概率论与数理统计第2讲

小结
本节首先介绍频率的概念，指出在试验 次数充分大的情况下，频率接近于概率的结 论；然后给出了概率的公理化定义及概率的 主要性质。
§1.3 古典概率模型
I. 什么是古典概率模型 如果试验 E 满足 (1).试验结果只有有限种； (2).各种结果出现的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古 典概率模型，简称等可能概型或古典概型。
即A包含 3!12! /(4!4!4! ) 个基本事件。 从而，
12! 15! 25 。 P ( A) = 3! ÷ = 4!4!4! 5!5!5! 91
把 3只黄球装入同一盒中,共有3种装法。 在这样的每一种装法取定后,再把其余 12 只白 球装入3个盒中(一盒再装2只,另两盒各装5只) 又有
12! /(2!5!5!) 种装法。 由乘法原理，知装箱方法共有
许多问题和上例有相同的数学模型。 如(生日问题)： 某组人群有n个人，他们中至 少有两人生日相同的概率有多大？ 设每个人在一年(按365天计)内每天出 生的可能性都相同，现随机地选取n(n≤365) 个人，则他们生日各不相同的概率为 A365n / 365n。 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率为 1-A365n / 365n。 打开书 P12，可看到表1.3。
k Cn K k ( N − K ) n−k P ( A) = Nn k n−k k K N − K , k = 0,1,2,, n. = Cn N N
k fn Ai i =1 =
∑
i =1
k
。 f n ( Ai )
1.2.2 事件概率 I. 概率定义
1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯 尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 给出了概率的公理化 定义。
定义1.2.2 设 E 是随机试验，Ω是其样本 空间，对Ω中的每个事件 A，定义一个实数 P(A)与之对应 ，若事件(集合)的函数 P(A) 满 足如下三条: (1). 对每个事件 A，均有 P(A)≥0； (2). P(Ω)=1 ; (3). 若事件 A1, A2 ,… 两两互斥，则有
考虑在相同条件下进行的 k 组试验
事件 A 在各组试验中的频率形成一个数列
m1 m2 mk ， ， ， . n1 n2 nk
频率稳定性是指：当各组试验次数n1,n2, …, nk 充分大时，在各组试验中事件 A 出现的频率 mk m1 m2 ， ， ， 与某定值 p 相差很小 。 n1 n2 nk
例1.3.5 n 个球随机地放入 N(N≥n) 个盒子 中，若盒子的容量无限制。求“每个盒子中至 多有一球” 的概率。 解 因每个球都可以放入 N 个盒子中的任何 一个，故每个球有 N 种放法。由乘法原理，将 n个球放入 N 个盒子中共有 Nn 种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法原 理得): N(N-1)…(N-n+1)=ANn 种。故， P(A)= ANn / Nn .
3 × 12! /(2!5!5!) 种。
即B包含 3 × 12! /( 2!5!5! ) 个基本事件。故，
12! 15! 6 。 P( B) = 3 × ÷ = 2!5!5! 5!5!5! 91
例1.3.7 设 N 件产品中有K 件次品，N-K件 正品， K<N 。现从 N 件中每次任意抽取 1 件， 检查其是否为正品后放回，这样抽 n 次。求事 件 A={所抽到的 n 件产品中恰有 k 件是次品} 的 概率，k = 0, 1, 2, …, n。 解 假定 N 件产品有编号，每次从中任意 取出一件，每次都有 N 种取法。由乘法原理， 抽 n 次共有Nn 种取法，故基本事件总数为Nn。 当所取的 n 件产品中恰有k 件次品时，因 取到这 k 件次品次序之不同，从次序考虑：共 有Cnk 种情况。
当每种情况确定后，从 K 件次品中取出 k 件， 共有Kk 种取法；从 N-K 件正品中取 n-k 件, 有 (N-K)n-k 种取法。 由乘法原理，知“抽到的 n 件产品中恰有 k 件是次品 ” 的取球法共有 Cnk Kk (N-K)n-k 种。 即 A 中基本事件数为 Cnk Kk(N-K)n-k，故
II. 概率的性质 1. P(Ø)=0，即不可能事件的概率为零。 2. 若事件 A1,A2,…, An 两两互斥，则有
(1.2.2) 式称为有限可加性。 3. 对任一事件 A, 均有 4. 对两个事件A和B，若A⊂B, 则有 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A).
5.
对任意两个事件A, B，有
概率论与数理统计 第二讲
主讲教师：程维虎教授 北京工业大Байду номын сангаас应用数理学院
§1.2 事件的概率
1.2.1 事件的频率 I. 频率定义 定义1.2.1 设 A 是一个事件, 在相同条件下 进行 n 次试验，A 发生了m 次。则称 m 为事件 A 在 n 次试验中发生的频数或次数， 称 m 与 n 之比 m / n 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率, 记为 fn(A)。
15! /(5!5!5!)
种等可能的装法。 故，基本事件总数为
15! /(5!5!5!) .
把3只黄球分别装入3个盒中，共有3!种装 法。在这样的每一种装法取定之后，再把其余 12只白球平均装入3个盒中，每盒装4球，有
12! /(4!4!4!) 种装法。
由乘法原理知，装盒总方法数有
3!12!/(4!4!4!) 种。
例1.3.3 货架上有外观相同的商品15件，其 中12件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商 品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率。 解 从 15 件中任取 2 件，共有 C215 = 105种 取法，且每种取法都是等可能的，故基本事件 数 n=105。令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3， 而事件: {两件商品来自同一产地}=A∪B, 且 A与B互斥, 故所求概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=66/105+3/105=23/35.
II. 古典概型中事件概率求法 因试验 E 的结果只有有限种，即样本点有 有限个，不妨记成 ω1,ω2 ,…,ωn ，则 Ω={ω1}∪{ω2 }∪…∪{ωn}， 每个{ωi}都是基本事件，两两互斥，且各自发 生的概率相等。 于是，有 1=P(Ω)=P({ω1}∪{ω2 }∪…∪{ωn}) =P({ω1})+P({ω2 })+…+P({ωn}) =n P({ωi}), i=1,2,…,n。 从而， P({ωi})= 1/n，i=1,2,…,n.
例1.3.4 有外观相同的三极管6只，按电流 放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。按下 列两种方案抽取三极管两只：
(1).每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只 (放回抽样)； (2).每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三 极管中再抽取下一只(不放回抽样)。 设 A={抽到两只甲类三极管}， B={抽到两只同类三极管}, C={至少抽到一只甲类三极管}, D={抽到两只不同类三极管}。 求 P(A),P(B),P(C),P(D)。
因此，若事件 A 包含 k 个基本事件，即
A = {ωi } {ωi }{ωi },
1 2 k
则
k A中包含基本事件数 . P( A) = ∑ P({ωi }) = = n 基本事件总数 r =1
k
r
III. 古典概型举例 例1.3.1 掷一颗匀称骰子，设 A 表示所掷 结果为“四点或五点”，B 表示所掷结果为 “偶数点”，求 P(A) 和 P(B)。 解 由 n=6，kA=2,得 P(A)=2/6=1/3； 再由kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。 频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行n次试验， 所得到的频率可能不同，但只要 n足够大，频 率就会非常接近一个固定值——概率。 因此, 概率可以通过频率来“度量”, 频率 是概率的近似, 概率是频率某种意义下的极限。
稳定在概率 p 附近
在实际问题中，当概率不易求出时，人们 在试验次数很大情况下，常用事件的频率作为 概率的估计，并称此概率为统计概率。这种确 定概率的方法为频率法。 例如，进行产品检验时，如果检验了n 件 产品，其中 m 件为次品，则 n 很大时，可用 m/n 作为产品的次品率(概率)的估计值。
II. 频率性质 (1)⋅ 0≤ fn(A)≤1； (2)⋅ fn(Ω)=1, fn(Ø)=0； (3).若事件 A1,A2,…,Ak 两两互斥，则:
∞ ∞ P Ai = ∑ P( Ai ). i =1 i =1
(1.2.1) 式称为概率的可加性。
(1.2.1)
则称 P(A) 为事件 A 的概率函数，简称概率。
注意：这里的函数 P(A) 与以前所学过的 函数不同。不同之处在于：P(A)的自变量是事 件 ( 集合 )。 不难看出：这里事件概率的定义是在频率 性质的基础之上提出的。 在§5.1中, 我们将看到：频率 fn(A) 在某 种意义下收敛到概率P(A)的事实。基于这一点， 我们有理由用上述定义的P(A) 来度量事件A 在 一次试验中发生的可能性大小 (概率)。
(2).由于第一次抽测后不放回,所以第一次 从6只中取一只, 共有6种可能的取法；第二次 是从剩余的5只中取一只，有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n= 6×5=30种 可能的取法。 由乘法原理，得 kA=4×3=12。从而 P(A)=12/30=2/5； 类似地,得 kM=2×1=2，P(M)=2/30=1/15； 由C是M的对立事件,得 P(C)=1-P(M)=14/15; 由B=A∪M, 且A与M互斥，得 P(B)=P(A)+P(M)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.
从上表可看出: 在 40 人左右的人群里, 十有八九会发生{两人或两人以上生日相同} 这一事件。
公式
把 n 个物品分成 k 组，使第一组有n1个, 第二组有n2个,…,第 k 组有nk个，且 n1+ n2+…+nk=n， 则不同的分组方法数为
n! n1 ! n 2 ! n k !
例1.3.6 有乒乓球15只，其中白色球12只， 黄色球3只。现将它们随机地分装在 3 个盒中， 每盒装5只，设A={每盒中恰有 1 只黄球}, B={3 只黄球都在同一盒中}。求 P(A) 和 P(B)。 解 15只球装入3个盒，每盒装 5只，共有
证明 因 AB，A－AB，B－AB 两两互斥，且 A∪B = AB∪(A－ AB)∪(B－ AB)， 由概率的可加性， 有
说明 n个事件并的多除少补公式
特别地，n = 3 时，有
P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) − P ( A1 A2 ) − P ( A1 A3 ) − P ( A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )
解 (1).由于每次抽测后放回, 因此，每 次都是在6只三极管中抽取。 因第一次从6只中取一只，共有6种可能取 法；第二次还是从6只中取一只，还是有6种取 法。故，取两只三极管共有6×6=36种可能的取 法。从而, n=36。 注意：这种分析方法使用的是中学学过的 “乘法原理”。
因每个基本事件发生的可能性相同。故第 一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 故,取两只甲类三极管共有4×4=16 种可能的取 法,即kA=16。所以，P(A)=16/36=4/9； 令M={抽到两只乙类三极管}, 则 kM=2×2=4。 故，P(M)=4/36=1/9； 因C是M的对立事件，所以 P(C)=1-P(M)=8/9; 因B=A∪M, 且A与M互斥，得 P(B)=P(A)+P(M)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。