仿真_4_离散化处理方法

利用前向欧拉法的矩阵形式
x1 x 2 x 2 2 x1 3 x 2 u y x1
x1( n 1) x1( n) hf 1 x1( n) hx 2 ( n) x 2 ( n 1) x2 ( n) hf 2 x2 ( n) h[ 2 x1( n) 3 x2 ( n) u( n)] y( n 1) x1( n 1)
2 yn 1 2 yn T (un 1 un )
y n 1 y n T ( un 1 un ) 2
可见，双线性替换法与数值积分法中的梯形法等效。
例：二阶连续系统
G( s )
Y ( s) U ( s)
s
1
2
3s 2
用双线性替换法建立差分方程。 解： 双线性替换： s
时域：状态空间表达式
传递函数离散相似处理得离 散传递函数（Z域离散化法） 状态空间表达式离散相似 处理得离散状态空间表达式 （时域离散化法）
相应离散相似法 也有两种形式：
4.2.2 一、基本方法 连续系统模型
u(t) G(S) y(t)
u(t )
Z域离散相似法 离散化模型
u (t )

~ u( t )
由(3)得：y(n 2) x1( n 2) x1(n 1 hx 2 ( n 1 (4) ) )
(2)得hx 2 (n 1 hx 2 ( n) h[2hx1(n) 3hx 2 (n) hu(n)](5) )
由(1 得 : hx 2 (n) x1( n 1) x1(n) ) ，代入(5)式得
离散化过程中，输入输出加以Ｔ为采样周期的采样开关。 仅有采样开关，y* 不能完全体现 y(t) 的变化规律，还要在输入 采样开关后加保持器以使 u(t)不失真。
离散化模型的精度，取决于采样周期的大小以及保持器的精度
常用保持器有：零阶保持器、一阶保持器、三角保持器。
常用保持器的传递函数： 零阶保持 TS
y(n 2) (2 3h) x1(n 1 (1 3h 2h ) x1(n) h u(n) )
前面的简单替换结果得
2 2
Y (n 2) (2 3T )Y (n 1 (1 3T 2T )Y ( n) T U (n) )
2
2
4.1.2 双线性替换法
用此式代入Ｇ(S)就得到G(Z)，这就是双线性替 换法，又称Tustin变换。相当于数值积分法中的梯形 法，有较好的性能。
由于高阶线性系统总可以分解成几个积分环节的某些线性组
合，以下用一个积分环节来说明双线性替换法与梯形法是等效的。
积分环节 G( s ) y( s ) u( s ) 1 s
由幂级数展开式： e x 1 x
Z e
Ts
x
2

x
n

2! n! 2 n ( Ts ) ( Ts ) 1 Ts 2! n!
取近似式： Z eTs 1 Ts 或：
s Z 1 T
用此式代入Ｇ(S)就得到G(Z)，这就是简 单替换法，又称Euler法。
５、根据差分方程编制仿真程序。
二、典型环节离散相似模型 １、积分环节
G( S ) 1 s
１）选用零阶保持器
离散化传递函数
Gh ( S )
1 e S
TS
G( Z ) Gh( S )G( S )
1 e TS 2 S
(1 Z
1
1 ) 2 S
采用Ｚ域离散相似法对连续系统进行离散化处理的步骤：
１、画出连续系统的结构图； ２、适当的位置加入采样开关，选择合适的保持器;
３、将保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通过 Ｚ变换求得系统的脉冲传递函数；
G( Z ) Y (Z ) U(Z ) Gh( S )G( S )
４、通过Ｚ反变换求得差分方程；
第四章 连续系统模型的离散化处理方法
主讲教师：姜萍
第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高, 但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的 实时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算 法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算 方法。 本章介绍对连续系统模型进行离散化处理， 得到一个“等效”的结构比较简单的离散化模型， 便于计算机求解，运行速度较快，又称为“快速 计算方法”。 连续系统模型的离散化方法主要有替换法和 离散相似法。
主要内容
４.1 替换法 4.2 离散相似法
4.３根匹配法
简单替换法 双线性替换法
Z域离散相似法
时域离散相似法
４.1
替换法
传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连 续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传 递函数Ｇ(Z)。
替换法的基本思想： 对给定的连续系统模型G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的 某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到 与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数Ｇ(Z)。 然后，再由Ｇ(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模 型——差分方程，从而快速求解。
hx 2 ( n 1) x1( n 1) x1( n) h[ 2hx1( n) 3( x1( n 1) x1( n)) hu( n)] (1 3h) x1( n 1) (1 3h 2h ) x1( n) h u( n)
2 2
再代入( 4)式得
2 2
是多步法还是单步法 为何简单替换法又称Euler法？
2、欧拉法
G( s ) Y ( s) U ( s)
先将传递函数化成一阶微分方程组
1 s
2
3s 2
3 y 2 y u y 3 y 2 y u y
x1 y，x2 y
器
一阶保持器 三角保持器
e
TS
1 e S
1 e T (1 TS ) TS
TS 2
TS

2
1 e T S
是理想保持器，物理上不可实现。
TS 2
实际中用滞后一拍的三角保持器 (1 e
)
2
TS
由于连续系统常 用两种形式描述：
频域：传递函数

T (z ( 4 6T 2T )z
2
2 2
2z 1)
2
( 4T
8)z (2T
2
2
6T 4)
2

Y (z) U(z)
( 4 6T 2T )z Y ( z ) ( 4T
2 2
2
8)zY ( z ) (2T
6T 4)Y ( z )
T [ z U ( z ) 2 zU ( z ) U ( z )]
Z Z 1
Z Z e
z 1 k z a
k z 1 1 a T a z e
a T k 1 e y( z ) a z e a T u( z )
差分方程：
y( n 1) e
a T
y( n)
k a
(1 e
a T
)u( n)
微分方程
y u(t )
用梯形公式： 用双线性替换： 进行Z反变换：
y n 1 y n
h 2
( un un 1 )
1 T ( z 1) y( z ) 2( z 1) G( z ) s 2( z 1) 2( z 1) u( z ) T ( z 1) T ( z 1)
(1 z
1)
1 k s sa
Z变换表 F(s) F(z)
1 S
1 Sa
k /a k / a z 1 k 1 1 sa s z a s s a z z z 1 a T ze
例：二阶连续系统
G( s )
Y ( s) U ( s)
s
1
2
3s 2
分别用简单替换法和欧拉法建立差分方程。
解： 1、简单替换法
G( z ) ( z 1) T
2
2
s

Z 1 T
代入G(s)
T
2 2
1
2
3
( z 1) T
2
z
2
(3T 2)z 1 3T 2T
G(S) Ｇ(Z) 差分方程
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的 映射关系是： 1 Ts 或 s ln Z Z e T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
Y (Z ) U(Z )
Ｚ反变换得差分方程：

Z 1 Z

TZ
Z 1
2

T Z 1
y(n 1) y( n) Tu(n)
同数值积分法的前向Eular相当
f u
积分环节的微分方程： y u
yn 1 yn hun
２）选用一阶保持器 离散化传递函数
1 e Gh ( S ) T 1 TS TS
G( z ) 1 2 ( z 1)
2 2 2 2
2( z 1) T ( z 1)
代入G(s)
T ( z 1) 4( z 1)
2 2 2 2 2
T ( z 1)
3
2( z 1) T ( z 1)
2 2
2
6T ( z 1)( z 1) 2T ( z 1)
为了与简单替换法比较，再化为仅有 y 的差分方程形式，消去 x 2
x1( n 1) x1( n) hf 1 x1( n) hx 2 ( n) （） 1 x2 ( n 1) x2 ( n) hf 2 x2 ( n) h[ 2 x1( n) 3 x2 ( n) u( n)] （2） （3） y( n 1) x1( n 1)
进行Z反变换得差分方程
( 4 6T 2T ) y( n 2) ( 4T
2 2 2
8) y( n) (2T
2
6T 4) y( n)
T [ u( n 2) 2u( n 1) u( n)]
4.2
4.2.1
离散相似法
离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型 的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给 u(t) u * y(t) u(t) y* 定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统 保持器 连续系统 连续系统 数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型， * y* 使之与连续系统等效。 u

Y (z) U (z)
z Y ( z ) (3T 2)zY ( z ) (1 3T 2T )Y ( z ) T U ( z )
2
2
进行Z反变换得差分方程
Y (n 2) (2 3T )Y (n 1 (1 3T 2T )Y ( n) T U (n) )
~( t ) y
Gh(S)
G(S)
~ * (t ) y
u(t)经采样后是离散信号 u (t ) ，加保持器Gh(S)后，将 ~ 离散信号 u (t ) 转化成连续信号 u ( t )，并作用于连续系统
G(S)上输出 ~( t ) 。 y 离散模型
G( Z ) Y (Z ) U(Z ) Gh( S )G( S )

例：连续系统为一惯性环节
G(s)
k sa
以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程
解： 零阶保持器
Gh ( s ) 1 e S
TS
G( Z ) Gh ( S )G( S )
1 e TS k s s a
z 1 z
aT
ze
TS
Ts
e
Ts
e
பைடு நூலகம்(
Ts 2
)
2

e e
Ts / 2
1
Ts

(Ts / 2)
2

(Ts / 2)
k

Ts / 2
2 2! k! 2 k Ts (Ts / 2) (Ts / 2) 1 2 2! k!
取近似式：
1 Z e
Ts
Ts 2 Ts 2
1
或：
s
2( Z 1) T ( Z 1)