§5.2相似矩阵与相似对角化
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A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
《线性代数》
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定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； (2)相似矩阵的行列式相等； (3)相似矩阵的迹相等； (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似.
结束
充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 从而有 (Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn)，
l1 0 0
-3 -6 1
1
0
1
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
《线性代数》
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结束
例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
=(l2)2(l-4)=0，
矩阵A的特征值为
l1=l2=-2, l3=4，
对于特征值l1=l2=-2, 解线
性方程组(-2E-A)X=o，
1
-1
得其基础解系x1= 1 , x2= 0 .
0
1
解：(1) 矩阵A的特征方程为
3
-1 1 1
所以
P
=
1
0
-2
.
0 1 3
《线性代数》
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结束
例5. 设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中 a1=(1,2,2)T, a2=(0,-1,1)T, a3=(0,0,1)T, 求A和A5.
解：由所给条件知矩阵A
的特征值为l1=1, l2=0, l3= -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值
1 1
1 -5
，
因为对P称-1A性P：若A~B，则B~A
传递=性-：—16若--A15~-B11，B53~C-1，1 则11
A-1~5C=
-
—1 6
-20 -4 2 -2
11 1 -5
= -—1 -24 0 = 6 0 12
40 0 -2
，
所以A~B .
《线性代数》
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结束
定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使
P-1AP=L，
l1 0 0
则有
A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn)
0
l2
0 ，
0 0 ln
即 A(x1, x2, , xn) = (x1, x2, , xn)
0
l2
0
,
……(*)
令 P=(x1, x2, , xn)，
0 0 ln
则(*)式变为 AP =PL .
因为x1, x2, , xn线性无关，所以P可逆.用P-1左乘上式两端
例4. 设矩阵A,B相似，其中
l1=l2=2, l3=6 .
1 -1 1 2 0 0
A
=
2
4
-2
,
B
=
0
2
0
,
对于特征值l1=l2=2, 解线性
方程组(2E-A)X=o，
-3 -3 x
0 0 y
①求x , y的值；
-1
1
得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 .
1 得其基础解系x1= 2 ，
(2) B= -4 3 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
102
对于特征值l3=2，解线性方
程组(2E-B)X=o，
解：(2) 矩阵B的特征方程为
0
l1 -1 0
得其基础解系x2= 0 . 1
|lE - B| = 4 l-3 0
-1 0 l-2
显然, B不能相似于对角阵.
《线性代数》
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结束
.
1 -1 0
例2.
设3阶方阵A相似于D
=
2
2
0
,求|A|.
0 0 3
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
《线性代数》
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2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
《线性代数》
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例3.判断下列矩阵是否相 =(l-2)(l-1)2=0，
似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 矩阵B的特征值为
阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0
l1=l2=1, l3=2 .
对于特征值l1=l2=1, 解线性
方程组(E-B)X=o，
(Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .
因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是A 的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
《线性代数》
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对于特征值l3=4 ，解线性
l-1 3 -3
方程组(4E-A)X=o，
1
|lE - A| = -3 l5 -3 -6 6 l-4
得其基础解系x3= 1 . 2
《线性代数》
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
3 1 2 -1 0
5 -7 -9
即 AB = A(1, 2, , s ) = (A1 , A2, , As ) .
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
2 3 -2 2 3 -3
1 -2
1 -2
3 1 -1 3 1 0
注：用先列后行法
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8 -7 -6 = -3 0 -3
5 -7 -9
2 -1 0 31
23
8
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3
3 1 2 -1 0
5
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
注：用先列后行法
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8 = -3
5
结束
23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
2 -1 0 31
23
8 -7
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3 0
2 1 1 0 0 -1 2 1 1
1 0 0
=2 0 0
6 -1 -1
A 5= PL 5P -1 = PL P-1=A .
《线性代数》
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结束
作业：
P128页 5(1)(2)
《线性代数》
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l1 0 0
推导 (x1, x2, , xn) 0 l2 0
4 0
0 2
.
《线性代数》
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结束
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
460
-1
-2
0
例如，A= -3 -5 0 ，x1= 1 ，x2= 1 ，x3= 0 ，
0 0 ln
x11 x12 ... x1n l1 0
=
x
21
x 22
... x 2n
0
l2
... ... ... ...
x
n1
xn2
... x nn
0
0
x11l1
=
x l 21 1
x l n1 1
得
P-1AP=L，
即矩阵A与对角矩阵L相似.
《线性代数》
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结束
例如，矩阵A= 3 -1 -1 3
有两个不同的特征值l1=2,l2=4,
其对应特征向量分别为x1=
1 1
，x2=
1 -1
.
取P=(x1, x2)=
1 1 ，则 P-1AP = L = 1 -1
2 0
0 4
.
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？=
x12l2 x22l2
xn2l2
x1nln
x2nln
x
l nn n
0
0
ln
= (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
《线性代数》
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结束
23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
《线性代数》
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例1.
若矩阵
A
=
22
y
31 1
x
,
B
=
3
2
4
相似，求x,y.
解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即
22 x = 1 4 22x - 31y = 4 - 6 ,
解得
x = -17
y
=
-12
的特征向量.
易知a1, a2, a3 是3阶方阵A
的3个线性无关的特征向量，
所以A相似于对角阵
L＝diag(1, 0, -1).
取P＝(a1, a2, a3)，
则有P-1 A P= L ，所以
A = P L P -1
1 0 01 0 0 1 0 0-1 = 2 -1 0 0 0 0 2 -1 0
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
由于A有3个线性无关的特
征向量x1，x2，x3，所以A相似 于对角阵L .
所求的相似变换矩阵为
P=(x1，x2，x3)
1 -1 1 = 1 0 1,
012
对角阵为
-2 0 0 L = 0 -2 0 ,
0 04
满足 P-1 A P= L .
3 1 2 -1 0
5 -7
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
2 3 -2 1 -2 3 1 -1 注：用先列后行法
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8 -7 = -3 0
5 -7
结束
23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
2 -1 0 31
23
8 -7 -6
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3 0 -3
结束
②求可逆矩阵P，使P-1AP=B.
0
1
解：由A和B相似可知，它 们的迹、行列式都相等，即
对于特征值l3=6，解线性方
程组(6E-A)X=o，
5 x = 4 y 6x - 6 = 4y ,
1 得其基础解系x3= -2 ，
解得
x
y
= =
5 6
.
由于A和B相似，且B是一个
对角阵，可得A的特征值为
第2节 相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
《线性代数》
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结束
2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
相自似反例关性如系：，是A~A矩=A阵53间-的11 一，种B等= 价04关-02系，，满P足=
成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项
式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B，
|lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，
《线性代数》
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结束
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； (2)相似矩阵的行列式相等； (3)相似矩阵的迹相等； (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似.
结束
充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 从而有 (Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn)，
l1 0 0
-3 -6 1
1
0
1
且有Ax1=-2x1， Ax2=x2， Ax3=x3，向量组是A的线性无关的
特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
P-1AP= diag(-2, 1, 1) .
《线性代数》
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结束
例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
=(l2)2(l-4)=0，
矩阵A的特征值为
l1=l2=-2, l3=4，
对于特征值l1=l2=-2, 解线
性方程组(-2E-A)X=o，
1
-1
得其基础解系x1= 1 , x2= 0 .
0
1
解：(1) 矩阵A的特征方程为
3
-1 1 1
所以
P
=
1
0
-2
.
0 1 3
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例5. 设3阶方阵A满足Aa1=a1，Aa2=o，Aa3=-a3，其中 a1=(1,2,2)T, a2=(0,-1,1)T, a3=(0,0,1)T, 求A和A5.
解：由所给条件知矩阵A
的特征值为l1=1, l2=0, l3= -1, a1, a2, a3是A对应于上述特征值
1 1
1 -5
，
因为对P称-1A性P：若A~B，则B~A
传递=性-：—16若--A15~-B11，B53~C-1，1 则11
A-1~5C=
-
—1 6
-20 -4 2 -2
11 1 -5
= -—1 -24 0 = 6 0 12
40 0 -2
，
所以A~B .
《线性代数》
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结束
定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使
P-1AP=L，
l1 0 0
则有
A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn)
0
l2
0 ，
0 0 ln
即 A(x1, x2, , xn) = (x1, x2, , xn)
0
l2
0
,
……(*)
令 P=(x1, x2, , xn)，
0 0 ln
则(*)式变为 AP =PL .
因为x1, x2, , xn线性无关，所以P可逆.用P-1左乘上式两端
例4. 设矩阵A,B相似，其中
l1=l2=2, l3=6 .
1 -1 1 2 0 0
A
=
2
4
-2
,
B
=
0
2
0
,
对于特征值l1=l2=2, 解线性
方程组(2E-A)X=o，
-3 -3 x
0 0 y
①求x , y的值；
-1
1
得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 .
1 得其基础解系x1= 2 ，
(2) B= -4 3 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
102
对于特征值l3=2，解线性方
程组(2E-B)X=o，
解：(2) 矩阵B的特征方程为
0
l1 -1 0
得其基础解系x2= 0 . 1
|lE - B| = 4 l-3 0
-1 0 l-2
显然, B不能相似于对角阵.
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结束
.
1 -1 0
例2.
设3阶方阵A相似于D
=
2
2
0
,求|A|.
0 0 3
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
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2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
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结束
例3.判断下列矩阵是否相 =(l-2)(l-1)2=0，
似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 矩阵B的特征值为
阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
6 -6 4 -1 1 0
l1=l2=1, l3=2 .
对于特征值l1=l2=1, 解线性
方程组(E-B)X=o，
(Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) .
因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是A 的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
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对于特征值l3=4 ，解线性
l-1 3 -3
方程组(4E-A)X=o，
1
|lE - A| = -3 l5 -3 -6 6 l-4
得其基础解系x3= 1 . 2
《线性代数》
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 求可逆矩 阵P，使P-1 A P= L .
1 -3 3 (1) A= 3 -5 3
3 1 2 -1 0
5 -7 -9
即 AB = A(1, 2, , s ) = (A1 , A2, , As ) .
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
2 3 -2 2 3 -3
1 -2
1 -2
3 1 -1 3 1 0
注：用先列后行法
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8 -7 -6 = -3 0 -3
5 -7 -9
2 -1 0 31
23
8
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3
3 1 2 -1 0
5
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
注：用先列后行法
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8 = -3
5
结束
23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
2 -1 0 31
23
8 -7
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3 0
2 1 1 0 0 -1 2 1 1
1 0 0
=2 0 0
6 -1 -1
A 5= PL 5P -1 = PL P-1=A .
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作业：
P128页 5(1)(2)
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l1 0 0
推导 (x1, x2, , xn) 0 l2 0
4 0
0 2
.
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推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
460
-1
-2
0
例如，A= -3 -5 0 ，x1= 1 ，x2= 1 ，x3= 0 ，
0 0 ln
x11 x12 ... x1n l1 0
=
x
21
x 22
... x 2n
0
l2
... ... ... ...
x
n1
xn2
... x nn
0
0
x11l1
=
x l 21 1
x l n1 1
得
P-1AP=L，
即矩阵A与对角矩阵L相似.
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例如，矩阵A= 3 -1 -1 3
有两个不同的特征值l1=2,l2=4,
其对应特征向量分别为x1=
1 1
，x2=
1 -1
.
取P=(x1, x2)=
1 1 ，则 P-1AP = L = 1 -1
2 0
0 4
.
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？=
x12l2 x22l2
xn2l2
x1nln
x2nln
x
l nn n
0
0
ln
= (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
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23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
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例1.
若矩阵
A
=
22
y
31 1
x
,
B
=
3
2
4
相似，求x,y.
解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即
22 x = 1 4 22x - 31y = 4 - 6 ,
解得
x = -17
y
=
-12
的特征向量.
易知a1, a2, a3 是3阶方阵A
的3个线性无关的特征向量，
所以A相似于对角阵
L＝diag(1, 0, -1).
取P＝(a1, a2, a3)，
则有P-1 A P= L ，所以
A = P L P -1
1 0 01 0 0 1 0 0-1 = 2 -1 0 0 0 0 2 -1 0
6 -6 4 -1 1 0 (2) B= -4 3 0 102
由于A有3个线性无关的特
征向量x1，x2，x3，所以A相似 于对角阵L .
所求的相似变换矩阵为
P=(x1，x2，x3)
1 -1 1 = 1 0 1,
012
对角阵为
-2 0 0 L = 0 -2 0 ,
0 04
满足 P-1 A P= L .
3 1 2 -1 0
5 -7
23 1 即 1 -2
31 2
《线性代数》
2 3 -2 1 -2 3 1 -1 注：用先列后行法
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8 -7 = -3 0
5 -7
结束
23 示例．设 A= 1 -2 ， B = 1 -2 -3 ，求AB.
2 -1 0 31
23
8 -7 -6
解： AB= 1 -2 1 -2 -3 = -3 0 -3
结束
②求可逆矩阵P，使P-1AP=B.
0
1
解：由A和B相似可知，它 们的迹、行列式都相等，即
对于特征值l3=6，解线性方
程组(6E-A)X=o，
5 x = 4 y 6x - 6 = 4y ,
1 得其基础解系x3= -2 ，
解得
x
y
= =
5 6
.
由于A和B相似，且B是一个
对角阵，可得A的特征值为
第2节 相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
相自似反例关性如系：，是A~A矩=A阵53间-的11 一，种B等= 价04关-02系，，满P足=
成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项
式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B，
|lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，