CE=

954 BE=5294 ∴ sin ∠ABC=CE BE =954÷5294=

这五种方法，通过分析，后面三种方法适用于任何情形下求网格线中的锐角三角函数，而面积法又是三种方法中最简单的一种，可以将其看成是求网格线中锐角三角函数的万能方法。

D E

O F y