振动信号多重分形分析改进算法_李国宾
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q (X min ) = i
f (q ) = T ( q) =
∑ P (X ) , ln ∑ P (X ) ,
i m in q i min q
( 7) ( 8) , ( 9) ( 10)
lnX min
q
∑
m in ) ] ln [P i (X min ) ] } { [Pi (X q [l n(X m in ) ] min ) ] ∑ [P i (X
Abstract : A new m ethod based o n multi fractal spect rum is develo ped to describe th e com plexi ty of vibrati on sig nal. A brief presenta tio n about the i mprov ed alg orith m of multi f racta l spect rum is first ly conducted, and then i t s ev olutio n rule i s studied th ro ugh t he ex perim ent a nd sim ula ti on. The resul t show s that t he im prov ed m ul tif ract al spectrum ref lects the cha ract er of vibratio n sig nal w hi ch can be used t o recog nize the vibratio n sig nal. Key words: vi bra tion sig nal; f ractal theory; m ul tif ract al spectrum; i mproved algo ri thm
从表 1 的计算结果看出 , 随着分形维数的增大 , T m in值越来越小 , 表明曲线奇异性和复杂程度增加 ; 同时 Δ f 值越来越大 , 表明曲线变得越来越尖锐 , 波动幅度变大 . 分析结果是与图 1 w eierstass 函数曲线 相符的 , 因此 , 仿真结果表明改进后的多重分形谱可以有效地刻画信号的特征 . 2. 2 试验 本文通过试验提取齿轮箱在齿轮磨合过程中的振动信号 , 用多重分形谱改进算法进行分析 . 2. 2. 1 试验方法 在如图 3 所示的自制试验台上进行齿轮故障分析试验 . 齿轮箱内为双级斜齿轮减速机构 , 输入轴由 电动机驱动 , 输出带制动载荷 . 试验齿轮的齿数比 为 16 / 70, 模数 m = 6, 中心距为 120 m m, 试验齿 # 轮材料 为 45 钢 . 试验过程中 使输入转 速固定在 1 755 r /min , 齿轮 磨合 120 mi n 后 , 齿轮磨 合结 束 , 进入正常磨损期 . 在齿轮箱体垂直 、 水平和轴 向方向安装 621B40 型 IC P加速度传感器测取变速 箱的振动信号 , 用 AN D AD-3642 信号采集仪进行 信 号 采 集 , 采 样 频 率 12. 8 k Hz, 采 样 点 数 8 192 点 . 提取齿轮磨合过程中水平方向齿轮箱的 振动信号 , 其时域波形如图 4 所示 . 2. 2. 2 振动信号多重分形分析
2006年 第 20 卷 第 6 期 ( 总第 60期 )
测
试
技
术
学
报
JOURNAL OF TEST AND MEASUREMENT TECHNOLOGY
V ol. 20 N o. 6 2006 ( Sum N o. 60)
文章编号 : 1671-7449( 2006) 06-054306
振动信号多重分形分析改进算法
图 1 w ei ers tass 函数曲线 The curv e of w eiers trass f uncti on Fig. 1
546
测
试
技
术
学
报
2006 年第 6 期
图 2 w ei ers tass 函数多重分形谱 Th e mul tif ractal spect rum of w ei ers t rass f uncti on Fig. 2
544 新的方法 .
测
试百度文库
技
术
学
报
2006 年第 6 期
1 多重分形谱计算方法
多重分形也称作多标度分形 , 是 Ma ndelbro t 在 1972 年研究湍流时首先提出的 , 多重分形是定义在 分形结构上的由多个标度指数的分形测度组成的无限集合 . 多重分形主要研究物理量或其它量在几何支 撑上的分布 , 这种分布常常显示出奇异性 (即不规则性 ) , 因此 , 多重分形是为研究物理量或其它量的奇 异性分布而引入的 . 1. 1 多重分形谱的计算方法 多重分形谱的计算首先统计物理量在相应分形结构上的概率测度分布 . 本文用盒计数法进行概率测 度的统计与计算 . 将振动信号沿时间轴划分为许多尺寸为 X (X c 1) 的一维小盒子 , Si (X ) 为盒子尺寸 X 时第 i 个小盒子 内所有振动信号的幅值之和 , 全部振动信号幅值之和为 Pi (X )=
f (T )= q T ( q) - f ( q) .
从式 ( 7)～ 式 ( 10) 可以看出 , q 的取值范围是问题的关 键所在 . 通 过大量的计算表明 , q 取负值时 , , f (T )都没有明显的变化规律 , 而 q 取正值时 , T , f (T ) 都显示出明显的变化规律 . T
李国宾 , 关德林
(大连海事大学 轮机工程学院 , 辽宁 大连 116026) 摘 要 : 针对振动信号的变化特点 , 提出一种用多重分 形谱描述振动信号 复杂性的新方法 . 给出了振动信 号多重分形谱的改进 算法 , 并对振动信号多重分形谱的变化规律进行了仿 真和试验研究 . 结果表明 : 改进后 的多重分形谱反映了 振动信号的特征 , 能够对振动信号进行识别 . 关键词 : 振动信号 ; 分形理 论 ; 多重分形谱 ; 改进算法 中图分类号 : TN 911. 6 文献 标识码 : A
f (q ) i q (X )∝X ,
( 5)
式中: f ( q ) 为质量指数 . 作为描述同一物理对象的 3 个标度指数 T , f (T )和f ( q ) , 它们之间有内在的联系 , 这就是统计物理 中的勒让德变换 T ( q) = d f ( q) dq . ( 6)
f (T )= q T ( q) - f ( q) 利用这种关系 , 通过程序测定并计算概率测度 、 配分函数和质量指数 , 便可得到分形结构的多重分 形谱 f (T ) [5, 6 ] . 多重分形谱 f (T ij ) 可以反映被考察的物理量在分形结构上不均匀分布的性质 , 给出比简单分维更丰 富的结构信息 . 例如大的 T ij 反映的是小概率测度区域的性质 , T i j越小 , 概率测度分布越不均匀 , 信号的奇 异性程度越大 . Δ f = f max - f min的大小反映了信号的形状 , Δ f 越大 , 信号越尖锐 . 因此 f (T i j ) 的物理意 义是对分形结构上的复杂程度、 不规则程度以及不均匀程度的一种度量 [ 7, 8] .
从图 2 可以看出 , 随着 q 值的增加 , f (T ) 和 T都在下降 , 且分形维数不同 , 它们下降的幅度和速度
min值如表 1. 也不尽相同 , 分形维数越大 , f (T )和T 值下降越大 . 计算得 Δ f 和 T
表 1 w eierst as s 函数曲线多重分形谱 Δ f 和 T 计算值 mi n Tab. 1 Th e calculati on value of Δ f and T mi n abou t th e w eiers trass f unction curv es s 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 T mi n - 0. 169 4 - 0. 172 1 - 0. 175 2 - 0. 178 0 Δf 0. 557 9 0. 575 1 0. 592 6 0. 608 2 s 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 T min - 0. 180 5 - 0. 184 1 - 0. 192 5 - 0. 212 4 Δf 0. 620 1 0. 637 7 0. 708 3 0. 877 5
0 引 言
分形理论是近年来非线性科学研究中非常重要的方面 , 它在揭示复杂系统所表现出来的非平稳性、 不连续性等特性方面具有独特之处 . 分形通过研究系统吸引子的结构及其变化来研究系统的稳定性 , 系 统正常工作时其吸引子的结构是稳定的 , 当系统偏离正常工作状态时其吸引子的结构就会变化 . 研究发 现振动信号具有分形特征 , 应用非线性方法可以较好地提取振动信号的特征 . 许多研究者运用单重分形 从整体上成功地刻画了信号的不规则性 , 但单重分形只能反映信号的整体特征 , 缺乏对局部奇异性的刻 画 . 多重分形不但能从整体上反映信号的不规则性 , 而且能精细地刻画信号的局部行为 . 但是多重分形 谱计算复杂 , 只有少数比较特殊的集合才有解析解 , 这一问题严重制约了多重分形理论的实际应用
The Improved Multif ractal Analysis Algorithm f or Vibration Signal
LI Guobin, GUAN Delin
( Co lleg e of M a rine Engineering , Da lia n M a ritime Univ ersity, Dalian 116026, China)
[1～ 4 ]
.
本文基于多重分形理论 , 提出了多重分形谱的改进算法 , 利用改进后的多重分形谱提取振动信号的特 征 . 分析表明 , 多重分形谱的改进算法简单、 可靠 , 可以提取信号的特征 , 为振动信号的识别提供了一种
收稿日期 : 2005-12-12 基金项目 : 博士点基金资助项目 ( 20020151007) 作者简介 : 李国宾 ( 1970- ) , 博士生 , 主要从事机械设备故障诊断与预测等方面研究 .
( 2)
指数 T 称为奇异指数 , 它是反映分形体上在各个尺寸 X 下 , 物理量分布概率随变化的各个子集的性质 , T 愈大 , 子集的概率愈大 . 在分形曲线上 T是有限的 , 即 T ∈ [T min , T m ax ] . 若具有相同 T 标识的盒子数为 N (X ) , N (X ) 在无标度区域内与 X 也存在着标度关系 N (X )∝X 多重分形谱 . 对 Pi (X ) 用 q 次方进行加权求和 , 定义配分函数 i q (X ) 如式 ( 4) i q (X ) ≡ ∑ Pi (X )q , ( 4)
( 总第 60 期 )
振动信号多重分形分析改进算法 ( 李国宾等 )
545
1. 2 多重分形谱的改进算法 上述分析表明 , 多重分形谱计算复杂 , 只有少数比较特殊的集合才有解析解 , 对一般的集合通常无 法获得解析解 , 只能用数值计算的方法间接进行估计 . 根据分形理论可知 , 计算维数是随 X 减小而有界 的值 , 在计算多重分形谱时 , 使 X 保持不变 , 且取其极小值 , 改变 q 计算多重分形谱 , 可以得到满意的效 果 . 在实际应用中 , 常取 X min为信号的采样间隔 Δ t. 改进后多重分形谱的计算式为
i
∑ S (X ) , 则概率测度为 S (X ) /∑ S (X ).
i i
( 1)
由此可获得振动信号在所讨论的分形结构上的一种概率测度的分布 . 在 无标度区域内 , 概率测度 Pi (X ) 组成的集可划分成一系列子集 , 即按 Pi (X ) 的大小划分为满足 式 ( 2)的幂函数子集
T Pi (X )∝X ,
- f (T )
(X → 0) .
( 3)
此处 f (T ) 表示相同 T 值的子集的分形维数 . 由于 T ∈ [T m in , T max ] , 故 f (T ) 通常为光滑的单峰函数 , 称为
式中: q 为权重因子 , q> 1 时 , 大的 P i (X )对i q (X ) 的贡献占优势 ; 当 qp - 1 时 , 小的 P i (X )对i q (X )的 贡献占优势 , 因此 i q (X ) 给出了概率测度 P i (X ) 的另一种分布形式 . 在无标度区域内 i q (X ) 存在标度关系
2 仿真与试验
为了验证多重分形谱改进算法的有效性 , 下面给出了仿真和应用算例 . 2. 1 仿真
N
w ei erst ass 函数 z ( t ) =
∑λ
k= 1
( s - 2) k
si n(λt ) 是具有典型分形特征的函数
k
[9 ]
, 其分形维数为 s , 取 λ = 1. 5,
N = 100, 采样长度 t= 6. 553 65, 采样间隔 Δt= 0. 006 4, 采 1 024 点 , 分别绘制 s= 1. 1 ～ 1. 8 时函数曲 线如图 1 所示 . 取迭代阶数 Δq= 0. 01, q 取值范围 0 ～ 20, 分别计算在不同 q 下的 f (T )和 T 值 , 绘制 q ～ T 和 q ～ f (T ) 关系曲线 , 得到 w ei ersta ss 函数多重分形谱如图 2 所示 .
f (q ) = T ( q) =
∑ P (X ) , ln ∑ P (X ) ,
i m in q i min q
( 7) ( 8) , ( 9) ( 10)
lnX min
q
∑
m in ) ] ln [P i (X min ) ] } { [Pi (X q [l n(X m in ) ] min ) ] ∑ [P i (X
Abstract : A new m ethod based o n multi fractal spect rum is develo ped to describe th e com plexi ty of vibrati on sig nal. A brief presenta tio n about the i mprov ed alg orith m of multi f racta l spect rum is first ly conducted, and then i t s ev olutio n rule i s studied th ro ugh t he ex perim ent a nd sim ula ti on. The resul t show s that t he im prov ed m ul tif ract al spectrum ref lects the cha ract er of vibratio n sig nal w hi ch can be used t o recog nize the vibratio n sig nal. Key words: vi bra tion sig nal; f ractal theory; m ul tif ract al spectrum; i mproved algo ri thm
从表 1 的计算结果看出 , 随着分形维数的增大 , T m in值越来越小 , 表明曲线奇异性和复杂程度增加 ; 同时 Δ f 值越来越大 , 表明曲线变得越来越尖锐 , 波动幅度变大 . 分析结果是与图 1 w eierstass 函数曲线 相符的 , 因此 , 仿真结果表明改进后的多重分形谱可以有效地刻画信号的特征 . 2. 2 试验 本文通过试验提取齿轮箱在齿轮磨合过程中的振动信号 , 用多重分形谱改进算法进行分析 . 2. 2. 1 试验方法 在如图 3 所示的自制试验台上进行齿轮故障分析试验 . 齿轮箱内为双级斜齿轮减速机构 , 输入轴由 电动机驱动 , 输出带制动载荷 . 试验齿轮的齿数比 为 16 / 70, 模数 m = 6, 中心距为 120 m m, 试验齿 # 轮材料 为 45 钢 . 试验过程中 使输入转 速固定在 1 755 r /min , 齿轮 磨合 120 mi n 后 , 齿轮磨 合结 束 , 进入正常磨损期 . 在齿轮箱体垂直 、 水平和轴 向方向安装 621B40 型 IC P加速度传感器测取变速 箱的振动信号 , 用 AN D AD-3642 信号采集仪进行 信 号 采 集 , 采 样 频 率 12. 8 k Hz, 采 样 点 数 8 192 点 . 提取齿轮磨合过程中水平方向齿轮箱的 振动信号 , 其时域波形如图 4 所示 . 2. 2. 2 振动信号多重分形分析
2006年 第 20 卷 第 6 期 ( 总第 60期 )
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V ol. 20 N o. 6 2006 ( Sum N o. 60)
文章编号 : 1671-7449( 2006) 06-054306
振动信号多重分形分析改进算法
图 1 w ei ers tass 函数曲线 The curv e of w eiers trass f uncti on Fig. 1
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2006 年第 6 期
图 2 w ei ers tass 函数多重分形谱 Th e mul tif ractal spect rum of w ei ers t rass f uncti on Fig. 2
544 新的方法 .
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2006 年第 6 期
1 多重分形谱计算方法
多重分形也称作多标度分形 , 是 Ma ndelbro t 在 1972 年研究湍流时首先提出的 , 多重分形是定义在 分形结构上的由多个标度指数的分形测度组成的无限集合 . 多重分形主要研究物理量或其它量在几何支 撑上的分布 , 这种分布常常显示出奇异性 (即不规则性 ) , 因此 , 多重分形是为研究物理量或其它量的奇 异性分布而引入的 . 1. 1 多重分形谱的计算方法 多重分形谱的计算首先统计物理量在相应分形结构上的概率测度分布 . 本文用盒计数法进行概率测 度的统计与计算 . 将振动信号沿时间轴划分为许多尺寸为 X (X c 1) 的一维小盒子 , Si (X ) 为盒子尺寸 X 时第 i 个小盒子 内所有振动信号的幅值之和 , 全部振动信号幅值之和为 Pi (X )=
f (T )= q T ( q) - f ( q) .
从式 ( 7)～ 式 ( 10) 可以看出 , q 的取值范围是问题的关 键所在 . 通 过大量的计算表明 , q 取负值时 , , f (T )都没有明显的变化规律 , 而 q 取正值时 , T , f (T ) 都显示出明显的变化规律 . T
李国宾 , 关德林
(大连海事大学 轮机工程学院 , 辽宁 大连 116026) 摘 要 : 针对振动信号的变化特点 , 提出一种用多重分 形谱描述振动信号 复杂性的新方法 . 给出了振动信 号多重分形谱的改进 算法 , 并对振动信号多重分形谱的变化规律进行了仿 真和试验研究 . 结果表明 : 改进后 的多重分形谱反映了 振动信号的特征 , 能够对振动信号进行识别 . 关键词 : 振动信号 ; 分形理 论 ; 多重分形谱 ; 改进算法 中图分类号 : TN 911. 6 文献 标识码 : A
f (q ) i q (X )∝X ,
( 5)
式中: f ( q ) 为质量指数 . 作为描述同一物理对象的 3 个标度指数 T , f (T )和f ( q ) , 它们之间有内在的联系 , 这就是统计物理 中的勒让德变换 T ( q) = d f ( q) dq . ( 6)
f (T )= q T ( q) - f ( q) 利用这种关系 , 通过程序测定并计算概率测度 、 配分函数和质量指数 , 便可得到分形结构的多重分 形谱 f (T ) [5, 6 ] . 多重分形谱 f (T ij ) 可以反映被考察的物理量在分形结构上不均匀分布的性质 , 给出比简单分维更丰 富的结构信息 . 例如大的 T ij 反映的是小概率测度区域的性质 , T i j越小 , 概率测度分布越不均匀 , 信号的奇 异性程度越大 . Δ f = f max - f min的大小反映了信号的形状 , Δ f 越大 , 信号越尖锐 . 因此 f (T i j ) 的物理意 义是对分形结构上的复杂程度、 不规则程度以及不均匀程度的一种度量 [ 7, 8] .
从图 2 可以看出 , 随着 q 值的增加 , f (T ) 和 T都在下降 , 且分形维数不同 , 它们下降的幅度和速度
min值如表 1. 也不尽相同 , 分形维数越大 , f (T )和T 值下降越大 . 计算得 Δ f 和 T
表 1 w eierst as s 函数曲线多重分形谱 Δ f 和 T 计算值 mi n Tab. 1 Th e calculati on value of Δ f and T mi n abou t th e w eiers trass f unction curv es s 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 T mi n - 0. 169 4 - 0. 172 1 - 0. 175 2 - 0. 178 0 Δf 0. 557 9 0. 575 1 0. 592 6 0. 608 2 s 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 T min - 0. 180 5 - 0. 184 1 - 0. 192 5 - 0. 212 4 Δf 0. 620 1 0. 637 7 0. 708 3 0. 877 5
0 引 言
分形理论是近年来非线性科学研究中非常重要的方面 , 它在揭示复杂系统所表现出来的非平稳性、 不连续性等特性方面具有独特之处 . 分形通过研究系统吸引子的结构及其变化来研究系统的稳定性 , 系 统正常工作时其吸引子的结构是稳定的 , 当系统偏离正常工作状态时其吸引子的结构就会变化 . 研究发 现振动信号具有分形特征 , 应用非线性方法可以较好地提取振动信号的特征 . 许多研究者运用单重分形 从整体上成功地刻画了信号的不规则性 , 但单重分形只能反映信号的整体特征 , 缺乏对局部奇异性的刻 画 . 多重分形不但能从整体上反映信号的不规则性 , 而且能精细地刻画信号的局部行为 . 但是多重分形 谱计算复杂 , 只有少数比较特殊的集合才有解析解 , 这一问题严重制约了多重分形理论的实际应用
The Improved Multif ractal Analysis Algorithm f or Vibration Signal
LI Guobin, GUAN Delin
( Co lleg e of M a rine Engineering , Da lia n M a ritime Univ ersity, Dalian 116026, China)
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.
本文基于多重分形理论 , 提出了多重分形谱的改进算法 , 利用改进后的多重分形谱提取振动信号的特 征 . 分析表明 , 多重分形谱的改进算法简单、 可靠 , 可以提取信号的特征 , 为振动信号的识别提供了一种
收稿日期 : 2005-12-12 基金项目 : 博士点基金资助项目 ( 20020151007) 作者简介 : 李国宾 ( 1970- ) , 博士生 , 主要从事机械设备故障诊断与预测等方面研究 .
( 2)
指数 T 称为奇异指数 , 它是反映分形体上在各个尺寸 X 下 , 物理量分布概率随变化的各个子集的性质 , T 愈大 , 子集的概率愈大 . 在分形曲线上 T是有限的 , 即 T ∈ [T min , T m ax ] . 若具有相同 T 标识的盒子数为 N (X ) , N (X ) 在无标度区域内与 X 也存在着标度关系 N (X )∝X 多重分形谱 . 对 Pi (X ) 用 q 次方进行加权求和 , 定义配分函数 i q (X ) 如式 ( 4) i q (X ) ≡ ∑ Pi (X )q , ( 4)
( 总第 60 期 )
振动信号多重分形分析改进算法 ( 李国宾等 )
545
1. 2 多重分形谱的改进算法 上述分析表明 , 多重分形谱计算复杂 , 只有少数比较特殊的集合才有解析解 , 对一般的集合通常无 法获得解析解 , 只能用数值计算的方法间接进行估计 . 根据分形理论可知 , 计算维数是随 X 减小而有界 的值 , 在计算多重分形谱时 , 使 X 保持不变 , 且取其极小值 , 改变 q 计算多重分形谱 , 可以得到满意的效 果 . 在实际应用中 , 常取 X min为信号的采样间隔 Δ t. 改进后多重分形谱的计算式为
i
∑ S (X ) , 则概率测度为 S (X ) /∑ S (X ).
i i
( 1)
由此可获得振动信号在所讨论的分形结构上的一种概率测度的分布 . 在 无标度区域内 , 概率测度 Pi (X ) 组成的集可划分成一系列子集 , 即按 Pi (X ) 的大小划分为满足 式 ( 2)的幂函数子集
T Pi (X )∝X ,
- f (T )
(X → 0) .
( 3)
此处 f (T ) 表示相同 T 值的子集的分形维数 . 由于 T ∈ [T m in , T max ] , 故 f (T ) 通常为光滑的单峰函数 , 称为
式中: q 为权重因子 , q> 1 时 , 大的 P i (X )对i q (X ) 的贡献占优势 ; 当 qp - 1 时 , 小的 P i (X )对i q (X )的 贡献占优势 , 因此 i q (X ) 给出了概率测度 P i (X ) 的另一种分布形式 . 在无标度区域内 i q (X ) 存在标度关系
2 仿真与试验
为了验证多重分形谱改进算法的有效性 , 下面给出了仿真和应用算例 . 2. 1 仿真
N
w ei erst ass 函数 z ( t ) =
∑λ
k= 1
( s - 2) k
si n(λt ) 是具有典型分形特征的函数
k
[9 ]
, 其分形维数为 s , 取 λ = 1. 5,
N = 100, 采样长度 t= 6. 553 65, 采样间隔 Δt= 0. 006 4, 采 1 024 点 , 分别绘制 s= 1. 1 ～ 1. 8 时函数曲 线如图 1 所示 . 取迭代阶数 Δq= 0. 01, q 取值范围 0 ～ 20, 分别计算在不同 q 下的 f (T )和 T 值 , 绘制 q ～ T 和 q ～ f (T ) 关系曲线 , 得到 w ei ersta ss 函数多重分形谱如图 2 所示 .