与外离两圆相切的圆

与外离两圆都相切的圆

新人教版九年级上册第103面第17题：

如图，已知⊙O１、⊙O２，作一个圆，使它与这两个圆都相切，你能作出多少个这样的圆？

学生一般都能说出所作的圆有无数个圆，因为具体画图能发现有无数个。但具体分类去考虑，学生又不容易准确分类，而且所作圆的圆心分布也找不出规律，有的老师也对圆心的分布规律感到很棘手。怎么样分类呢？所作圆的圆心分布是否有规律呢？笔者认真总结了一下，思路如下：

设所作圆的圆心为O，半径为R，⊙O１的半径为r1,⊙O２的半径为r2，（r1>r2）（1）、如果⊙O与⊙O１、⊙O２都外切。则OO１=R+r1，OO２=R-r2，OO１—OO２=r1—r2，点O到两个定点O１，O２的距离差是一个定值r1—r2。平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数的点的轨迹是双曲线。此时圆心O的轨迹是双曲线的一个分支（右分支），说明所作的⊙O有无数个（如下左图）。

（2）、如果⊙O与⊙O１、⊙O２内切，则OO１=R—r1，OO２=R-r2，OO１—OO２=r2—r1，点O到两个定点O１，O２的距离差是一个定值r2—r1，此时圆心O的轨迹是双曲线的一个分支（左分支），说明所作的⊙O有无数个（如上右图）。

平面内与两定点的距离之差的绝对值是常数的点的轨迹叫双曲线。（1）、（2）中所作圆的圆心的轨迹合起来就是双曲线，O１、O２是双曲线的两个焦点。

（3）、如果⊙O与⊙O１外切、⊙O与⊙O２内切，则OO１=R+r1，OO２=R-r2，OO１—OO２=r1+r2，点O到两个定点O１，O２的距离之差是一个定值r1+r2，此时圆心O的轨迹是双曲线的一个分支（右分支），说明所作的⊙O有无数个（如下左图）。

（4）、如果⊙O与⊙O１内切、⊙O与⊙O２外切，则OO１=R—r1，OO２=R-r2，OO２—OO１=r1+r2，点O到两个定点O１，O２的距离之差是一个定值r1+r2，此时圆心O的轨迹也是双曲线的一个分支（左分支），说明所作的⊙O有无数个（如上右图）。

平面内与两定点的距离之差的绝对值是常数的点的轨迹叫双曲线。（3）、（4）中所作圆的圆心的轨迹合起来就是双曲线，O１、O２是双曲线的两个焦点。

综上所述，与外离两圆（两圆半径不等）都相切的圆有无数个。