§5.2相似矩阵与相似对角化
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矩阵的相似对角化
a c a1 ,
b c
d b2 c1 ,
,
d d2 .
由于P可逆，c、d不能同时为0，不妨
设c≠0，则有λ1=1，再由第一式有c=0，这 导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P
使P-1AP成对角形.即A在数域P上不能对角
化。
那么，什么样的矩阵是可以对角化
的呢? 如果A可相似对角化，则存在可逆阵
由于P可逆，α1，…，αn是线性无关 的. 此式说明，要使A可对角化，A必须有n 个线性无关的特征向量，而与A相似的对
角形矩阵中的λi(i=1, …,n)则是A的特征值.
以上分析说明，矩阵A是否可对角化， 与A的特征值、特征向量的状况有密切关系.
定理5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征
故得
Ak
1 1
21
1 0
k1 11
11 2
1 1
21
1 0
k1
2 1
11
1 1
2kk1 12
11
k 1 k
kk1
相似矩阵还有下列重要性质.
定理5.2.1 设A∽B，则有 (1) R(A)= R(B)，此处R(A)，R(B)分
别是A、B的秩;
(2) A B ; (3) A可逆时B也可逆，反之亦然.当A 可逆时还有A－1∽B－1. 证 (1)和(2)是显然的，只证(3).
,
B 10 11
E A E B 12 ，但A与B不是相似
的，因为A是单位阵，对任意可逆阵P，
P-1AP= P-1P=E=A，从而与单位阵相似的
矩阵只能是其本身.
由定理5.2.2可知，相似的矩阵有相同
特征值.如果能找到与A相似的较简单的矩 阵，则可简化许多问题的处理.在n阶矩阵
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
5.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化
第二节 矩阵相似与矩阵的相似对角化
主要内容
矩阵相似的概念 矩阵相似的性质 矩阵的相似对角化
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆
矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B相似. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
5 0 6 1
2 1 2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
主要内容
矩阵相似的概念 矩阵相似的性质 矩阵的相似对角化
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆
矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B相似. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
5 0 6 1
2 1 2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
相似对角化矩阵及其求法
令
P
1
,
2
,
3
2 1
0 0
1 1
0 1 1
则有
1 0 0
P 1 AP 0 1 0 .
0 0 2
注意
1 2
若 令P
3 ,1 ,2
1
1
1 0
0 0 , 1
则有
2 0 P 1 AP 0 1 0 0
P(B) P1.
特 别地,若 可逆 矩 阵P使P 1 AP 为 对角 矩 阵,
则 Ak P k P 1 , ( A) P ()P 1.
对于对角矩阵, 有
k 1
k
k 2
(1 )
()
(2 )
O
,
解 (1) A 可对角化的充分条件是 A有 n 个互异的
特征值．下面求出 A 的所有特征值．
a11
A
a22
0
, f A( ) E A ann ( a11)( a22) ( ann).
令 f A ( ) 0, 即( a11)( a22) ( ann) 0,
知
矩
阵A
2 0
0 0
0 1
与B
2 0
0 y
0 0
相 似,
0 1 x
0 0 1
则x , y
例 6 设A是n阶 下 三 角 阵.
5.2-相似矩阵及矩阵的对角化
1. 可对角化矩阵的性质
若A 与对角阵相似,即存在可逆矩阵 P, 使
P 1 AP diag(a1,a2 , ,an ) 成立，那么：
（1） Ak Pk P 1 Pdiag(a1k ,a2k , ,ank )P 1
（2）a1,a2, ,an 即是A的 n个特征值;而P的第i列xi
是A的对应于特征值 ai 的特征向量.
1
( x1, x2,
,
xn
)
2
P1 AP
所以A可以对角化.
P
n
P可逆
定理5.7 n阶方阵A可以对角化
A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果n阶方阵A有n个不同的特征值,则A 可对角化.
定理5.8 设n阶方阵A的全部不同的特征值为 1,2, ,s,
它们的代数重数依次为 n1,n2, ,ns (n1 n2 ns n). 下列命题等价
由定理5.3可知相似矩阵亦有相同的行列式、相同的迹.
秩： P 1 AP B r(B) r( A)
a1
（3）若
n
阶方阵A与对角阵
a2
an
相似, 则a1,a2, ,an 是A的n个特征值.
有相同特征值的矩阵不一定相似.
1 0 0
A
0 0
1 0
0 1
1 1 1
B
0 0
1 0
1 1
作业
习题5.2
A：1 2 (1)(3) 3 (1)
5.2 相似矩阵及 矩阵的对角化
5.2.1 相似矩阵 5.2.2 矩阵的对角化
5.2.1 相似矩阵
1.相似矩阵的定义
定义5.3 若A,B都是n阶方阵,如果存在n阶可逆矩阵P， 使得 P-1AP B , 则称矩阵A与B相似,记作 A ~ B.
若A 与对角阵相似,即存在可逆矩阵 P, 使
P 1 AP diag(a1,a2 , ,an ) 成立，那么：
（1） Ak Pk P 1 Pdiag(a1k ,a2k , ,ank )P 1
（2）a1,a2, ,an 即是A的 n个特征值;而P的第i列xi
是A的对应于特征值 ai 的特征向量.
1
( x1, x2,
,
xn
)
2
P1 AP
所以A可以对角化.
P
n
P可逆
定理5.7 n阶方阵A可以对角化
A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果n阶方阵A有n个不同的特征值,则A 可对角化.
定理5.8 设n阶方阵A的全部不同的特征值为 1,2, ,s,
它们的代数重数依次为 n1,n2, ,ns (n1 n2 ns n). 下列命题等价
由定理5.3可知相似矩阵亦有相同的行列式、相同的迹.
秩： P 1 AP B r(B) r( A)
a1
（3）若
n
阶方阵A与对角阵
a2
an
相似, 则a1,a2, ,an 是A的n个特征值.
有相同特征值的矩阵不一定相似.
1 0 0
A
0 0
1 0
0 1
1 1 1
B
0 0
1 0
1 1
作业
习题5.2
A：1 2 (1)(3) 3 (1)
5.2 相似矩阵及 矩阵的对角化
5.2.1 相似矩阵 5.2.2 矩阵的对角化
5.2.1 相似矩阵
1.相似矩阵的定义
定义5.3 若A,B都是n阶方阵,如果存在n阶可逆矩阵P， 使得 P-1AP B , 则称矩阵A与B相似,记作 A ~ B.
相似矩阵与对角化
相似矩阵与对角化矩阵是线性代数中最为重要的概念之一，相似矩阵与对角化是矩阵理论中常被提及的概念。
本文将介绍相似矩阵的定义及性质，以及对角化的概念和相关定理。
1. 相似矩阵相似矩阵是指两个矩阵具有相同特征多项式（即它们的特征值相同），这样的矩阵可以通过线性变换相互转化而得到。
具体来说，设A 和 B 是 n 阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = B，则我们称矩阵 A 与 B 相似，记作 A ∼ B。
相似矩阵有以下特性：（1）相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性都成立。
（2）相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
（3）如果 A 与 B 相似，则它们的多项式函数也相似。
2. 对角化对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则我们称 A 可对角化。
对角化有以下几个重要的定理：（1）一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
（2）如果一个矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 是可对角化的。
（3）如果 A 是可对角化的，则 A 的幂Aⁿ 也可以对角化，其中 n是正整数。
（4）如果 A 可对角化，则存在一个对角矩阵 D，使得 A 和 D 相似。
3. 相似矩阵与对角化的联系相似矩阵和对角化之间存在着密切的联系。
具体来说，如果矩阵 A 和 B 相似，则它们可以通过线性变换相互转化，即存在一个可逆矩阵P，使得 P⁻¹AP = B。
而对角化是相似矩阵的一种特殊情况，即当 P 的选择为 A 的 n 个线性无关的特征向量时，A 可以对角化为对角矩阵 D，即 P⁻¹AP = D。
对角化的好处在于简化了矩阵的计算，对于对角矩阵，其乘法和幂运算均非常简单。
此外，对角矩阵还具有很多重要的性质，如行列式等于特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和，这些性质在实际应用中有着广泛的应用。
相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1aEU aE
2. 相似矩阵的性质 （1）基本性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
相似矩阵与矩阵对角化
同理 , 对l -7 ,由lI - A x 0 ,
3
求得基础解系 3 1,2,2
T
2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
- 2 ( 2) A - 5 1 l2 lI - A 5
3 2018/1/4
(5) 相似矩阵的特征值相同
证 只需证明相似矩阵有相同的特征多项式. 设A~B, 则存在可逆矩阵P, 使得 P-1AP=B. 于是 |lI-B|=|lP-1IP-P-1AP| =|P-1(lI-A)P|=|P-1||lI-A||P| =|lI-A| (因|P-1||P|=1)
4 2018/1/4
得基础解系X1=(1,1,0)T, X2=(-1,0,1)T, 故A对应于 l1=0的全体特征向量为
k1(1,1,0)T+k2(-1,0,1)T
(其中k1,k2为不全为零的任意常数).
23 2018/1/4
当l3-2时, 由(l3I-A)X=0, 则
-3 1 -1 1 0 1 l3 I - A -2 0 -2 0 1 2 1 -1 -1 0 0 0
由于 1 , 2 , 3 线性无关. - 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0
则有
-1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 -2 0 -1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
-2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
解
l -4 -6 0 lI - A 3 l 5 0 l - 1 l 2 3 6 l -1
5.2 矩阵相似对角化
2 0
1 2
0 1 2
2 0 0
则有
P 1 AP 0 2 0 .
0 0 7
14
2 1 2 (2) A 5 3 3
解
1 0 2
2 1
I A 5 3
2
3 ( 1)3 0
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
解齐次线性方程组 (I A)x 0
再利用tr(A) tr(), 得到 2 x y 1.
6
2.若 A 与 B 相似, 则 Am与 Bm 相似( 为正整数).
分析: A ~ B ,则存在可逆矩阵 P ,使 P1AP B
P1AAP P1AP P1AP B2
3.若 A1 ~ B1 , A2 ~ B2 ,则 k1A1 k2 A2 ~ k1B1 k2B2
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P 1 AP为对角阵。
解:
1 2 2
| I A | 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2,3 7
12
将 1 2 2代入I A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
第5.2节 矩阵相似对角化
1
主要内容 一、矩阵相似的概念 二、矩阵相似对角形 三、小结 四、思考与练习
2
一. 相似矩阵的概念
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵B 相似，记作 A ~ B
对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
线性代数-矩阵的相似对角化
5.6 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 P145 相似对角化。
推论1
10
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 , , r ,
似 矩 阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 L 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。7源自§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
4
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145
相 定义 似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化 ；
▲
5
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
相似矩阵与对角化
相似矩阵与对角化矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的相似性和对角化是矩阵理论中的重要内容。
本文将针对相似矩阵与对角化进行探讨，并分析它们在数学与实际应用中的意义。
一、相似矩阵1. 相似矩阵的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，那么我们称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，矩阵A和B互为相似矩阵。
相似矩阵是一个等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
2. 相似矩阵的性质（1）相似矩阵具有相同的特征值。
（2）相似矩阵具有相同的迹。
（3）相似矩阵具有相同的行列式。
二、对角化1. 对角化的定义如果一个n阶方阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D，那么我们称矩阵A可被对角化，矩阵D为对角矩阵。
2. 对角化的条件要使矩阵A可被对角化，必须满足以下条件：（1）矩阵A有n个线性无关的特征向量。
（2）A的n个特征向量构成的特征向量矩阵P是可逆的。
3. 对角化的意义对角化将原矩阵A转化为对角矩阵D，简化了矩阵的计算和分析。
对角矩阵具有很好的性质，例如乘方、求逆和幂等性等运算都非常简单。
三、相似矩阵与对角化的关系相似矩阵和对角化之间存在着紧密的联系。
如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，那么A可被对角化。
我们可以通过寻找A的特征向量来判断其是否可对角化，从而确定其相似性。
四、相似矩阵与对角化的应用相似矩阵与对角化在数学和实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中的一些应用场景：（1）线性代数中的矩阵计算和分析，对角化可以简化计算过程。
（2）特征值和特征向量的求解，可以通过相似矩阵和对角化来简化求解过程。
（3）差分方程和微分方程的求解过程中的特殊矩阵可以通过对角化来简化求解过程。
总结：相似矩阵与对角化是矩阵理论中的重要部分。
相似矩阵是指矩阵A 和B之间存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B。
对角化则是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。
相似矩阵和对角化之间存在着密切的关系，通过特征向量的寻找和特征值的计算可以确定一个矩阵是否可被对角化。
7-2 相似矩阵与矩阵对角化
(3)若 A 与 B 相似，则 Am 与 Bm 相似.（ m 为正整数）
4
(4) 若 A 与 B 相似，而 f ( x ) 是一个多项式， 则 f ( A ) 与 f ( B ) 相似。
(5) P 1 A A P P 1 A P 1 2 1
P
1
A2 P .
(6) P 1 k 1 A1 k 2 A 2 P k 1 P 1 A 1 P k 2 P 1 A 2 P （ k 1 , k 2 为任意常数）
求得
P
1
17
A PP
1
1 1 1
1 0 1
1 0 2 1
1
3
1 3 1 2 1 6
1 3 0 1 3
1 3 1 2 1 6
（1）反身性：
A A.
A B则
（2）对称性：若
（3）传递性：若
B A.
则A C.
A B,B C ,
相似矩阵还具有如下性质： 性质1 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩. 推论 若矩阵 A n n与对角阵 相似，即
3
A n n
A 的特征值是 2 , 4 , , 2 n 即 i 2 i ,
解
A 3 E 的特征值是 f ( i ) 2 i 3
A 3E
( 2 i 3 ) ( 1) 1 3 ( 2 n 3 )
i 1
n
22
方法2：已知 A 有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化， 即存在可逆矩阵 P , 使得 2
矩阵的相似及对角化
最大个数与该特征值的重数相等；
⑤ 对 的任意特征值 ，其重数 满足
2010年秋季四川大学邓传现
例 矩阵
能对角化吗？若能，求出可逆
矩阵 使得
为对角阵.
解 矩阵 A 的特征多项式为
即三阶矩阵 有 3个不同的特征值 故 可对角化.
2010年秋季四川大学邓传现
对
令
得
对
初等行变换
的基础解系为
2010年秋季四川大学邓传现
令 从而有 所以
，则
且
2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可对角化理论的应用 应用之二：由特征值及特征向量反求矩阵
例题 设 于特征值
为 的分别属 的特征向量，求
解答 设
则
2010年秋季四川大学邓传现
于是 从而有
2010年秋季四川大学邓传现
课堂练习
1 若矩阵
有相同的特征值，也都有 个
线性无关的特征向量，则（ ）
分别取
即得
的基
础解系为
2010年秋季四川大学邓传现
对特征根
，因
初等行变换
取
得
令
的基础解系 则
2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可对角化理论的应用
应用之一：利用对角化理论求可对角化方阵的幂
例题 矩阵
，求
解答 因 两个不同特征值易求源自即二阶矩阵 有 故 可对角化.
的基础解系为
的基础解系为
2010年秋季四川大学邓传现
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矩阵可对角化的充要条件
定理 阶矩阵 可对角化的充要条件为 有 个线性 无关的特征向量.
证明 必要性 若矩阵 可对角化，则存在 及可逆阵 使得 从而有
5.2相似矩阵和可对角化条件
对角矩阵 若当形矩阵 可对角化的矩阵
8
1.给定矩阵 A ,如何判断该矩阵是否与对角矩阵相似？ 2.判定矩阵 A 可以对角化后,如何求可逆矩阵 P 使得
P AP = B 就是与A相似的对角形矩阵? 定理 数域 F 上的 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要 条件是: A 有 n 个线性无关的特征向量. 0 1 0 证明: 0 0 2 . 设 A , 其中矩阵 = n 0 0
(i) 求出A的全部特征值 1 , 2 , , s ; (ii)对每个 i ,求方程组 (i E − A) X = O的基础解系, 即为A的属于特征值 i 的线性无关特征向量; (iii)若A有n个线性无关特征向量 1 , 2 , , n ,则 A与对角矩阵相似.令 P = (1 , 2 , , n ),则
4. 相似矩阵具有相同的秩. Qs Q2Q1 AP1 P2 Pm = B 初等变换不改变矩阵的秩.
5. 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.
当它们可逆时, 它们的逆矩阵也相似. 证明: B −1 = ( P −1 AP )−1 = P −1 A−1 P . 6. 若 A B , 则 Ak B k . 两边同时取 k 次幂得： B k = ( P −1 AP )k
−1
存在可逆矩阵 P ,使得 P AP = , 即 AP = P . P = (1 , 2 , , n )
−1
9
0 1 0 0 0 2 . AP = A(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) 0 0 n ( A1 , A 2 , , A n ) = (11 , 2 2 , , n n ) A1 = 11 , A 2 = 2 2 , , A n = n n , i 是矩阵 A 的属于特征值i 的特征向量. 且1 , 2 , , n 线性无关. 1.给定矩阵 A ,如何判断该矩阵是否与对角矩阵相似？ 答： n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量.
8
1.给定矩阵 A ,如何判断该矩阵是否与对角矩阵相似？ 2.判定矩阵 A 可以对角化后,如何求可逆矩阵 P 使得
P AP = B 就是与A相似的对角形矩阵? 定理 数域 F 上的 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要 条件是: A 有 n 个线性无关的特征向量. 0 1 0 证明: 0 0 2 . 设 A , 其中矩阵 = n 0 0
(i) 求出A的全部特征值 1 , 2 , , s ; (ii)对每个 i ,求方程组 (i E − A) X = O的基础解系, 即为A的属于特征值 i 的线性无关特征向量; (iii)若A有n个线性无关特征向量 1 , 2 , , n ,则 A与对角矩阵相似.令 P = (1 , 2 , , n ),则
4. 相似矩阵具有相同的秩. Qs Q2Q1 AP1 P2 Pm = B 初等变换不改变矩阵的秩.
5. 相似矩阵同时可逆或者同时不可逆.
当它们可逆时, 它们的逆矩阵也相似. 证明: B −1 = ( P −1 AP )−1 = P −1 A−1 P . 6. 若 A B , 则 Ak B k . 两边同时取 k 次幂得： B k = ( P −1 AP )k
−1
存在可逆矩阵 P ,使得 P AP = , 即 AP = P . P = (1 , 2 , , n )
−1
9
0 1 0 0 0 2 . AP = A(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) 0 0 n ( A1 , A 2 , , A n ) = (11 , 2 2 , , n n ) A1 = 11 , A 2 = 2 2 , , A n = n n , i 是矩阵 A 的属于特征值i 的特征向量. 且1 , 2 , , n 线性无关. 1.给定矩阵 A ,如何判断该矩阵是否与对角矩阵相似？ 答： n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量.
5.2矩阵的对角化
P p1 , p2 ,, pn
则
P 1 AP diag{1 , 2 ,, n}
例3
0 0 1 A 1 1 1 1 0 0
1 2 3 B 0 1 2 0 0 1
问A
B
是否可对角化?若可以,求
则 1 , 2 ,, n 两两正交。
继续令
n 1 2 1 , 2 , , n 1 2 n
则 1 , 2 ,, n 为一组单位正交向量。
向量组
施密特正交化 单位化
单位 正交向量组
5 正交阵 T A A n 设 是 阶方阵,如果满足 A I , 则称 A 为正交阵. (证明正交阵常用方法)
定理5.2.4 属于实对称阵的不同特征值 的特征向量彼此正交. 即 1 2 , p1 , p2 分别是属于1和 2 的特征向量, 则 p1 , p2 0.
2 实对称阵可对角化 定理5.2.5 设 A 是 n 阶实对称阵,则必有正交阵 Q, 1 使 Q AQ diag(1 , 2 ,, n ). 3 求正交阵 Q ? 正交阵 Q 可逆阵 P ( p11 , p1r ,, ps1 , psr )
求正交阵 Q, 使 Q AQ 为对角阵.
1
作业 T 1.设 为n 维实列向量, 且 2, T A I 求证 为正交矩阵. 习题5.2, 3(3)
B 的属于 2 4的特征向量
注2 特征值相同的矩阵未必相似
2)若f x 为多项式，则 f ( A)与 f (B) 相似. 1 1 A B A B 3)若 与 均可逆，则 与 相似. 例1
1 1 设矩阵 A 与 0 1 0 0 * 2 1 A , A 2 A I . 求 a b 2
则
P 1 AP diag{1 , 2 ,, n}
例3
0 0 1 A 1 1 1 1 0 0
1 2 3 B 0 1 2 0 0 1
问A
B
是否可对角化?若可以,求
则 1 , 2 ,, n 两两正交。
继续令
n 1 2 1 , 2 , , n 1 2 n
则 1 , 2 ,, n 为一组单位正交向量。
向量组
施密特正交化 单位化
单位 正交向量组
5 正交阵 T A A n 设 是 阶方阵,如果满足 A I , 则称 A 为正交阵. (证明正交阵常用方法)
定理5.2.4 属于实对称阵的不同特征值 的特征向量彼此正交. 即 1 2 , p1 , p2 分别是属于1和 2 的特征向量, 则 p1 , p2 0.
2 实对称阵可对角化 定理5.2.5 设 A 是 n 阶实对称阵,则必有正交阵 Q, 1 使 Q AQ diag(1 , 2 ,, n ). 3 求正交阵 Q ? 正交阵 Q 可逆阵 P ( p11 , p1r ,, ps1 , psr )
求正交阵 Q, 使 Q AQ 为对角阵.
1
作业 T 1.设 为n 维实列向量, 且 2, T A I 求证 为正交矩阵. 习题5.2, 3(3)
B 的属于 2 4的特征向量
注2 特征值相同的矩阵未必相似
2)若f x 为多项式，则 f ( A)与 f (B) 相似. 1 1 A B A B 3)若 与 均可逆，则 与 相似. 例1
1 1 设矩阵 A 与 0 1 0 0 * 2 1 A , A 2 A I . 求 a b 2
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A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
《线性代数》
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结束
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； (2)相似矩阵的行列式相等； (3)相似矩阵的迹相等； (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似.
结束
充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 从而有 (Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn)，
l1 0 0
-3 -6 1
1
0
1
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
《线性代数》
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
=(l2)2(l-4)=0，
矩阵A的特征值为
l1=l2=-2, l3=4，
对于特征值l1=l2=-2, 解线
性方程组(-2E-A)X=o，
1
-1
得其基础解系x1= 1 , x2= 0 .
0
1
解：(1) 矩阵A的特征方程为
3
-1 1 1
所以
P
=
1
0
-2
.
0 1 3
《线性代数》
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结束
例5. 设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中 a1=(1,2,2)T, a2=(0,-1,1)T, a3=(0,0,1)T, 求A和A5.
解：由所给条件知矩阵A
的特征值为l1=1, l2=0, l3= -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值
1 1
1 -5
，
因为对P称-1A性P：若A~B，则B~A
传递=性-：—16若--A15~-B11，B53~C-1，1 则11
A-1~5C=
-
—1 6
-20 -4 2 -2
11 1 -5
= -—1 -24 0 = 6 0 12
40 0 -2
，
所以A~B .
《线性代数》
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结束
定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使
P-1AP=L，
l1 0 0
则有
A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn)
0
l2
0 ，
0 0 ln
即 A(x1, x2, , xn) = (x1, x2, , xn)
0
l2
0
,
……(*)
令 P=(x1, x2, , xn)，
0 0 ln
则(*)式变为 AP =PL .
因为x1, x2, , xn线性无关，所以P可逆.用P-1左乘上式两端
例4. 设矩阵A,B相似，其中
l1=l2=2, l3=6 .
1 -1 1 2 0 0
A
=
2
4
-2
,
B
=
0
2
0
,
对于特征值l1=l2=2, 解线性
方程组(2E-A)X=o，
-3 -3 x
0 0 y
①求x , y的值；
-1
1
得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 .
1 得其基础解系x1= 2 ，
(2) B= -4 3 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
102
对于特征值l3=2，解线性方
程组(2E-B)X=o，
解：(2) 矩阵B的特征方程为
0
l1 -1 0
得其基础解系x2= 0 . 1
|lE - B| = 4 l-3 0
-1 0 l-2
显然, B不能相似于对角阵.
《线性代数》
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结束
.
1 -1 0
例2.
设3阶方阵A相似于D
=
2
2
0
,求|A|.
0 0 3
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
《线性代数》
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2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
《线性代数》
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结束
例3.判断下列矩阵是否相 =(l-2)(l-1)2=0，
似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 矩阵B的特征值为
阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0
l1=l2=1, l3=2 .
对于特征值l1=l2=1, 解线性
方程组(E-B)X=o，
(Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .
因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是A 的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
《线性代数》
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对于特征值l3=4 ，解线性
l-1 3 -3
方程组(4E-A)X=o，
1
|lE - A| = -3 l5 -3 -6 6 l-4
得其基础解系x3= 1 . 2
《线性代数》
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
3 1 2 -1 0
5 -7 -9
即 AB = A(1, 2, , s ) = (A1 , A2, , As ) .
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
2 3 -2 2 3 -3
1 -2
1 -2
3 1 -1 3 1 0
注：用先列后行法
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8 -7 -6 = -3 0 -3
5 -7 -9
2 -1 0 31
23
8
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3
3 1 2 -1 0
5
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
注：用先列后行法
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8 = -3
5
结束
23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
2 -1 0 31
23
8 -7
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3 0
2 1 1 0 0 -1 2 1 1
1 0 0
=2 0 0
6 -1 -1
A 5= PL 5P -1 = PL P-1=A .
《线性代数》
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结束
作业：
P128页 5(1)(2)
《线性代数》
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结束
l1 0 0
推导 (x1, x2, , xn) 0 l2 0
4 0
0 2
.
《线性代数》
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结束
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
460
-1
-2
0
例如，A= -3 -5 0 ，x1= 1 ，x2= 1 ，x3= 0 ，
0 0 ln
x11 x12 ... x1n l1 0
=
x
21
x 22
... x 2n
0
l2
... ... ... ...
x
n1
xn2
... x nn
0
0
x11l1
=
x l 21 1
x l n1 1
得
P-1AP=L，
即矩阵A与对角矩阵L相似.
《线性代数》
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例如，矩阵A= 3 -1 -1 3
有两个不同的特征值l1=2,l2=4,
其对应特征向量分别为x1=
1 1
，x2=
1 -1
.
取P=(x1, x2)=
1 1 ，则 P-1AP = L = 1 -1
2 0
0 4
.
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？=
x12l2 x22l2
xn2l2
x1nln
x2nln
x
l nn n
0
0
ln
= (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
《线性代数》
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定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； (2)相似矩阵的行列式相等； (3)相似矩阵的迹相等； (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似.
结束
充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 从而有 (Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn)，
l1 0 0
-3 -6 1
1
0
1
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
=(l2)2(l-4)=0，
矩阵A的特征值为
l1=l2=-2, l3=4，
对于特征值l1=l2=-2, 解线
性方程组(-2E-A)X=o，
1
-1
得其基础解系x1= 1 , x2= 0 .
0
1
解：(1) 矩阵A的特征方程为
3
-1 1 1
所以
P
=
1
0
-2
.
0 1 3
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例5. 设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中 a1=(1,2,2)T, a2=(0,-1,1)T, a3=(0,0,1)T, 求A和A5.
解：由所给条件知矩阵A
的特征值为l1=1, l2=0, l3= -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值
1 1
1 -5
，
因为对P称-1A性P：若A~B，则B~A
传递=性-：—16若--A15~-B11，B53~C-1，1 则11
A-1~5C=
-
—1 6
-20 -4 2 -2
11 1 -5
= -—1 -24 0 = 6 0 12
40 0 -2
，
所以A~B .
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定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使
P-1AP=L，
l1 0 0
则有
A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn)
0
l2
0 ，
0 0 ln
即 A(x1, x2, , xn) = (x1, x2, , xn)
0
l2
0
,
……(*)
令 P=(x1, x2, , xn)，
0 0 ln
则(*)式变为 AP =PL .
因为x1, x2, , xn线性无关，所以P可逆.用P-1左乘上式两端
例4. 设矩阵A,B相似，其中
l1=l2=2, l3=6 .
1 -1 1 2 0 0
A
=
2
4
-2
,
B
=
0
2
0
,
对于特征值l1=l2=2, 解线性
方程组(2E-A)X=o，
-3 -3 x
0 0 y
①求x , y的值；
-1
1
得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 .
1 得其基础解系x1= 2 ，
(2) B= -4 3 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
102
对于特征值l3=2，解线性方
程组(2E-B)X=o，
解：(2) 矩阵B的特征方程为
0
l1 -1 0
得其基础解系x2= 0 . 1
|lE - B| = 4 l-3 0
-1 0 l-2
显然, B不能相似于对角阵.
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.
1 -1 0
例2.
设3阶方阵A相似于D
=
2
2
0
,求|A|.
0 0 3
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
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2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
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例3.判断下列矩阵是否相 =(l-2)(l-1)2=0，
似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 矩阵B的特征值为
阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0
l1=l2=1, l3=2 .
对于特征值l1=l2=1, 解线性
方程组(E-B)X=o，
(Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .
因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是A 的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
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对于特征值l3=4 ，解线性
l-1 3 -3
方程组(4E-A)X=o，
1
|lE - A| = -3 l5 -3 -6 6 l-4
得其基础解系x3= 1 . 2
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
3 1 2 -1 0
5 -7 -9
即 AB = A(1, 2, , s ) = (A1 , A2, , As ) .
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
2 3 -2 2 3 -3
1 -2
1 -2
3 1 -1 3 1 0
注：用先列后行法
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8 -7 -6 = -3 0 -3
5 -7 -9
2 -1 0 31
23
8
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3
3 1 2 -1 0
5
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
注：用先列后行法
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8 = -3
5
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23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
2 -1 0 31
23
8 -7
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3 0
2 1 1 0 0 -1 2 1 1
1 0 0
=2 0 0
6 -1 -1
A 5= PL 5P -1 = PL P-1=A .
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作业：
P128页 5(1)(2)
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l1 0 0
推导 (x1, x2, , xn) 0 l2 0
4 0
0 2
.
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推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
460
-1
-2
0
例如，A= -3 -5 0 ，x1= 1 ，x2= 1 ，x3= 0 ，
0 0 ln
x11 x12 ... x1n l1 0
=
x
21
x 22
... x 2n
0
l2
... ... ... ...
x
n1
xn2
... x nn
0
0
x11l1
=
x l 21 1
x l n1 1
得
P-1AP=L，
即矩阵A与对角矩阵L相似.
《线性代数》
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例如，矩阵A= 3 -1 -1 3
有两个不同的特征值l1=2,l2=4,
其对应特征向量分别为x1=
1 1
，x2=
1 -1
.
取P=(x1, x2)=
1 1 ，则 P-1AP = L = 1 -1
2 0
0 4
.
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？=
x12l2 x22l2
xn2l2
x1nln
x2nln
x
l nn n
0
0
ln
= (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
《线性代数》