高等代数第3章线性方程组

，
⎪⎩t1n−1k1 + t2n−1k2 + L + trn−1kr = 0
1）当 r = n 时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即
1 1L1
t1 t2 L tn
∏ t12 t22 L tn2 = (t j − ti ) ≠ 0 ，
M
MOM
i< j
t n−1
1
t n−1 2
5.设 t1, t2 ,L, tr 是互不相同的数， r ≤ n .证明：
αi = (1,ti ,L, tin−1)(i = 1, 2,L, r) 是线性无关的。
证 设有线性关系 k1α1 + k2α2 + L + krαr = 0 ，则
⎧k1 + k2 + L + kr = 0
⎪⎪⎨⎪Lt1kL1 +Lt2kL2 +LLL+LtrLkr L= L0
⎢⎢3 −2
2
−3
2
⎥ ⎥
→
⎢⎢7
0
0
−1
4
⎥ ⎥
⎢5 1 −1 2 −1⎥ ⎢3 0 0 1 −2⎥
⎣⎢2 −1
1
−3
4
⎥ ⎦
⎣⎢4 0
0
−2
5
⎥ ⎦
⎡ 2 1 −1 1 1 ⎤ ⎡ 2 1 −1 1 1 ⎤
⎢ →⎢
7
0
0
−1
4
⎥ ⎥
→
⎢ ⎢
7
0
0
−1
4
⎥ ⎥
⎢ 10 0 0 0 2 ⎥ ⎢10 0 0 0 2 ⎥
4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
⎡3 4 −5 7 ⎤ ⎡1 7 −8 9 ⎤
⎢⎢2 ⎢4
−3 11
3 −13
−2⎥⎥ 16 ⎥
→
⎢⎢2 ⎢4
−3 11
3 −13
−2⎥⎥ 16 ⎥
⎣⎢7 −2 1
3
⎥ ⎦
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⎣⎢7 −2
1
3
⎥ ⎦
⎧x1 = −8
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 x3
= =
3 6
。
⎪⎩x4 = 0
即原方程组的同解方程组为
解之得
⎧5x2 + 7x3 = 2
⎪⎪⎨− ⎪
6 5
x3
+
x4
=
−
1 5
，
⎪⎩−x1 + x3 = 0
其中 k 是任意常数。
⎧x1 = k
⎪
⎪ ⎪
x2
=
2 5
−
7 5
k
⎨ ⎪
x3
=
k
，
⎪ ⎪⎩ x4
=
−
1 5
+
6 5
k
2.把向量 β 表成α1,α2 ,α3,α4 的线性组合.。
⎣⎢−10 0 0
0 −3⎥⎦
⎢ ⎣
0
0
0
0 −1⎥⎦
因为
rank( A) = 4 ≠ rank( A) = 3 ，
所以原方程组无解。 6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
⎡1 2 3 1 1⎤ ⎡3 5 4 0 2⎤ ⎢⎢3 2 1 −1 1⎥⎥ ⎢⎢2 5 2 0 2⎥⎥ ⎢2 3 1 1 1⎥ → ⎢2 3 1 1 1⎥ ⎢⎢2 2 2 −1 1⎥⎥ ⎢⎢4 5 3 0 2⎥⎥ ⎢⎣5 5 2 0 2⎥⎦ ⎢⎣5 5 2 0 2⎥⎦
8⎥
3
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 33 −25 29 7⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 −1⎥⎦
因为
rank( A) = 4 > rank( A) = 3，
所以原方程无解。 3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
⎡1 −2 3 −4 4 ⎤ ⎡1 −2 3 −4 4 ⎤ ⎢⎢0 1 −1 1 −3⎥⎥ → ⎢⎢0 1 −1 1 −3⎥⎥ ⎢1 3 0 1 1 ⎥ ⎢0 5 −3 5 −3⎥ ⎣⎢0 −7 3 1 −3⎦⎥ ⎣⎢0 −7 3 1 −3⎥⎦
再由题设知α1,α2 ,α3 线性无关，所以
⎧⎪⎨kk11
+ +
k3 k2
= =
0 0
，
⎪⎩k2 + k3 = 0
解得 k1 = k2 = k3 = 0 ，所以α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1 线性无关。
7.已知α1,α2 ,L,αs 的秩为 r ，证明：α1,α2 ,L,αs 中任意 r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.
L
t n−1 n
所以方程组有惟一的零解，这就是说α1,α2 ,L,αr 线性无关。 2）当 r < n 时，令
⎧⎪⎪⎨⎪Lββ12L== L((11,,Ltt12,,Ltt1222,L,LLL,,tt1rL2r−−11)) ⎪⎩βr = (1, tr , tr2 ,L, trr−1)
则由上面 1)的证明可知 β1, β2 ,L, βr 是线性无关的。而α1,α2 ,L,αr 是 β1, β2 ,L, βr 延长的向量，所以α1,α2 ,L,αr 也线性
证 设αi1,αi2 ,L,αir 是α1,α2 ,L,αs 中任意 r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量α j ( j = 1, 2,L, s) 都可由
αi1,αi2 ,L,αir 线性表出就可以了。
事实上，向量组αi1,αi2 ,L,αir ,α j 是线性相关的，否则原向量组的秩大于 r ，矛盾.这说明α j 可由αi1,αi2 ,L,αir 线性表
⎧2x1 + x2 − x3 + x4 = 1
5)
⎪⎪⎨⎪35xx11
− +
2x2 + 2x3 − 3x4 x2 − x3 + 2x4 =
=2 −1
⎪⎩2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4
⎧x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 1
6)
⎪⎪⎪⎨32xx11
+ 2x2 + 3x2
+ +
x3 x3
−2
，
⎩⎪−x2 + x4 = 0
⎧x1 = 1+ k
⎪ ⎪⎪ ⎨
x2 x3
= =
k 0
⎪ ⎪
x4
=
k
⎩⎪x5 = −2 − 2k
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
⎡1 2 0 −3 2 1 ⎤ ⎡1 2 0 −3 2 1 ⎤
⎢⎢1 −1 −3
1
−3
2
⎥ ⎥
→
⎢⎢0
−3
−3
4
−5
1
⎥ ⎥
⎢2 −3 4 −5 2 7 ⎥ ⎢0 −7 4 1 −2 5 ⎥
1) β = (1, 2,1,1) α1 = (1,1,1,1),α2 = (1,1, −1, −1) α3 = (1, −1,1, −1),α4 = (1, −1, −1,1)
2) β = (0, 0, 0,1) α1 = (1,1, 0,1),α2 = (2,1,3,1) α3 = (1,1, 0, 0),α4 = (0,1, −1, −1)
第三章 线性方程组
1． 用消元法解下列线性方程组：
⎧x1 + 3x2 + 5x3 − 4x4 = 1
1)
⎪ ⎪⎪ ⎨
x1 x1
+ −
3x2 2 x2
+ +
2x3 − 2 x3 − x4
x4 −
+ x5
x5 =
= 3
−1
⎪ ⎪
x1
−
4 x2
+
x3
+
x4
−
x5
=
3
⎪⎩x1 + 2x2 + x3 − x4 + x5 = −1
∑ β
=
r
−
i =1
ki α kr +1
i
，
即向量 β 可由α1,α2 ,L,αr 线性表出。
4.αi = (αi1,αi2 ,L,αin )(i = 1, 2,L, n) ，证明：如果 αij ≠ 0 ，那么α1,α2 ,L,αn 线性无关。
证 设有线性关系 k1α1 + k2α2 + L + knαn = 0 ，
⎢⎢1 −4 1
1
−1
3
⎥ ⎥
⎢⎢0 −7 −4
5
−1
2
⎥ ⎥
⎢⎣1 2 1 −1 1 −1⎥⎦ ⎢⎣0 −1 −4 8 1 −2⎥⎦
⎡1 0 2 −1 0 1 ⎤ ⎡1 0 0 −1 0 1 ⎤
⎢⎢0 0 −3 2 1 −2⎥⎥ ⎢⎢0 0 0 2 1 −2⎥⎥
→ ⎢0 0 −2 0 0 0 ⎥ → ⎢0 0 −2 0 0 0 ⎥
代入分量，可得方程组
⎧α11k1 + α21k2 + L + αn1kn = 0 ⎪⎪⎨⎪Lα12Lk1L+ αL22Lk2L+LLL+ αLn2LknL= 0 ， ⎪⎩α1nk1 + α2nk2 + L + αnnkn = 0 由于 αij ≠ 0 ，故齐次线性方程组只有零解，从而α1,α2 ,L,αn 线性无关。
=
5 4
,
k2
=
1 4
,
k3
=
−
1 4
,
k4
=
−
1 4
，
β
=
5 4
α1
+
1 4
α
2
−
1 4
α3
−
1 4
α
4
。
β = α1 −α3 。
3.证明：如果向量组α1,α2 ,L,αr 线性无关，而α1,α2 ,L,αr , β 线性相关，则向量可由α1,α2 ,L,αr 线性表出.
证 由题设，可以找到不全为零的数 k1, k2 ,L, kr+1 使
⎡1 0 1 −2 −2 ⎤ ⎡1 0 0 0 −8⎤
→ ⎢⎢0 1 −1 1
−3
⎥ ⎥
→
⎢⎢0
1
0
0
3
⎥ ⎥
，
⎢0 0 2 0 12 ⎥ ⎢0 0 2 0 12 ⎥
⎢⎣0 0 −4 8 −24⎥⎦
⎢⎣0 0 0 8
0
⎥ ⎦
因为
rank( A) = rank( A) = 4 ，
所以方程组有惟一解，且其解为
无关。
6.设α1,α2 ,α3 线性无关，证明α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1 也线性无关。
证 设由线性关系 k1(α1 + α2 ) + k2 (α2 + α3 ) + k3 (α3 + α1) = 0 ，则
(k1 + k3 )α1 + (k1 + k2 )α2 + (k2 + k3 )α3 = 0 。
⎢⎢0 0
0
0
0
0
⎥ ⎥
⎢⎢0 0
0
0
0
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 −1 −1 1 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 −1 0 0 0 0 ⎥⎦
因为
rank( A) = rank(B) = 4 < 5 ，
所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 解得
其中 k 为任意常数。
⎧x1 − x4 = 1
⎪⎨⎪⎪−22x1x+3
x5 = =0
− +
x4 x4
=1 =1
⎪⎪2x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 1
⎪⎩5x1 + 5x2 + 2x3 = 2
解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有
⎡1 3 5 −4 0 1 ⎤ ⎡1 3 5 −4 0 1 ⎤
⎢⎢1 3 2 −2 1 −1⎥⎥ ⎢⎢0 0 −3 2 1 −2⎥⎥
⎢1 −2 1 −1 −1 3 ⎥ → ⎢0 −5 −4 3 −1 2 ⎥
⎡−2 0 2 0 0 ⎤ ⎡ 0 0 0 0 0 ⎤
⎢ ⎢
5
5
20
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
5
7
0
2
⎥ ⎥
→
⎢ ⎢
−1
⎢
0
−1 5
1
−
1⎥
5
⎥ ⎥
→
⎢ ⎢ ⎢
0
0 −6 5
1
−
1 5
⎥ ⎥ ⎥
，
⎢−1 0 1 0 0 ⎥ ⎢−1 0 1 0 0 ⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 0 ⎥⎦
解 1）设有线性关系
代入所给向量，可得线性方程组
解之，得 因此
2）同理可得
β = k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4
⎧k1 + k2 + k3 + k4 = 1
⎪⎪⎪⎨kk11
+ −
k2 k2
− +
k3 k3
− −
k4 k4
=2 =1
，
⎪⎩k1 − k2 − k3 + k4 = 1
k1
+ 9x4 = 0 − 20x4 = 0
，
由此可解得
⎧ ⎪
x1
⎪
=
3 17
k1
−
13 17
k2
⎪ ⎨
x2
⎪
=
19 17
k1
−
20 17
k2
，
⎪x3 = k1
⎪⎩x4 = k2
其中 k1, k2 是任意常数。
5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
⎡2 1 −1 1 1 ⎤ ⎡2 1 −1 1 1 ⎤
x3 + x4 3x2 + +
= x4
−3 =1
⎪⎩−7x2 + 3x3 + x4 = −3
⎧3x1 + 4x2 − 5x3 + 7x4 = 0
4)
⎪⎪2 ⎨⎪4
x1 x1
− +
3x2 + 3x3 − 11x2 −13x3
2x4 = 0 +16x4 =
0
⎪⎩7x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = −0
k1α1 + k2α2 + L + krαr + kr+1β = 0 ，
显然 kr+1 ≠ 0 .事实上，若 kr+1 = 0 ，而 k1, k2 ,L, kr 不全为零，使
k1α1 + k2α2 + L + krαr = 0
成立，这与α1,α2 ,L,αr 线性无关的假设矛盾，即证 kr+1 ≠ 0 .故
⎧x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 = 1
2) ⎪⎪⎨⎪2x1x1−−x23x−23+x34+x3x−4
− 3x5 5x4 +
=2 2 x5
=
7
⎪⎩9x1 − 9x2 + 6x3 −16x4 + 2x5 = 25
⎧x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4
3)
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 x1
− +
⎡1 7 −8 9 ⎤ ⎡1 7 −8 9 ⎤
→ ⎢⎢0 −17 19 −20⎥⎥ → ⎢⎢0 −17 19 −20⎥⎥ ， ⎢0 17 −19 20 ⎥ ⎢0 0 0 0 ⎥
⎣⎢0 −34 38 −40⎦⎥ ⎣⎢0 0
0
0
⎥ ⎦
即原方程组德同解方程组为
⎧⎨⎩−x11+7
7 x2 x2 +
− 8x3 19x3
⎣⎢9 −9 6 16 2 25⎥⎦ ⎢⎣0 −27 6 11 −16 16⎥⎦
⎡1 2 0 −3 2 1 ⎤ ⎡1 2 0 −3 2 1 ⎤
⎢⎢0 −3 −3
4
−5
1
⎥ ⎥
⎢⎢0 −3 −3
4
−5
1
⎥ ⎥
→⎢ ⎢0 ⎢
0
11 − 25 3
29 3
8 3
⎥ ⎥ ⎥
→
⎢ ⎢0 ⎢
0
11 − 25 3
29 3