自考线性代数重点总结
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壱
第一章 行列式
一．行列式的定义和性质
1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义
例1行列式
111101111011
1
1
------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
测试点 余子式和代数余子式的概念
解析
111101111011
1
1
------,21
21211
11111(1)
1
0101
211
10
1
A M +--=-=--=--=--- 答案 B
2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1
1
,1,2,
;(,1,2,
)n
n
ij
ij ij ij
ij ij n
n
i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑
2）11 ; 00
n
n ij ik ij kj i j k j k i A A
a A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 .
测试点 行列式按行(列)展开的定理
解 212223
212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-
34310=---=-
例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = . 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.
解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+= 所以1x =-
3．行列式的性质
弐
1）.T
A A =
2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.
6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.
例4 已知11
121321
222331
32
33
3a a a a a a a a a =，那么111213
21
222331
32
33
222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-
D. 12
测试点 行列式的性质
解析 11
1213111213
21
222321
222331
32
33
31
32
33
2222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则2
22
111c b a c b a
++=（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
测试点 行列式的性质 解
1
111
11
1
2222222
3a b c a
b a
c a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D
二．行列式的计算
1．二阶行列式和三角形行列式的计算.
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式
参
测试点 行列式的计算
解
1114
1114
0231131002302103(3)61211010310
003
1111
0003
--=
=-=-=---
例7计算3阶行列式 .7
673679492493
23123
解 (1)(1)(2)
(2)(1)(3)
123233
100
233
100203249
4992004992004090.367677
300677
300607
+-+-==
= 例8 计算行列式：
x a a a
a x a a a a
x a a a a
x
测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
解 333000300030
x a a a
x a a a a x a a a a a x a a x a
x a a x a D a a
x a x a a
x a x a a a a x
x a a a
x
x a
+++-=
==
=+-+-
3(3)().x a x a =+-
例9计算行列式00
00
0000 00000
0n a b a b
a D a
b b a
=
测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算