第5章 留数

ϕ 内解析函数,且 内解析函数 且 ( z
0
)≠0
反之,可推出 阶极点. 反之 可推出 z0 是f(z)的m阶极点 的 阶极点
2)定理 设f(z)在 0 <| z − z0 |< δ (0 < δ < +∞) 内解 定理: 定理 在
lim 极点的充要条件是： 析,那么z0是f(z)极点的充要条件是： z f ( z ) = ∞ 那么 极点的充要条件是 z →
c0 + c1 ( z − z 0 ) + c2 ( z − z 0 ) + ⋯ + c n ( z − z 0 ) + ⋯
2 n
sin z 例如 z = 0 是 z
的可去奇点
因为
sin z z
在z = 0的去心邻域内的罗伦级数为
sin z 1 z3 z5 = z − + −⋯ 3! 5! z z z2 z4 = 1− + −⋯ 3! 5!
sin z ∵ lim =1 z →0 z
为可去奇点. ∴z=0为可去奇点 为可去奇点
( 2) f ( z ) =
1 ; 2 ( z − 1)( z − 2)
的两个孤立奇点,且 解：z=1和z=2是f(z)的两个孤立奇点 且 和 是 的两个孤立奇点
1 ∵ lim( z − 1) =1 2 z →1 ( z − 1)( z − 2) 1 lim( z − 2) 2 =1 2 z →2 ( z − 1)( z − 2)
f ( z) = e
1 z
1 −2 1 −n ∵ e = 1 + z + z + ... + z + ... 2! n!
−1
ｚ＝０ ∴ｚ＝０为f(z)的本性奇点 的本性奇点
３．各类奇点的特征（从函数的性态） 各类奇点的特征（从函数的性态）
(判别类型方法 判别类型方法) 判别类型方法
(1)可去奇点： 可去奇点： 可去奇点 内解析, 定理5.1: 设f(z)在 0 <| z − z0 |< δ (0 < δ < +∞) 内解析 在 定理 可去奇点的充要条件是： 那么z0 是f(z)可去奇点的充要条件是：存在极限 可去奇点的充要条件是 lim f ( z ) = C0 其中 C0 是一复常数 是一复常数. z→z 必要性:由于 是可去奇点,故在 证:必要性 由于z0 是可去奇点 故在 0 <| z − z 0 |< δ 有 必要性
f ( z ) = z ( z − 1)3 的一 三阶 分别是 的一,三阶 例:z=0与z=1分别是 与 零点. 零点
2. 零点的充要条件
1)定理 若f(z)在 z0处解析 那么 z0为f(z)的m阶零点 定理:若 定理 在 处解析,那么 的 阶零点 的充要条件是: 的充要条件是 f ( n ) ( z0 ) = 0, (n = 0,1,...m − 1), f ( m ) ( z0 ) ≠ 0. 的零点, 例: z=1是 f ( z ) = z 3 − 1 的零点 是 的一级零点. 因 f ` (1) = 3z 2 | z =1 = 3 ≠ 0 ,故z=1是f(z)的一级零点 故 是 的一级零点 2)注:一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的 注 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
(2)极点 极点
的负幂项, 定义 若洛朗级数中只有有限多个 z − z0 的负幂项 且其中关于( z − z0 ) −1 的最高幂为( z − z0 ) − m ,则称 则称 阶极点. 孤立奇点 z0为f(z)的m阶极点 的 阶极点 简单极点:称 阶极点为简单极点 阶极点为简单极点. 简单极点 称1阶极点为简单极点 例:
第五章
留数及其应用
背景:留数理论是复积分和复级数理论相结 背景 留数理论是复积分和复级数理论相结 和的产物. 和的产物 作用: 计算沿闭路的积分 计算沿闭路的积分; 作用 1.计算沿闭路的积分 2.计算广义积分 计算广义积分
计算沿闭回路积分公式: 计算沿闭回路积分公式
0 dz 1. ∫c = n ( z − z0 ) 2πi n ≠1 n =1
lim 在有限或无限的极限 z→ z f ( z )
0
例：研究下列函数孤立奇点类型
sin z (1) f ( z ) = ; z 1 (2) f ( z ) = ; 2 ( z − 1)( z − 2) (3) f ( z ) = e
1 z −1
.
sin z (1) f ( z ) = z
sin z 的孤立奇点,且 解：z=0是 是 的孤立奇点 且 z
0
z0
lim ( z − z0 ) m f ( z ) = C− m 阶极点的充要条件是： 是f(z)的m阶极点的充要条件是： 的 阶极点的充要条件是
z → z0
(3)本性奇点： 本性奇点： 本性奇点 定理5.3: 设f(z)在 0 <| z − z0 |< δ (0 < δ < +∞) 内解 定理 在 析,那么z0 是f(z)本性奇点的充要条件是：不存 本性奇点的充要条件是： 那么 本性奇点的充要条件是
(3)定理 定理2: 定理
零点,n≥m,则 则 零点 1)n=m时, z0 是函数 是函数f(z)/g(z)的可去奇点 的可去奇点; 时 的可去奇点 2)当n>m时, z0 是函数 是函数f(z)/g(z)的n-m阶极点 阶极点. 当 时 的 阶极点
z0是函数 的m阶零点 z0又是 的n阶 是函数f(z)的 阶零点 又是g(z)的 阶 阶零点,
分析: 内解析,且 分析 设f(z)在 0 <| z − z0 |< δ (0 < δ < +∞) 内解析 且 z0 是f(z)的m 在 的 阶极点,则在该邻域内 则在该邻域内： 阶极点 则在该邻域内：
f ( z ) = C −m ( z − z 0 ) − m + C −m +1 ( z − z 0 ) − m +1 + ... + C −1 ( z − z 0 ) −1 + C 0 + C1 ( z − z 0 ) + ... + C n ( z − z 0 ) n + ...
1
2.分类 分类
根据洛朗级数主要部分系数取零值不同来分. 根据洛朗级数主要部分系数取零值不同来分 (1)可去奇点 可去奇点 的负幂项,则称孤 定义 若洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项 则称孤 的可去奇点. 立奇点 z0 为f(z)的可去奇点 的可去奇点 这时f(z)在它的孤立奇点的去心邻域内的洛 注:这时 这时 在它的孤立奇点的去心邻域内的洛 朗级数实际上就是一个普通的幂级数 .
f ( z ) = C −4 ( z − z 0 )
−4
+ C −3 ( z − z 0 )
+∞
−3
+ ... + C −1 ( z − z 0 ) + ∑ C − n ( z − z 0 ) n
−1 n=0
+∞
z0 为4阶极点 阶极点
−1
f ( z ) = C −1 ( z − z 0 ) + ∑ C − n ( z − z 0 ) n
1 1 1 = 1+ + + ... + + ... 2 n z − 1 2!( z − 1) n!( z − 1)
的本性奇点. ∴z=1为f(z)的本性奇点 为 的本性奇点
二. 函数的零点与极点的关系
f ( z ) = ( z − z0 ) m ϕ ( z ), ϕ ( z )在z0 处解析 1.定义 若 定义:若 处解析, 定义 为某一正整数,则称 且 ϕ ( z0 ) ≠ 0 ,m为某一正整数 则称 z0 为f(z) 为某一正整数 阶零点. 的m阶零点 阶零点
c2
∫ f ( z )dz + ... + ∫ f ( z )dz
cn
§5.1
孤立奇点
一. 孤立奇点的分类
1.孤立奇点的概念 孤立奇点的概念 如果函数f(z)在 z0处不解析 但在z0的某个去 如果函数 在 处不解析,但在 内处处解析,那末 心邻域 0 <| z − z0 |< δ 内处处解析 那末 z0 称为 f(z)的孤立奇点 的孤立奇点. 的孤立奇点 是函数f(z)=1/z的孤立奇点 的孤立奇点; 例: z=0是函数 是函数 的孤立奇点 z=i,-i 均为 f(z)=1/(z-i)(z+i)的孤立奇点 的孤立奇点. 的孤立奇点 并非函数的奇点都是孤立奇点. 注:并非函数的奇点都是孤立奇点 并非函数的奇点都是孤立奇点 如z=0是 f ( z ) = 是 一个奇点 但不是孤立奇点. 但不是孤立奇点 1 一个奇点,但不是孤立奇点 sin z 1 (∵ 在z = 0的任何邻域中， 总有形如z n = 的奇点) nπ
定理5.1`: 设 z0是f(z)的一孤立奇点，那么z0是 的一孤立奇点， 定理 的一孤立奇点 f(z)可去奇点的充要条件是：f(z)在 的一个 可去奇点的充要条件是： z0 可去奇点的充要条件是 在 邻域内为有界. 邻域内为有界
(2)极点： 极点： 极点 1 f ( z) = ϕ ( z) m 1) z0是f(z)的m阶极点充要条件是： 阶极点充要条件是： 的 阶极点充要条件是 ( z − z0 ) 其中 ϕ ( z )在z0 处解析且 ϕ ( z0 ) ≠ 0
= ( z − z 0 ) − m [C − m + C − m +1 ( z − z 0 ) + ... + C 0 ( z − z 0 ) m + ... + C n + m ( z − z 0 ) n + m + ...] =
ϕ ( z)
(z − z0 ) m
其中ϕ (z )是
| z − z 0 |< δ
2.柯西定理 柯西定理: 柯西定理 3.柯西公式 柯西公式
∫ f ( z )dz = 0
c
f ( z )dz 2πi ( n ) ∫c ( z − z 0 ) n+1 = n! f ( z 0 )
(n = 1,2,3...)
4.复合闭回路积分公式 复合闭回路积分公式
∫
c1
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz
0
f ( z ) = C 0 +C1 ( z − z 0 ) + ... + C n ( z − z 0 ) n + ... 内解析,于是存在 ∴其和函数在 | z − z 0 |< δ 内解析 于是存在 lim f ( z ) = C0
z → z0
充分性: 略 充分性 (略)
例:
z=0是sin/z的可去奇点 是 的可去奇点 ∵z→0时,sinz/z→1 时
∴z=1,z=2分别为 分别为f(z)的一 二阶极点. 的一,二阶极点 分别为 的一 二阶极点
(3) f ( z ) = e
1 z −1
.
的孤立奇点, 解：z=1是f(z)的孤立奇点 是 的孤立奇点 且 lim e
z →1 1 z −1
非有限或无穷. 非有限或无穷
1 z −1
罗朗展式为: e 罗朗展式为
三.判奇点类型的方法步骤 判奇点类型的方法步骤
1.求出孤立奇点； 求出孤立奇点； 求出孤立奇点 2.利用区分类型方法判断 利用区分类型方法判断 1）用定义 ） 2）用特征 ） 3）用零点与极点的关系 ）
例1:判断函数 f ( z ) = 1 判断函数 出阶数。 出阶数。
z0为1阶极点 简单极点 阶极点(简单极点 阶极点 简单极点)
n =0
例:
z−2 f ( z) = 2 ( z + 1)( z − 1) 2
Z=1是二阶极点 是二阶极点; 是二阶极点 Z=±i是一阶极点 是一阶极点. 是一阶极点
(3)本性奇点 本性奇点
定义:若洛朗级数中含有无穷多个 定义 若洛朗级数中含有无穷多个 z − z0 的负幂 的本性奇点. 项,则称孤立奇点 z0 为f(z)的本性奇点 则称孤立奇点 的本性奇点 1 例： z
3. 零点与极点的关系
(1)定理 若z0 是f(z)的m阶极点 那么z0 为1/f(z)的 定理1:若 阶极点,那么 定理 的 阶极点 的 m阶零点 反之亦然。 阶零点.反之亦然 阶零点 反之亦然。 (2)注: 注 1)定理为判断极点提供一较为简便方法 定理为判断极点提供一较为简便方法. 定理为判断极点提供一较为简便方法 2)考察形如 考察形如P(z)/Q(z)的函数极点及其阶数时 的函数极点及其阶数时, 考察形如 的函数极点及其阶数时 不能只凭其分母的零点及其阶数来判断,还 不能只凭其分母的零点及其阶数来判断 还 必须考察其分子在这些点的情况. 必须考察其分子在这些点的情况