函数的定义域与值域-知识点与题型归纳
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1、设函数 ，
求函数 的定义域。
答案： 得
2、设函数 的定义域为 ，求函数
的定义域。
答案： 得
3．实际问题中函数定义域的确定
注意：
实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义
（二）求函数值域
注意：求函数的值域先求定义域！
(1)确定函数值域的原则
①当函数y＝f(x)用表格给出时，
1、温故知新P11 知识辨析1（2）
函数 的值域为 （ ）
答案：正确
2、温故知新P11第4题
函数 的值域为（ ）
答案：D
注意：牢记基本函数的值域
3、温故知新P11第6题
函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
答案：A
注意：图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析：
（一)函数的定义域
1．据解析式求定义域
函数的定义域与值域-知识点与题型归纳
●高考明方向
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
★备考知考情
定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.
(4)分离常数法：形如y＝ (a≠0)的函数可用此法求值域．
A．[1,2] B．(1,2]C．[1,8] D．(1,8]
解析：由已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]．
则使函数y＝f(2x)－ln(x－1)有意义，需
解得1<x≤2，所以定义域为(1,2]．
例3.（2）《名师一号》P13 对点自测2
已知函数f(x)＝ ，则函数f(f(x))的定义域是()
A．{x|x≠－1}B．{x|x≠－2}
函数的定义域一定要用集合或区间表示
例2.(补充)
若函数 的定义域为
则实数 的取值范围是；
答案：
变式： ?
练习：(补充)
若函数 的定义域为
则实数 的取值范围是；
答案：
2．求复合函数的定义域
例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）
(2015·北京模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则函数y＝f(2x)－ln(x－1)的定义域为()
例4．(补充)已知 的定义域是 ，求
的定义域。
答案：
注意：《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三
若已知 的定义域为 ，求 的
定义域相当于当 时，求 的值域
（即 的定义域）
练习：(补充)
已知 的定义域是 ，求函数 的定义域。
已知 的定义域是 ，求函数 的定义域。
如: 的定义域是 ,
的定义域
练习：(补充)
例1.（1）《名师一号》P13 对点自测1
(2014·山东)函数 的定义域
为()
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞)D. ∪[2，＋∞)
解析要使函数有意义，应有(log2x)2>1，且x>0，
即log2x>1或log2x<－1，
解得x>2或0<x< .
所以函数f(x)的定义域为 ∪(2，＋∞)．
知识点二基本初等函数的值域
注意：
值域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
当a＞0时，值域为{y|y≥ }；
当a＜0时，值域为{y|y≤ }
(3)y＝ (k≠0)的值域是{y|y≠0}
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}
一、知识梳理《名师一号》P13
知识点一常见基本初等函数的定义域
注意：
1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！
2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}
(7)实际问题中Biblioteka 函数定义域，除了使函数的解析式有意
义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
（补充）
三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为
如果函数是由几个部分的数学式子构成的，
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.
（补充）三角函数中
正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为
正切函数y＝tanx值域为
《名师一号》P15
知识点二函数的最值
注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3
函数最值与函数值域有何关系？
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．
例1.（2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）
函数f(x)＝ ＋ 的定义域为()
A．(－3,0]B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：由题意得 解得－3<x≤0.
注意：
《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1）
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
函数的值域是指表格中y的值的集合．
②当函数y＝f(x)的图象给出时，
函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的
值的集合．
③当函数y＝f(x)用解析式给出时，
函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．
④当函数由实际问题给出时，
函数的值域应结合问题的实际意义确定．
(2)基本初等函数的值域
(3)求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
《名师一号》P14 问题探究 问题2
怎样求解函数的值域？
求函数值域的基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．
(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．
(3)换元法：形如y＝ax＋b± (a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋ 的函数用三角函数代换求值域．
C．{x|x≠－1且x≠－2}D．{x|x≠－1或x≠－2}
解析 解得x≠－1且x≠－2.
注意：
《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2）
（P13 问题探究 问题1 类型二）
已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，
是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，
而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
求函数 的定义域。
答案： 得
2、设函数 的定义域为 ，求函数
的定义域。
答案： 得
3．实际问题中函数定义域的确定
注意：
实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义
（二）求函数值域
注意：求函数的值域先求定义域！
(1)确定函数值域的原则
①当函数y＝f(x)用表格给出时，
1、温故知新P11 知识辨析1（2）
函数 的值域为 （ ）
答案：正确
2、温故知新P11第4题
函数 的值域为（ ）
答案：D
注意：牢记基本函数的值域
3、温故知新P11第6题
函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
答案：A
注意：图像左右平移没有改变函数的值域
二、例题分析：
（一)函数的定义域
1．据解析式求定义域
函数的定义域与值域-知识点与题型归纳
●高考明方向
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
★备考知考情
定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.
(4)分离常数法：形如y＝ (a≠0)的函数可用此法求值域．
A．[1,2] B．(1,2]C．[1,8] D．(1,8]
解析：由已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]．
则使函数y＝f(2x)－ln(x－1)有意义，需
解得1<x≤2，所以定义域为(1,2]．
例3.（2）《名师一号》P13 对点自测2
已知函数f(x)＝ ，则函数f(f(x))的定义域是()
A．{x|x≠－1}B．{x|x≠－2}
函数的定义域一定要用集合或区间表示
例2.(补充)
若函数 的定义域为
则实数 的取值范围是；
答案：
变式： ?
练习：(补充)
若函数 的定义域为
则实数 的取值范围是；
答案：
2．求复合函数的定义域
例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）
(2015·北京模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则函数y＝f(2x)－ln(x－1)的定义域为()
例4．(补充)已知 的定义域是 ，求
的定义域。
答案：
注意：《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三
若已知 的定义域为 ，求 的
定义域相当于当 时，求 的值域
（即 的定义域）
练习：(补充)
已知 的定义域是 ，求函数 的定义域。
已知 的定义域是 ，求函数 的定义域。
如: 的定义域是 ,
的定义域
练习：(补充)
例1.（1）《名师一号》P13 对点自测1
(2014·山东)函数 的定义域
为()
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞)D. ∪[2，＋∞)
解析要使函数有意义，应有(log2x)2>1，且x>0，
即log2x>1或log2x<－1，
解得x>2或0<x< .
所以函数f(x)的定义域为 ∪(2，＋∞)．
知识点二基本初等函数的值域
注意：
值域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
当a＞0时，值域为{y|y≥ }；
当a＜0时，值域为{y|y≤ }
(3)y＝ (k≠0)的值域是{y|y≠0}
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}
一、知识梳理《名师一号》P13
知识点一常见基本初等函数的定义域
注意：
1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！
2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}
(7)实际问题中Biblioteka 函数定义域，除了使函数的解析式有意
义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
（补充）
三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为
如果函数是由几个部分的数学式子构成的，
那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.
（补充）三角函数中
正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的值域均为
正切函数y＝tanx值域为
《名师一号》P15
知识点二函数的最值
注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3
函数最值与函数值域有何关系？
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．
例1.（2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）
函数f(x)＝ ＋ 的定义域为()
A．(－3,0]B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]
解析：由题意得 解得－3<x≤0.
注意：
《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1）
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
函数的值域是指表格中y的值的集合．
②当函数y＝f(x)的图象给出时，
函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的
值的集合．
③当函数y＝f(x)用解析式给出时，
函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．
④当函数由实际问题给出时，
函数的值域应结合问题的实际意义确定．
(2)基本初等函数的值域
(3)求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
《名师一号》P14 问题探究 问题2
怎样求解函数的值域？
求函数值域的基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．
(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．
(3)换元法：形如y＝ax＋b± (a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋ 的函数用三角函数代换求值域．
C．{x|x≠－1且x≠－2}D．{x|x≠－1或x≠－2}
解析 解得x≠－1且x≠－2.
注意：
《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2）
（P13 问题探究 问题1 类型二）
已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，
是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，
而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．