2基于前景理论的直觉模糊熵多属性决策及matlab应用

前景理论的直觉模糊多属性决策
一、前景理论
目前，学者对于前景理论在模糊多准则决策领域的研究较少。

Gomes and Lima (1992)在前景理论的基础上，将参考点的准则标准设定为某属性值，利用层次分析法计算确定属性的权重系数，提出交互式多准则决策方法TODIM 。

Miyamoto and Wakker (1996)将包括前景理论在内的非期望效用理论与多属性效用理论相结合，对解决多属性决策问题的可行性进行了证明。

Zank (2001)探讨了在多属性决策问题中，效用函数和前景理论中价值函数，以及决策权重函数的参数估值问题。

Harry (2002)研究前景理论中两个函数在收益和损失对比模型中的应用，发现当决策所面临的环境较复杂，备选方案较多时，通常情况下，决策者偏好按照己确定的属性进行判断。

Tamura (2005)在前景理论的基础上，创新提出一种多准则决策方法，可以较好地求解备选方案的单准则价值。

Lahdelma and Salminen (2009)深入研究了以前景理论为基础的随机多准则可接受性分析方法。

该方法是将前景理论的分段线性差函数和随机多准则可接受性分析相结合，计算在假定行为下反映不同方案被接受可能性大小的指数，可应用在决策者偏好难以准确评估的决策问题中，同时也可以测量决策问题相对其偏好信息的鲁棒性。

Bleichrodt, Schmidt and Zank (2009)以前景理论为基础，对于具有一个、两个以及多个属性的不确定决策问题的可加性效用进行了深入研究。

国内学者对于基于前景理论的模糊多准则决策方法同样有所研究，并且取得了较好的成果。

胡军华等(2009)针对不确定条件下的多准则决策问题，创新的提出一种基于前景理论的决策方法，并进一步将其发展为基于前景理论的语言评价模糊多准则决策方法。

王坚强等(2009)针对准则权重不完全确定的多准则决策问题，提出一种基于前景理论的决策方法l"}l 。

王正新等(2010 )探讨决策者的风险偏好会影响其对于多指标决策问题的判断与选择，在前景理论的基础上提出一种多指标灰关联决策方法。

Kahneman 和Tversky 在1979年经过大量的调查和实验，在Simon 有限理性的基础上，提出一种新的理论解释和预测在不确定情况下的个人决策行为，即前景理论。

前景理论将决策者在风险条件下的选择过程分为两个阶段:编辑阶段(editing)和估值阶段(evaluation)。

编辑阶段的主要作用是通过收集和整理决策信息，按照一定的标准，即确定合适的决策参考点，然后对决策问题以参考点为参考水平对决策问题进行编码，当决策结果优于参考点，则其被编码为获得;劣于参考点时，其被编码为损失。

编辑主要有编辑、合成、剥离、相抵、简化和占优检查六个步骤。

估值阶段是决策者对编辑后的期望值通过两个主观量度进行估值并选择决策方案。

一个主观量度是()πp ，表示与概率p 对应的决策权重，另一个主观量度是()v x ，表示决策结果x 所对应的决策者主观价值。

估值的标准为:在财富水平i w 下，行为a 发生的概率是i p ，而行为b 发生的概率是i q ，则当
()()()()ππ>∑∑V V i
i
i
i
p v w q v w 成立时，相比较
来说，决策者倾向于选择行为a 。

这里0=-V i i w w w 。

表示财富偏离决策者所选择参考点0w 的大小。

前景理论下的决策者决策框架如图1所示，
图1 决策者决策框架
由估值阶段可知，价值函数(Value function)和决策权重函数(Decision weight)共同决定前景理论中期望价值的大小。

价值函数是决策者的主观感受价值，与参考点有关。

Kahneman和Tverskv认为不应以财富的最终状态而应根据财富的变化程度来进行决策判断。

价值函数是相对于决策者所选参考点的获得或损失，不是最终财富，从而价值的载体是财富的改变程度而不是其最终状态网。

价值函数主要有三个性质：
(1)在实际决策过程中，对于决策者而言，获得和损失的判断是以其所选择的参考点为标准，而不是以决策者在做完决策后所拥有的财富量为标准，通常情况下，决策者所选参考点的标准是其现在所拥有的财富总量。

决策者对于风险表现出不同的态度，在决策结果可能为获得时，其对于风险会采取规避的态度;而对于决策结果可能为损失时，其对于风险会采取寻求的态度。

(2)价值函数曲线呈“S”形。

在参考点之上的价值函数图形表现为凹形，说明决策者体现风险规避态度，即其倾向于确定性收益。

在参考点之下的价值函数图形表现为凸形，说明决策者体现风险寻求态度，即其倾向于非确定性损失。

决策者对于收益和损失的敏感性是递减的。

(3)相较于获得而言，决策者对于损失更加敏感，即同样数量的获得带给决策者的兴奋感受要低于同样数量的损失带给其的伤心感觉。

价值函数如图2所示。

图2 价值函数
前景理论与期望效用理论最大的区别在于前景理论提出了决策权重函数，其取代了期望效用理论中的概率权重。

决策权重并不是客观概率，但与客观概率有所联系，且不是客观概率的线性函数，而是与其相对应的一个权重，可作为决策者对于方案的心理概率来看待。

决策权重是发生概率为p的事件权重与确定性事件权重之比。

决策权重函数具有以下特征:
(1)决策权重函数不是客观概率，它是概率p的非线性单调增函数，同样不能作为决策者预期程度的解释。

(2)决策者常对于出现概率很小的事件赋予较大的权重，即w(p) > P ，表示决策者会对于出现概率很小的事件有高估倾向，对几乎不可能的收益性事件表现出风险偏好，对几乎不可能的损失性事件表示出风险规避。

决策者对于出现概率较大的事件赋予较小的权重，即w(p) < p ，表示决策者对于出现概率较大的事件有低估倾向，会忽视通常发生的事件。

(3)次确定性，即所有具有互补概率的事件决策权重之和小于确定性事件的决策权重，
()+(1)1ππ-≤p p ，如图所示。

图3 决策权重函数
二、累积前景理论
Kahneman 和Tversky 在吸收其精华并将其应用于不确定的决策问题中后，将累积泛函与前景理论相结合，于1992年提出了累积前景理论。

相较于前景理论，累积前景理论最大的创新之处在于个别概率事件不再是一个个单独地进行转换，而是利用两阶段累积泛函对整个累积分布函数进行整体形式地转换。

前景通常表示不确定事件，{1,2,,}=L S n ，其中3≥n 表示状态有限集，X 表示可能结果有限集，S 和X 之间存在不确定前景函数:→f S X 。

i A 为S 的子集，称其为事件，i A 发生时产生结果i x ，对i x 进行排序，即121+≤≤≤≤≤≤L L h h n x x x x x ，其中h x 表示决策参考点，当=0h x 表示盈亏平衡，0>h x 表示收益，0<h x 表示损失。

前景的整体价值是由可能结果的价值函数v 和不确定事件的决策权重函数π决定的。

整体价值函数用大写V 表示如下:
()()()+-=+V f V f V f
()=()π+
+=∑n
i i i h V f v x
--1
()=()π=∑h
i i i V f v x
根据决策权重函数，如果>i h ，令ππ+=i i ;如果<i h ，令ππ-
=i i ，那么()V f 就可以简化定义为:
()=()π=∑n
i i i h
V f v x （1）
Kahneman 和Tversky 给出了价值函数v 的一种形式，因为这种形式的价值函数能很好满足决策者在面临收益时趋向风险规避和面临损失时趋向于风险追求的偏好特性，所以它得到了广泛的应用，其具体表达式是:
()=()0
αβ
λ⎧≥⎨--<⎩x x v x x x （2） 其中，x 是决策方案相对于参考的差值，即表明价值的得失，收益时x 为正，损失时x 为负。

α表示决策的风险偏好系数，β表示决策者的风险厌恶系数，λ表示决策者对于收益和损失的敏感系数。

Kahneman 和Tversky 认为01，αβ<<，参数越大表示决策者对于价值的敏感性越弱，越倾向于冒险，0=1αβ<<时，决策者可被视为风险中立者。

λ表示损失规避系数，1λ>表示相对于收益来说，决策者对于损失更加敏感。

决策权重函数在累积前景理论中采用的是累积计算的形式，并且对于获得和失去，决策权重有不同的计算公式。

为了将决策问题的权重转换为概率形式以方便计算，Kahneman 和Tversky 定义了获得和失去的决策权重计算公式，分别为：
1=()()π++
+
==+-∑∑n n
i
j j j i j i w p w p （3）
1
1
1
=()()π---
-
==-∑∑i
i i
j j j j w p w p （4）
+
1/()((1))
γ
γγγ
=+-p w p p p （5） 1/()((1))δ
δδδ
-
=+-p w p p p （6）
其中，h x 为参考点，+w 是获得时的决策权重函数，-
w 是损失时的决策权重函数，γ为风险收益态度系数，δ为风险损失态度系数，+
()π+
=n n w p ，11()π-
-
=w p 。

当风险前景是两个以上结果时，Prelec 给出了+
w 和-
w 的函数形式:
()=exp((ln )))ϕγ+
+
==--∑∑n n
j j j h
j h
w p p （7）
1
1
()=exp((ln )))ϕγ-
-
==--∑∑h h
j j j j w p p （8）
其中，γ+
，0γ-
>，0ϕ>
三、基于前景理论的直觉模糊多属性决策方法
（一）问题描述
假设某一直觉模糊数多准则决策问题共有m 个备选决策方案，
1={,,}L m A A A 是备选决策方案，1={,,}L n C C C 表示属性集合。

假设准则间无关联性。

对于任意给定的多属性决策问题，我们将方案i A 在指标属性j x 的测评值用(),()μ=<>ij ij ij a x v x 来进行刻画，同时
()μij x 表示方案i A 对指标j x 满足的程度，()ij v x 表示方案i A 对指标j x 不满足的程度，
()[0,1]μ∈ij x 和()[0,1]∈ij v x ，()()1μ+≤ij ij x v x ，用()1()()πμ=--ij ij ij x x v x 来描述方
案i A 对指标j x 的犹豫程度，即方案的不确定性越大。

1W={,,}L n w w 表示准则相对重要程度，准则权重系数完全未知，其中0>i w 且1
=1=∑n
i i w 。

直觉模糊数多准则决策矩阵可用直觉
模糊数矩阵表示，
111112121121212222
221122(,)(,)
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
(,)μμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
L
L L L O L
L
n n n n m m m m mn mn v v v v v v A v v v
（二）直觉模糊集的排序方法
定义1：对于直觉模糊数((),())μ=a a a x v x ，a 的得分函数定义为，
()()()
μ=-a a S a x v x
（9）
其中，()[1,1]∈-S a ，得分值越大，则a 越大，方案越满足决策者的要求。

定义2：对于直觉模糊数((),())μ=a a a x v x ，a 的精确函数定义为，
()()()
μ=+a a H a x v x
（10）
其中，()[1,1]∈-H a ，得分值越大，则a 越大，方案越满足决策者的要求。

设任意两个直觉模糊数((),())μ=a a a x v x ，((),())μ=b b b x v x ，其排序关系为，
()()<S a S b ，则a 小于b ，记为a <b ； ()=()S a S b ，则
若()()=H a H b ，可得到a 和b 代表了同样的信息，记为a =b ； 若()()<H a H b ，则a 小于b ，记为a <b ； 若()()>H a H b ，则a 大于b ，记为a >b ； （三）属性权重计算
定义3：设直觉模糊集((),())μ=A A A x v x ，A 的直觉模糊熵为，
11()()()
1()1()()()
μπμπ=--+=+-+∑n A i A i A i i A i A i A i x v x x E A n x v x x
对于模糊数((),())μ=a a a x v x ，a 的直觉模糊熵为，
1()()()
()1()()()
μπμπ--+=
+-+a a a a a a x v x x E a x v x x
通过上式计算各属性的直觉模糊熵，记为ij e ，其中直觉模糊数((),())μ=ij ij ij a x v x 表示决策者对于属性的评价。

对于属性j C ，其信息熵为
1
1==∑m
j ij i E e m （11）
则于属性j C 的权重为
1
1(1)
=-=
-∑j
j n
k
k E w E ，1,,=L j n （12）
（四）基于直觉模糊数的多准则决策方法
步骤1在实际决策环境中，决策者利用其所掌握的现有信息量，给出备选决策方案在各准则下面的以直觉模糊数((),())μ=ij ij ij a x v x 形式的评价值。

所有准则值构成模糊多准则决策问题的直觉模糊数决策矩阵[][((),())]μ==ij ij ij a x v x A 。

步骤2选定正、负理想方案作为各准则的参考点。

决策矩阵[]=ij a A 的正、负理想方案分
别利用公式得分函数、精确函数和排序关系来确定，其中正理想方案由在属性j C ，
1,,=L j n 。

下各备选决策方案准则值中最大的直觉模糊数所组成，相应的，负理想方案由
准则j C 下决策方案准则值最小的直觉模糊数组成。

正、负理想方案分别记为: 正理想方案
{}
11111{,,}
max((),()),,max((),())
μμ≤≤≤≤==L L n i i in in i m
i m
G G G x v x x v x
负理想方案
{
}
11111{,,}
min((),()),,min((),())
μμ≤≤≤≤==L L n i i in in i m
i m
B B B x v x x v x
步骤3确定备选方案i A 在各准则j C 下的收益值和损失值。

利用得分函数计算公式，可将正、负理想方案和各准则值转化为实数值形式()()()μ=-ij ij ij S a x v x 。

并依据前景理论，
计算可能存在的收益结果集+
S ，其中0+
∆=-≥i ij ij B S S S ，表示决策方案相对于负理想方案的收益结果；损失结果集-S ，其中0-∆=-≥i ij ij G S S S ，表示决策方案相对于正理想方
案的损失结果。

步骤4计算各备选决策方案i A 在准则j C 下的正、负前景值。

将收益集+
S 和损失集-
S 内的元素分别代入前景理论价值函数公式(2)得到各准则值的价值函数:
=()(0)α+++
∆∆≥ij ij ij v S S （13） =()(0)βλ-----∆∆<ij ij ij v S S （14）
由公式（13）和（14）计算可得到备选方案的正前景矩阵+
V ，其中+ij v 表示决策者在面临收益时所使用的价值函数；以及负前景矩阵-
V ，-ij v 表示决策者在面临损失时所使用的价
值函数。

步骤5确定基于直觉模糊数的多准则决策问题中各准则的权重。

利用公式(11)计算得出准则j C 的信息熵，然后通过公式(12)，确定决策问题中应赋予各准则的权重1W={,,}L n w w ，其中i w 表示准则j C 的权重。

步骤6根据前景理论，计算决策方案权重，
+
1/()((1))
γ
γ
γγ
π=+-i i i i w w w w （15）
1/()((1))
δ
δ
δδ
π-
=+-i i i i w w w w （16） +()πi w 、()π-i w 分别表示在收益和损失情况下，决策者内心的主观权重函数。

步骤7计算各备选决策方案总前景值()i V f 并对方案进行排序。

备选方案的正前景值
+()i V f 与负前景值()-i V f 组成总前景值，即
+
1()=()π+
+=∑n
i ij j j V f v w （17） -1
()=()π-
-=∑n i ij j j V f v w （18） ()()()+-=+i i i V f V f V f （19）
以总前景值大小为依据对方案排序，选择出直觉模糊数多准则决策问题中的最优或最满意方案。

四、算例分析
现有5个方案，分别为A1, A2, A3, A4, A5，在选择过程中需要考虑六种评价准则，即安全性(C1)、制冷性(C2)、结构性(C3)、可靠性(C4)、经济性(C5)、美观性(C6)，其中这六个准则都属于效益型准则。

表1是该决策问题的直觉模糊数多准则决策矩阵。

因为决策者对于决策信息不能够给出确定性的数据描述，只能提供模糊和不确定的大致评价，所以每个决策方案在各准则下的取值都是一个直觉模糊数(),()μ=<>a a a x v x ，即方案i A 满足准则j C 的程度
μij 及不满足程度ij v 。

表1 直觉模糊数决策矩阵
根据定义4-2中对于直觉模糊数的排序，计算求得正理想方案和负理想方案分别为:
正理想方案
{}
11111{,,}
max((),()),,max((),())
={<0.7,0.3>,<0.7,0.2>,<0.7,0.2>,<0.8,0.2>,<0.6,0.2>,<0.7,0.3>}
μμ≤≤≤≤==L L n i i in in i m
i m
G G G x v x x v x
负理想方案
{}
11111{,,}
min((),()),,min((),())
={<0.3,0.5>,<0.3,0.5>,<0.5,0.4>,<0.3,0.2>,<0.4,0.5>,<0.3,0.2>}
μμ≤≤≤≤==L L n i i in in i m
i m
B B B x v x x v x
依据得分函数的计算公式，得到直觉模糊数决策矩阵的得分矩阵S ，如表2所示:
根据公式0+∆=-≥i ij ij B S S S 和0-
∆=-≥i ij ij G S S S ，
计算得到收益结果集矩阵+
S 和损失集-
S 矩阵，如表3, 4所示。

表3 收益结果集矩阵+
S
表4 损失集矩阵-S
计算各备选方案在各准则下的正负前景值。

计算价值函数的参数=1.21α、=1.02β和
=2.25λ，正负前景值如表5, 6所示，其中，正值表示收益，负值表示损失。

表5 正前景矩阵+
V
表6 负前景矩阵-
V
根据直觉模糊数模糊熵的计算公式计算出每个准则在各备选决策方案下的模糊熵如表7所示:
表7 直觉模糊熵矩阵
E1=0. 6429，E2=0. 6417，E3=0. 5643，E4 =0. 5060，E5=0. 7714，E6 =0. 6619 通过公式（12）计算得到决策问题中各准则所对应的权重为 W=(0.1615,0.1620,0.19700.2234,0.1033,0.1529)。

根据公式（15）（16）计算决策者面临收益和损失时的前景决策权重，令=0.55γ，=0.49δ。

面临收益时的前景权重为+
()(0.2360,0.2363,0.2556,0.2689,0.1793,2309)π=i w ，面临损失时的前景权重为()(0.2299,0.2301,0.2448,0.2549,0.1997,0.2260)π-
=i w 。

利用公式（17）（18）（19）计算计算多准则决策问题中各备选决策方案的综合前景值，
程序如下： clear; clc; A=[0.3,0.5 0.6,0.3 0.6,0.4 0.8,0.2 0.4, 0.5 0.5, 0.3 0.7,0.3 0.5,0.3 0.7,0.2 0.7,0.1 0.5, 0.4 0.4, 0.1 0.4,0.3 0.7,0.2 0.5,0.4 0.6,0.3 0.4, 0.3 0.3, 0.2 0.6,0.2 0.5,0.4 0.7,0.2 0.3,0.2 0.5, 0.4 0.7,0.3 0.5,0.3 0.3,0.5 0.6,0.3 0.6,0.2 0.6, 0.2 0.5,0.2]
U=[A(:,1) A(:,3) A(:,5) A(:,7) A(:,9) A(:,11)]
V=[A(:,2) A(:,4) A(:,6) A(:,8) A(:,10) A(:,12)]
[rows,colms]=size(U);
gamma=0.55;
delta=0.49;
lambda=2.25;
beta=1.02;
alpha=1.21;
GU=max(U,[],1)
GV=min(V,[],1)
BU=min(U,[],1)
BV=max(V,[],1)
S=U-V
H=U+V
%正理想方案,得分矩阵S
G=zeros(1,colms);
for j=1:colms
max=S(1,j);
for i=2:rows
if S(i,j)>max
max=S(i,j);
elseif S(i,j)<max
max=max;
elseif S(i,j)==max
[hang,lie]=find(S==max);
if H(i,j)>H(hang,lie)
max=S(i,j);
end
elseif S(i,j)==max
[hang,lie]=find(S==max);
if H(i,j)==H(hang,lie)
max=S(i,j);
end
else
max=S(i,j);
end
end
G(1,j)=max;
end
%负理想方案,得分矩阵S
B=zeros(1,colms);
for j=1:colms
min=S(1,j);
for i=2:rows
if S(i,j)<min
min=S(i,j);
elseif S(i,j)>min
min=min;
elseif S(i,j)==min
[hang,lie]=find(S==min);
if H(i,j)>H(hang,lie)
min=S(hang,lie);
end
elseif S(i,j)==min
[hang,lie]=find(S==min)
if H(i,j)==H(hang,lie)
min=S(i,j);
end
else
min=S(i,j);
end
end
B(1,j)=min;
end
B
%收益结果集矩阵S+与损失集矩阵S- GI=zeros(rows,colms);
BI=zeros(rows,colms);
for i=1:rows
for j=1:colms
GI(i,j)=G(1,j);
BI(i,j)=B(1,j);
end
end
GI
BI
DG=S-GI %损失集矩阵S-
DB=S-BI %收益结果集矩阵S+
%正前景矩阵V+与负前景矩阵V-
PB=zeros(rows,colms);
PG=zeros(rows,colms);
for i=1:rows
for j=1:colms
PB(i,j)=-lambda*(-DG(i,j))^beta;
PG(i,j)=(DB(i,j))^alpha;
end
end
PB %负前景矩阵V-
PG %正前景矩阵V+
%直觉模糊熵矩阵
E=zeros(rows,colms);
PI=1-U-V
jifen=U-V;
H=abs(jifen);
H1=1-H+PI;
H2=1+H+PI;
for i=1:rows
for j=1:colms
E(i,j)=H1(i,j)/H2(i,j);
end
end
E
%计算得到各准则的平均信息熵
e=zeros(1,colms);
for j=1:colms
sum=0;
for i=1:rows
sum=sum+E(i,j);
end
e(1,j)=1/rows*sum;
end
e
%计算权重
w=zeros(1,colms);
wz=zeros(1,colms);
wf=zeros(1,colms);
sum=0;
for i=1:colms
sum=sum+(1-e(1,i));
end
for j=1:colms
w(1,j)=(1-e(1,j))/sum;%决策问题中各准则所对应的权重
wz(1,j)=w(1,j)^gamma/(w(1,j)^gamma+(1-w(1,j))^gamma)^(1/gamma); %面临收益时的前景权重
wf(1,j )=w(1,j)^delta/(w(1,j)^delta+(1-w(1,j))^delta)^(1/delta); %面临损失时的前景权重end
w
wz
wf
PT=PG*wz'+PB*wf' %决策方案的综合前景值。