高考数学一轮复习 38 向量的线性运算学案理

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高三数学一轮复习精品教案1：5.1 平面向量的概念与线性运算教学设计

5.1平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．『试一试』1.(2013·苏锡常镇二调)如下图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.『解析』法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ，AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.『答案』－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 『解析』|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 『答案』21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔ OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．『练一练』1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.『解析』∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12.『答案』－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.『解析』由题意知a ＋λb ＝k 『－(b －3a )』，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.『答案』－13考点一向量的有关概念1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．『解析』①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③. 『答案』②③.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 『答案』3『备课札记』『类题通法』平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．考点二向量的线性运算『典例』 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．『解析』由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.『答案』 12『备课札记』若条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.『解析』∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.『答案』23『类题通法』在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．『针对训练』若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．『解析』①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．『答案』2考点三共线向量定理的应用『典例』设两个非零向量a 与b 不共线， (1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．『解』 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.『备课札记』『类题通法』1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线．『针对训练』已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．『课堂练通考点』1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的有________个．『解析』①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．『答案』32.如下图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________.『解析』∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .『答案』14a ＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．『解析』因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ，即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5. 『答案』454.(2014·“江南十校”联考)如下图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．『解析』因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如下图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.『答案』335．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．『解析』由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 『答案』－14a ＋14b6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.『解析』由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.『答案』2。

备战高考数学复习知识点讲解课件38---平面向量的概念及线性运算

常用结论
→ 1 → →
1．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝ (OA＋OB)．
2
2．若 G 为△ABC 的重心，则有
→ → →
→ 1 → →
(1)GA＋GB＋GC＝0；(2)AG＝ (AB＋AC)．
3
→
→
→
3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
说法中正确的是(
)
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
√
2
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
√
5
C．－2a与2a是一对相反向量
√
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
解析： A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|.
B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－
→
→
→
→
BA＝b，BE＝3EF，则BF＝(
12
9
A. a＋ b
25
25
16
12
B. a＋ b
√
25
25
)
4
3
C. a＋ b
5
5
3
4
D. a＋ b
5
5
→ → → → 3→ → 3 → →
→ 3 3 → →
解析： BF＝BC＋CF＝BC＋ EA＝BC＋ (EB＋BA)＝BC＋－4BF＋BA，
2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以5a与－2a的方向相反，且－2a的模

是5a的模的 .

C正确，按照相反向量的定义可以判断．

高三一轮复习向量的概念与向量的线性运算

BE 1 , 则 AB 的长为 E 为 CD 的中点. 若 AC·
.
P 是函数 y （ x 0 ） 5. (2013· 江苏高考数学科· T13) 在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A( a, a ) ，
图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 6.(2013· 北京高考理科· T13)向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c a b (λ ,μ ∈R),
使用时间：2014-10-31 课题平面向量及其线性运算
主备人：王斌课型复习
考纲解读
重点难点
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．线性运算的应用线性运算的应用课前预习
6
1 x
人生因奋斗而精彩
使用时间：2014-10-31 则
主备人：王斌 .
=
课时提升作业 1.已知 a,b 是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是 ( A.a+b=0 B.a=b C.a 与 b 共线反向 ) + =0; )
D.存在正实数λ ,使 a=λ b
2.(2014·威海模拟)下列命题中是真命题的是 (
→ → → → → 1.在△ABC 中，AB＝c，AC＝b，若点 D 满足BD＝2DC，则AD等于( 2 1 A. b＋ c 3 3 2 1 C. b－ c 3 3 5 2 B. c－ b 3 3 1 2 D. b＋ c 3 3 )

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ；结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

届高三数学大一轮复习平面向量及其线性运算学案理新人教A版

学案25 平面向量及其线性运算导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝____________.(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．(7)相等向量：长度______且方向______的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b的，记作，即 =AB →+BC →= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 .(3)加法运算律a ＋b ＝________ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____________、____________的向量，叫做a 的相反向量，记作______． (2)向量的减法①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．②如图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝，DB →＝____________.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝______；②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律)③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的________；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的________．自我检测1.（2010·四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →＝16，|AB AC AB AC +-＝，|则|AM →|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．1 2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43.在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34b4.（2010·湖北）已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m ，成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.（2009·安徽）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.探究点一平面向量的有关概念辨析例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③|a |＝0⇒a ＝0；④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．探究点二向量的线性运算例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.探究点三共线向量问题例3 如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.变式迁移3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．1.若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．如图所示．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.（2）若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.EF →＝OF →＋OE → Ｂ.ＥF →＝OF →－OE → Ｃ.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2.设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是 ( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC →3．(2011·杭州模拟)设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ； ②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b . 其中正确的结论有 ( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④4.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于 ( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5.（2010·广东中山高三六校联考）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD→＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）A.2B.1 C ．－1 D ．－26.（2009·湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.7.已知1OP ＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.8. （2011·青岛模拟）O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？10.(12分)在△ABC 中，ADAE 11AB 3AC 4==，，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.11．(14分)(2011·黄山模拟)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．（1）求GA →＋GB →＋GO →；（2）若PQ 过△ABO 的重心G ，且，OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.答案自主梳理 1.（1）大小方向（2）有向线段（3）长度 |a |AB →|(4)任意的 (5)1个 ±a|a|(6)相同相反非零共线向量平行 (7)相等相同 2.(1)和 a ＋b a ＋b AC →三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b ＋a a ＋(b ＋c ) 3.(1)长度相等方向相反－a (2)①(－b ) 相反向量 ②a ＋b a －b 4.(1)λa ①|λ||a | ②相同相反 0 (2)①(λμ)a ②λa ＋μa ③λa ＋λb 5.(1)重心 (2)重心自我检测1.2．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.A [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝－14a ＋14b .]4．B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.] 5.43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.课堂活动区例1 D [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．所以应选D.]变式迁移1 ②③④解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③只有零向量的模才为0，故③正确； ④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．故应选②③④.例2 证明方法一如图所示，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0.①在四边形ABFE 中，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0.② ①＋②得 (EF →＋EF →)＋(FC →＋FB →)＋(CD →＋BA →)＋(DE →＋AE →)＝0. ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴FC →＋FB →＝0，DE →＋AE →＝0. ∴2EF →＝－CD →－BA →＝AB →＋DC →，即EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证．∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12（AB →＋AC →)．又AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12（AB →＋AD →＋DC →)＝12（AB →＋DC →)＋12AD →＝12（AB →＋DC →)＋AE → ∴EF →＝AF →－AE →＝12（AB →＋DC →)．即EF →＝12（AB →＋DC →)．变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →例3 解题导引 (1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．证明在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a.由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线．变式迁移3 （1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2 ＝4e 1＋e 2＝12-（－8e 1－2e 2) ＝12-CD →． ∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.课后练习区1．B [由减法的三角形法则知EF →＝OF →－OE →.]3．D [题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]5.6．1＋32 32解析作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，所以BF →＝32AB →⋅FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（12+）AB →＋32AC →.7.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .8．0解析由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →－12（AB →＋AC →)，即点P 为△ABC 中BC 边的中点，∴PB →＋PC →＝0. ∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·0＝0.9．解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，……………………………………………………………(4分)AB →＝OB →－OA →＝t b －a .……………………………………………………………………(6分)要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，……………………………………………………………………(8分)∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.……………………………………………………(11分)∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)10．解取AE 的三等分点M ，使|AM |＝13|AE |，连结DM .设|AM |＝t ，则|ME |＝2t .又|AE |＝14|AC |，∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ， |AD ||AB |＝|AM ||AE |＝13，…………………………………………………………………………(4分)∴DM ∥BE ，∴|PC ||DC |＝|PE ||DM |＝|EC ||MC |＝911.∴|DP |＝211|DC |.…………………………………………………………………………(8分)∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC → ＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b .……………………………………………………………(12分)11．(1)解 ∵点G 是△ABO 的重心， ∴GA →＋GB →＋GO →＝0.……………………………………………………………………(2分)(2)证明 ∵M 是AB 边的中点，∴OM →＝12(a ＋b )．∵G 是△ABO 的重心，∴OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．∵P 、G 、Q 三点共线，∴PG →∥GQ →，且有且只有一个实数λ,使PG →＝λGQ →.…………………………………………………(5分)，∴(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．…………………………………………………(8分)又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 13－m ＝－13λ13＝λn －13，……………………………………………………………………(10分) 消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.……………………………………………(14分)。

高三数学一轮复习教案全套人教A版平面向量的概念与线性运算

高三一轮复习第四章平面向量与复数
4.1平面向量的概念与线性运算
【教学目标】
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点难点】
1.教学重点理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、向量数乘的运算；
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
平行四边形法则
，得BA →＝PC →.又AP →＝
＋AB →)＝12·2AD →＝AD →
.。

高考一轮复习平面向量的概念与线性运算教案理教案

某某省东北师X大学附属中学2015届高考一轮复习平面向量的概念与线性运算教案理知识梳理：[阅读必修四第二章]1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律:;结合律:(2).向量减法作法:(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：长度：方向：(2)．运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；=是四边形ABCD为平行四边形的②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB DC充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。

=。

因此，AB DC③正确；∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。

④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。

点评：本例主要复习向量的基本概念。

向量的基本概念较多，因而容易遗忘。

为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。

例2：设0a为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·0a;(2) 若a与a0平行，则a=|a|·0a；（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。

上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|0a模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与0a平行，则a与0a方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|0a，故（2）、（3）也是假命题。

高三一轮复习学案平面向量的线性运算与坐标表示

平面向量的线性运算与坐标表示一、知识梳理 1、向量的基本概念（1）向量是的量，物理学中又叫如：不可比较大小（2）向量的表示：用有向线段来表示，如a ，b ，或AB ，CD（3）向量a 的长度又称，0≥（4）零向量：的向量叫作零向量，记作：，零向量的方向是。

（5）单位向量：叫作单位向量，与a 共线的单位向量等于。

与a 同向的单位向量等于。

与a 反向的单位向量等于。

（6）共线向量：叫作共线向量（又叫）若向量a 与b 共线（平行），记作：。

（7）相等的向量：叫作相等的向量，若向量a 与b 相等则记作：。

2、向量的线性运算：（1）向量的加法（2）向量的减法（3）数乘向量：叫作向量的数乘，记作：规定：1）λ为实数， a 为向量。

2）λ仍为一个3）方向：①当λ>0, a λ与a 方向 . ②当λ<0, a λ与a 方向 .③当λ=0,a λ= . ∴a λ与a 一定 .4)长度︱λ︱= ;3、两个向量共线的充要条件：∥⇔4、平面向量基本定理：若1e 、2e 是同一平面内的两个的向量，那么对于这一平面内的任一向量，一对实数1λ，2λ，使得=1λ1e + 2λ2e ．其中1e , 2e 称为 .5、向量的坐标运算：①加、减、数乘：若),(11y x a =，),(22y x b =则=+b a 。

=-b a 。

=⋅a λ 。

②已知点A ),(11y x ，点B ),(22y x ，则向量AB = 。

③平行判定：（向量法）∥⇔ （坐标法）∥⇔ ④垂直判定：（向量法）⊥⇔ （坐标法）⊥⇔ 二、基础训练：1、（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，2、（2008全国I ）在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 3、（2008全国II ）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 三、典型例题：例1设两个非零向量与不共线。

高考数学一轮专项复习讲义(新高考用)-平面向量的概念及线性运算(含解析)

平面向量的概念及线性运算目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：向量的有关概念 (4)知识点2：向量的线性运算 (4)知识点3：平面向量基本定理和性质 (5)知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 (7)解题方法总结 (8)题型一：平面向量的基本概念 (9)题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 (10)题型三：共线定理及其应用 (14)题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 (19)题型五：平面向量的直角坐标运算 (26)题型六：向量共线的坐标表示 (30)04真题练习.命题洞见 (31)05课本典例.高考素材 (32)06易错分析.答题模板 (35)易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 (35)答题模板：用基底表示向量 (36)考点要求考题统计考情分析（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算和向量共线定理（3）平面向量基本定理和性质（4）平面向量的坐标表示及坐标运算2024年I卷第3题，5分2024年甲卷（理）第9题，5分2023年北京卷第3题，5分2022年I卷第3题，5分2021年乙卷（文）第13题，5分2022年乙卷（文）第3题，5分通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．复习目标：（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算知识点1：向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0 与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．【诊断自测】下列命题中，正确的是（）A ．若a b = ，则a b= B ．若a b > ，则a b > C ．若a b = ，则//a bD ．若//,//a b b c ，则//a c【答案】C 【解析】对于A ：若a b = ，则,a b 只是大小相同，并不能说方向相同，A 错误；对于B ：向量不能比较大小，只能相同，B 错误；对于C ：若a b = ，则,a b 方向相同，C 正确；对于D ：若//,//a b b c ，如果b 为零向量，则不能推出,a c 平行，D 错误.故选：C.知识点2：向量的线性运算（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++ 减法求a 与b 的相反向量b - 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则()a b a b -=+- 数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1）||||||a a λλ= （2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a 的方向相同；当0λ=时，0a λ= ()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+ ()a b a bλλλ+=+ 【注意】（1）向量表达式中的零向量写成0 ，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+= ．【诊断自测】MP PQ MN +-= （）A ．QNB ．NQC ．PMD ．MP【答案】A【解析】MP PQ MN NP PQ NQ +-=+= ，故选：A ．知识点3：平面向量基本定理和性质1、共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ= ．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+ ，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+ 的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+ ，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+= ，则120λλ==．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ= （1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．D ACB 4、三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+ ，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ= ；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+ ；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+ ；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+ ．5、中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC ，反之亦正确．D ACB【诊断自测】在ABC 中，已知D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，且DE AB AC λμ=+ ，则λμ+=（）A ．12-B ．1-C ．12D ．1【答案】A【解析】因为D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，所以2132DE DC CE BC AC =+=- 21()32AC AB AC =-- 2136AB AC =-+ ，因为DE AB AC λμ=+ ，所以21,36λμ=-=，所以211362λμ+=-+=-.故选：A知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=-- ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ= ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =- =12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．（5）平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =-- ，，||AB = ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ± 1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，=a b ⋅ 1212x x y y +，||a = ．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔ 12120x x y y +=【诊断自测】已知点(2,3),(1,4)A B ，且2AP PB =- ，则点P 的坐标是．【答案】(0,5)【解析】如图，连接,,AP OA BP ，设O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，22()OP OA AP OA PB OA OB OP =+=-=-- ，整理得2(2,8)(2,3)(0,5)OP OB OA =-=-= ．故答案为：(0,5)解题方法总结（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++= ．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+ ，当且仅当,b a 至少有一个为0 时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤± 或||||||a a b b ±≤+ 当且仅当,b a 至少有一个为0 时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -= ，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ ()t R ∈，这是直线的向量式方程．题型一：平面向量的基本概念【典例1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（）A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使0a b a b+= 成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a b = ，b c = ，则a c= 【答案】A【解析】A 选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 选项，因为a a 与b b 都是单位向量，所以只有当a a与b b 是相反向量，即a 与b 是反向共线时0a b a b+= 才成立，故C 正确；D 选项，由向量相等的定义知D 正确.故选：A【典例1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若0a λ= (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若a b λμ= ，则a 与b共线.其中错误命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.因为0a λ= ，所以0λ=或0a = .④错误.当λ＝μ＝0时，a b λμ= ，此时，a 与b 可以是任意向量.所以错误命题有3个.故选：C.【方法技巧】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．【变式1-1】下列说法中，正确的是（）A ．若||||a b > ，则a b >B ．若||||a b = ，则a b= C ．若a b = ，则//a b r r D ．若a b ≠ ，则a 与b 不是共线向量【答案】C【解析】对于A ，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A 错误.对于B ，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B 错误.对于C ，若a b = ，则,a b 必定共线，故//a b r r ，故C 成立.对于D ，当a b ≠时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a 与b 可以为共线向量，故D 错误.故选：C【变式1-2】设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（）A ．a 与a λ 的方向相反B ．a 与2a λ 的方向相同C ．a a λ-≥D ．a a λλ-≥ 【答案】B【解析】对于A ，当0λ>时，a 与a λ 的方向相同，当0λ<时，a 与a λ 的方向相反，故A 不正确；对于B ，显然20λ>，即B 正确；对于C ，a a λλ-= ，由于λ与1的大小不确定，故a λ- 与a r 的大小关系不确定，故C 不正确；对于D ，a λ 是向量，而a λ- 表示长度，两者不能比较大小，故D 不正确．故选：B题型二：平面向量的线性运算及求参数问题【典例2-1】若74AB AC ==，，则BC uu u r 的取值范围是（）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311，D ．(311)，【答案】C【解析】由题意知74AB AC ==，，且||BC AC AB -= ,当,AC AB同向时，BC uu u r 取得最小值，|||||||47|3||BC AC AB AC AB ===---= ；当,AC AB反向时，BC uu u r 取得最大值，|||||||||47|11BC AC AB AC AB -+===+= ；当,AC AB 不共线时，BC uu u r 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，故BC uu u r的取值范围是[]311，，故选：C【典例2-2】在平行四边形ABCD 中，E 为BD 的中点，F 为BC 上一点，则2AB AD AF +-=（）A ．2FEB ．2EFC ．FED ．2CF【答案】A【解析】因为E 为BD 的中点，则2AB AD AE += ，所以2222AB AD AF AE AF FE +-=-= .故选：A.【方法技巧】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b+C ．1233a b-D ．1233a b+【答案】A【解析】由题意知，点E 满足13EC AC =，可得23AE AC = ，则2221()3333AE AD AC AD AB A D D a E D A b -=-=+--==.故选：A.【变式2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD λμλμ→→→=+∈R ，则λμ+等于（）．A ．1B ．-1C ．12D ．12-【答案】D【解析】由题意知1113()4444DE DA AE AD AC AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→=+=-+=-++=-，因为(),DE AB AD λμλμ→→→=+∈R ，所以14λ=，34μ=-，12λμ+=-，故选：D ．【变式2-3】已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则22λμ-=（）A ．12-B ．79CD【答案】A【解析】如图在矩形ABCD 中，()12=+ DO DA DC ，在DAO 中，()12=+ DE DA DO ，11131132224444⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭ DE DA DA DC DA DC AB AD ，13,44λμ∴==-，2219116162λμ∴-=-=-．故选：A ．【变式2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知1,,,AB BC CD AB BC AC CD AC ===⊥⊥与BD 交于点O ，若DO AB AC =λ+μ，则λμ+=（）A1B．1C1D．1-【答案】A【解析】以C 为坐标原点，,CD CA 所在直线分别为,x y轴建立如图所示的坐标系，由题意得AC =则((),,,0,0,,2222A B C AB ⎛⎫⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,AC =.因为1,9045135CB CD DCB ==∠=+= ，故22.5BDC ∠= ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，所以tan 22.51 （负值舍去），所以tan 22.51OC DC =⋅= ，故()1O .又()1,0D -，则()1DO =，因为DO AB AC =λ+μ，所以1212λλ⎧=⎪⎪⎨=-，解得1λμ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1λμ+=，故选：A.题型三：共线定理及其应用【典例3-1】已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+ ，3BC a b =-+ ，3CD a b =+，则（）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】因为平面向量a ，b 不共线，所以a ，b可以作为平面内的一组基底，又46AB a b =+ ，3BC a b =-+ ，3CD a b =+，所以336BD BC CD a b a b b =+=+-+=，34639AC AB BC a b a b a b =+=-+++=+，对于A ：因为46AB a b =+，6BD b = ，显然不存在实数t 使得AB tBD =，所以A ，B ，D 三点不共线，故A 错误；对于B ：因为46AB a b =+，39AC a b =+，不存在实数n 使得AB nAC =，所以A ，B ，C 三点不共线，故B 错误；对于C ：因为3BC a b =-+ ，3CD a b =+，不存在实数m 使得BC mCD = ，所以B ，C ，D 三点不共线，故C 错误；对于D ：因为39AC a b =+，3CD a b =+ ，所以3AC CD = ，所以//AC CD，故A ，C ，D 三点共线，故D 正确.故选：D【典例3-2】如图，在ABC 中，3,AC AN P = 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（）A ．19B ．29C ．23D ．13【答案】D【解析】由题意可知，12AN NC = ，所以3AC AN = ，又1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，即1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ .因为B P N ､､三点共线，所以11133m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得13m =.故选：D.【方法技巧】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC（R λ∈）．若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC．【变式3-1】如图，ABC中，点M 是BC 的中点，点N 满足23AN AB =，AM 与CN 交于点D ，AD AM λ=，则λ=（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【解析】在ABC 中，点M 是BC 的中点，1122AM AB AC =+ ，则22AB A A C D AM λλλ+==，又23AN AB = ，于是得342AD AN AC λλ=+uuu r uuu r uuu r ，因点C ，D ，N 共线，则有3142λλ+=，解得4=5λ，所以4=5λ.故选：C【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点G 是ABC 的重心，点M 是线段AC 的中点，若GM AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．112B ．16C ．16-D ．112-【答案】C【解析】()11113332GM BM AM AB AC AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭1136AB AC =-+ ，所以111,,366λμλμ=-=+=-.故选：C【变式3-3】已知12,e e 是两个不共线的单位向量，1212,2a e e b e ke =-=-+，若a 与b 共线，则k =.【答案】2【解析】因为12a e e =- 与122b e ke =-+ 共线，所以b a λ=，即()12122e ke e e λ-+=- ，又12,e e 不共线，所以2k λλ-=⎧⎨=-⎩，所以2k =.故答案为：2【变式3-4】已知ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD AB λ=uuu r uu u r ，AE AC μ=，则11λμ+=.【答案】3【解析】如图，设F 为BC 的中点，则()2133AG AF AB AC ==+，又1AB AD λ=uu u r uuu r ，1AC AE μ= ，则1133AG AD AE λμ=+ ，又G ，D ，E 三点共线，∴11133λμ+=，即113λμ+=.故答案为：3.【变式3-5】如图，点G 为△ABC 的重心，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 点D ，E 两点，3(0)AB m AD m => ，3(0)AC nAE n =>，则m n +＝；若0n m >>，则11m n m+-的最小值为.【答案】13+【解析】因为点G 为△ABC 的重心，所以1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，因为3(0)AB m AD m => ，3(0)AC nAE n =>，所以AG mAD nAE =+ ，因为,,D G E 三点共线，所以1m n +=，则1,n m m =->则102m <<，代入11m n m +-得11,11022m m m <<+-令()1112f m m m=+-，102m <<，()()()22222121224112f m m m m m m m -'=+--+-=-令()0f m '=，则22m =或22（舍）且当20,2m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<,()f m 递减当2122m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '>，()f m 递增所以当m =()f m 有极小值，即最小值，且()min 32f m ==+故答案为:1；3+【变式3-6】如图，在ABC 中，11,,23AD AB AE AC CD == 与BE 交于点,2P AB =，3,1AC AP BC =⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r的值为；过点P 的直线l 分别交,AB AC 于点,,M N 设,AM m AB = AN nAC = (0,0)m n >>，则2m n +的最小值为.【答案】485【解析】设AP xAB yAC =+，令,AB a AC b == ，因为11,23AD AB AE AC == ，所以2,3AB AD AC AE == ，所以23AP xAD y AC xAB y AE =+=+ ，又,,B P E 与,,C P D 分别共线，所以2131x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得21,55x y ==.因为()21155AP BC a b b a ⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭，所以22250a a b b -⋅-+= ，即8950a b -⋅-+=，解得4a b ⋅= ，即4AB AC ⋅= .因为,AM mAB AN nAC ==，所以11,AB AM AC AN m n== ，所以21215555AP AB AC AM AN m n=+=+，因为,,M P N 共线，所以21155m n+=，所以()214448225555555n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当42,55m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为85.故答案为：4；85.题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用【典例4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e 、2e，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e + 和12e e - B ．123e e + 和213e e +C ．123e e - 和2126e e -D ．1e 和12e e + 【答案】C【解析】对A ：不存在实数λ，使得()12122e e e e λ+=- ，故122e e + 和12e e -不共线，可作基底；对B ：不存在实数λ，使得()122133e e e e λ+=+ ，故123e e + 和213e e +不共线，可作基底；对C ：对123e e - 和2126e e - ，因为21,e e是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =--- ，故123e e - 和2126e e -共线，不可作基底；对D ：不存在实数λ，使得()112e e e λ=+ ，故1e 和12e e +不共线，可作基底.故选：C.【典例4-2】如图，在△ABC 中，点D ，D ，E 分别为BC 和BA 的三等分点，点D 靠近点B ，AD 交CE 于点P ，设BC a = ，BA b = ，则BP＝（）A ．1377a b-+ B ．1477a b+C ．1377a b+D ．2477a b+【答案】B【解析】设AP AD λ= ，EP EC μ=，所以()BP AP AB AD AB BD BA AB λλ=-=-=-- ，又13BD BC = ，所以()13BP BC BA λλ=+- ，因为23BE BA =，所以()()2221333BP BE EP BA EC BA BC BE BA BC μμμμ=+=+=+-=-+ ，所以322133λμμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3717λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以14147777BP BC BA a b =+=+ ，故选：B.【方法技巧】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点．【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，点D 在边AB 上且满足2ADDB=，E 为BC 的中点，直线DE 交AC 的延长线于点F ，则BF =（）A ．2BA BC +B ．2BA BC-+ C ．2BA BC -D ．2BA BC-+ 【答案】B【解析】由题，A ，C ，F 三点共线，则()1BF BA BC λλ=+-，D ，E ，F 三点共线，则()1132BF BD BE BA BC μμμμ-=+-=+，∴3112μλμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，得13λμ=-⎧⎨=-⎩，∴2BF BA BC =-+ ．故选：B.【变式4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF = ，则AF =（）A ．1526AB AC+B ．1324AB AC+C ．12AB AC+D ．1322AB AC+uu ur uuu r 【答案】B【解析】在ABC 中，取{},AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =,所以1124DE AC EF == ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ .故选：B.【变式4-3】在ABC 中，2,3,4AB AC BC ===，I 为ABC 的内心，若AI AB BC λμ=+，则36λμ+的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据内心的性质可知0++=aIA bIB cIC ，于是b c AI AB ACa b c a b c=+++++1239AB AC =+122399AB AB BC =++5299AB BC =+，于是363λμ+=．故选：C.【变式4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在ABC 中，2,DC BD = M 为线段AD 的中点，过M 的直线分别与线段AB AC ､交于P Q ､，且2,3AP AB = AQ AC λ=，则λ=（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】如图，因2,DC BD =则2()AC AD AD AB -=- ,即2133AD AB AC =+ （*），又12AM AD = ,2,3AP AB = AQ AC λ=,代入（*）得，123AM AP AQ λ=+ ,即1126AM AP AQ λ=+ ，因,,P M Q 三点共线，故11126λ+=，解得，13λ=.故选：B.【变式4-5】如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC，其中,120OA OB = ，,30OA OC = ，且1OA OB == ，OC = OC mOA nOB =+，则m n +=.【答案】6【解析】连接AB ,交OC 于点D ,则30,90,tan 303DOA OAD OBD BOD OD OB ︒︒︒∠=∠=∠=∠===,,33OD DA DB ===,法一：由平面向量基本定理得121,333OD OA AD OA AB OA OB =+=+=+6OC OD == ,21642, 6.33OC OA OB OA OB m n ⎛⎫∴=+=++= ⎪⎝⎭法二：根据等高线定理可得,6, 6.OC OC k m n k m n OD OD==+==∴+= 故答案为：6【变式4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n == ，则BE =（）A ．533n m- B ．732n m- C ．732m n- D ．532m n- 【答案】D【解析】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+()113322AC CD AC AD AC=--=---553322AC AD m n =-=- ，故选：D．【变式4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM = ，2,AE ED AC AN λ==，则λ=（）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【解析】由2AE ED =，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN λλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭.因为,,M E N 共线，所以4193λ+=，解得53λ=.故选：B.【变式4-8】（2024·河南·模拟预测）在ABC 中，点E 为AC 的中点，2AF FB =，BE 与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】如图，因为点E 为AC 的中点，2AF FB =，所以，()()1AP AF FP AF xFC AF x AC AF x AF x AC =+=+=+-=-+，()()()31122AP AB BP AB BE AB AE AB AB AE AF AC λλλλλλ-=+=+=+-=-+=+ ，所以()31122x xλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()31321222λλλ--+==，解得12λ=所以，λ的值为12.故选：B【变式4-9】在ABC 中，()11,22BE EC BF BA BC ==+ ，点P 为AE 与BF 的交点，AP AB AC λμ=+，则λμ-=．【答案】14/0.25【解析】因为()12BF BA BC =+，所以F 为AC 中点，,,B P F 三点共线，故可设BP k BF =，即()AP k AF AB AB -=- ，整理得()()1112AP k AF k k AB A AB k C ==+--+，因为12BE EC = ，所以1122A A AB A E C E --= ，即2331B A C A E A =+ ，,,A P E 三点共线，可得12123333AP mAE m AC AB mAC mAB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以213132m k m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1234k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1124A AB A PC =+ ，则11,24λμ==，14λμ-=.故答案为:14【变式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知ABC 为等边三角形，分别以CA ，CB 为边作正六边形，如图所示，则（）A ．942EF AD GH=+B ．732EF AD GH=+ C ．54EF AD GH =+D．932EF AD GH =+ 【答案】A【解析】选取,AB AC为基底，3EF EH H AB F AC =+=+ ，222AD BG BC AB AC ===-+ ，222GH GB BH CB AB AB AC AB =+=+=-+ 32AB AC =- ，设EF x AD yGH =+ 2232x AB x AC y AB y AC=-++- (23)(22)x y AB x y AC =-++-，233221x y x y -+=⎧∴⎨-=⎩，924x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，即942EF AD GH =+ .故选：A题型五：平面向量的直角坐标运算【典例5-1】已知O 为ABC 的外心，若(0,0),(2,0),1,120,A B AC BAC =∠=且AO AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．2C ．1D ．136【答案】D【解析】若(0,0),(2,0),1,120A B AC BAC =∠=，则有12C ⎛- ⎝⎭，如图所示，设ABC 的外心(),O x y ，由OA OB ==1x =，由OA OC=3y =，得O ⎛ ⎝⎭，则AO ⎛= ⎝⎭，又1,22AC ⎛=- ⎝⎭，()2,0AB = ，由AO AB AC λμ=+，即()12,02λμ⎛⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得121223λμμ⎧-=⎪⎪=⎪⎩，解得5643λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故136λμ+=.【典例5-2】O 为坐标原点，(6,3)A ，若点P 在直线OA 上，且12OP PA →→=，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为．【答案】(4,2)或(12,6)--【解析】由题可知，(6,3)A ，点P 在直线OA 上，则//OP PA →→，又12OP PA →→=，12OP PA →→∴=±，设点()(),,,P m n B a b ，则(),OP m n →=，()6,3PA m n →=--，①当12OP PA →→=时，则()()1,6,32m n m n =--，()()162132m m n n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，()2,1P ∴，P 是OB 的中点，022012ab +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，解得：42a b =⎧⎨=⎩，()4,2B ∴.②当12OP PA →→=-时，则()()1,6,32m n m n =---，()()162132m m n n ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩，解得：63m n =-⎧⎨=-⎩，()6,3P ∴--，P 是OB 的中点，062032ab +⎧=-⎪⎪∴⎨+⎪=-⎪⎩，解得：126a b =-⎧⎨=-⎩，()12,6B ∴--，综上可得，点B 的坐标为(4,2)或(12,6)--.故答案为：(4,2)或(12,6)--.【方法技巧】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．【变式5-1】已知点()0,0O ，向量()1,3OA = ，()3,5OB =- ，点P 满足2AP PB =，则点P 的坐标为．【答案】513,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为点()0,0O ，向量()1,3OA = ，()3,5OB =-，所以()1,3A ，()3,5B -，设(),P x y ，则()()(),1,31,3AP x y x y =-=--，()()()3,5,3,5PB x y x y =--=---，因为2AP PB = ，所以()()123325x x y y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩，解得53133x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以513,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：513,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式5-2】已知梯形ABCD 中，//,2AB CD AB CD =，三个顶点(4,2),(2,4),(1,2)A B C .则顶点D 的坐标.【答案】()2,1【解析】∵在梯形ABCD 中，2AB DC =，//AB CD ，(4,2)A ，(2,4)B ，(1,2)C ．∴2AB DC =．设点D 的坐标为(,)x y ．则(1,2)DC x y =-- ，(2,2)AB =-．∴(2,2)2(1,2)x y -=--，即(2,2)(22,42)x y -=--，∴222,422,x y -=-⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为(2,1)．故答案为：(2,1)．【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,【答案】111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】在平行四边形ABCD 中，因为AC 与BD 的交点为M ，且E 为DM 的中点，所以()12AE AD AM =+()1122AD AB AD ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦3144AD AB =+ ()()312,64,444=+-111,22⎛⎫= ⎪⎝⎭，由A 为坐标原点，所以向量AE的坐标即为E 的坐标，故点E 的坐标为111,22⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：111,22⎛⎫⎪⎝⎭.【变式5-4】如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为．【答案】2716,77⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设P (x ，y )，则DP = (x －1，y )，DB =(5，4)，CA = (－3，6)，DC = (4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得()5,4DB DB λλλ==．又因为()54,4CP DP DC λλ=-=- ，由CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得47λ=，所以42016,777DP DB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，即()20161,,77x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2027177161677x x y y ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩.所以P 的坐标为2716,77⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2716,77⎛⎫⎪⎝⎭【变式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系xOy 中，()01,0P ，把向量i OP uuu r顺时针旋转定角θ得到i OQ，i Q 关于y 轴的对称点记为1i P +，0,1,,10i = ，则11P 的坐标为【答案】()cos ,sin θθ--【解析】把向量0OP 顺时针旋转定角θ得到0OQ，得()()()0cos ,sin Q θθ--，0Q 关于y 轴的对称点记为1P ，则()()()1cos π,sin πP θθ--，即()1cos ,sin P θθ--把向量1OP顺时针旋转定角θ得到1OQ ，得()()()1cos π,sin πQ --，即()11,0Q -1Q 关于y 轴的对称点记为2P，则()20,1P ，以此类推可得当i 为奇数时，()cos ,sin i P θθ--，当i 为偶数时，()0,1i P ，故11P 的坐标为()cos ,sin θθ--.故答案为：()cos ,sin θθ--题型六：向量共线的坐标表示【典例6-1】已知()4,2a =- ，()6,b y = ，且//a b，则y =．【答案】3-【解析】由//a b可得426y =-⨯，解得，=3y -.故答案为：3-.【典例6-2】已知向量()()()2,3,2,5,3,1AB BC m CD ===-，若,,A B D 三点共线，则m =.【答案】16-【解析】由(23,4)BD BC CD m =+=+，又,,A B D 三点共线，所以()2,3AB = 与(23,4)BD m =+ 共线，得()243230m ⨯-⨯+=，解得16m =-.故答案为：16-【方法技巧】（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若11(,)a x y =，22()b x y = ,，则a b ∥的充要条件是12210x y x y -=；②若(0)a b b ≠ ∥，则a b λ=．（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【变式6-1】已知向量()()()3,4,1,5,2,3a b c ==-= ，若- a c 与tc b +共线，则实数t =.【答案】6-【解析】因(3,4)(2,3)(1,1)a c -=-= ，(2,3)(1,5)(21,35)tc b t t t +=+-=-+，则由- a c 与tc b +共线可得，3521t t +=-，解得6t =-.故答案为：6-.【变式6-2】已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =．【答案】2-【解析】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．【变式6-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(1,1)B ，(3,1)C -．则AB 的中点坐标为；当实数m =时，()//mOC OB AB +．【答案】30,2⎛⎫⎪⎝⎭/()0,1.53【解析】因为(1,2)A -，(1,1)B ，(3,1)C -，所以AB 的中点坐标为1112,22-++⎛⎫⎪⎝⎭，即30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；又()()()1,11,22,1AB =--=- ，(1,1)OB =，(3,1)OC =- ，则()()()3,11,131,1mOC OB m m m +=-+=-++，因为()//mOC OB AB +，则()()21131m m +=--+，解得3m =.故答案为：30,2⎛⎫⎪⎝⎭；31．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B2．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB=（）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 故选：C4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=．【答案】85【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.1．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.【解析】（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=（2）0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-= .（3）122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++= .证明如下：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++ L11110n n n n A A A A A A A A =+=-= 2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【解析】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km .设甲地为A ，乙地为B ，丙地为C ，作出示意图，则1400AB BC km ==，15NAB SBA ︒∠=∠=，75SBC ︒∠=，60ABC SBC SBA ︒∴∠=∠-∠=，ABC ∆∴是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，1400AC km =，45NAC BAC BAN ︒∴∠=∠-∠=，即丙地在甲地北偏东45︒，丙地距甲地1400km .3．如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点．求证：2AB DC EF +=．【解析】因为E ，F 分别是AD ，BC 中点，所以，AE ED = ，BF FC =.因为AB AE EF FB =++ ，DC DE EF FC =++，所以，AB DC AE EF FB DE EF FC +=+++++ ()()22AE DE FB FC EF EF =++++=.4．在ABC ∆中，1,//4AD AB DE BC =，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设,AB a AC b == ，用a ，b分别表示向量,,,,,,AE BC DE DB EC DN AN .【解析】如图()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=-，()331,,448DB a EC b DN b a===-()1148AN AM a b ==+ .5．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量,,,OA OB OC OD 满足等式OA OC OB OD +=+.（1）作出满足条件的四边形ABCD .（2）四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.【解析】（1）作图，通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.（2）四边形ABCD 为平行四边形，证明如下：因为OA OC OB OD +=+ ，所以OA OB OD OC -=- ，因为,OA OB BA OD OC CD -=-= .所以BA CD =，即//AB ，因此四边形ABCD 为平行四边形.6．如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用,,OA OB OC 表示OD.【解析】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件易错分析：平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.【易错题1】如果{}12,e e 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．2e ，122e e -B ．122e e + ，212e e + C ．123e e - ，2162e e - D ．12e e - ，123e e -【答案】C【解析】根据平面基底的定义知，向量1e ，2e 为不共线非零向量，即不存在实数λ，使得12e e λ=，对于A 中，向量2e 和122e e -，假设存在实数λ，使得()2122e e e λ=- ，显然λ无解，可以作为一个基底；对于B 中，向量122e e + 和212e e + ，假设存在实数λ，使得()122122e e e e λ+=+ ，可得122λλ=⎧⎨=⎩无解，所以122e e + 和212e e +可以作为基底；对于C 中，向量123e e - 和2162e e - ，假设存在实数λ，使得()1221362e e e e λ-=- ，可得1236λλ=-⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，所以123e e - 和2162e e - 不可以作为基底；。

高三数学一轮复习平面向量的概念与线性运算教学案文

城东蜊市阳光实验学校响水中学2021届高三数学文科一轮复习教学案第7-8课时：平面向量的概念与线性运算【课题】平面向量的概念与线性运算【课时】第7-8课时【知识点回忆】1、向量的有关概念向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的〔或者者模〕。

2、几个特殊的向量（1）零向量；〔2〕单位向量；〔3〕平行向量；〔4〕相等向量；〔5〕相反向量。

3、向量的加法：〔1〕三角形的法那么；〔2〕平行四边形法那么向量的减法：三角形法那么4、向量的加法与减法满足交换律与结合律5、实数与向量的积向量数乘满足交换律、结合律、分配律。

6、两个向量一一共线定理。

【根底知识】1、把平面上的一切单位向量归结到一一共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是2、以下命题：〔1〕平行向量一定相等；〔2〕不相等的向量一定不平行；〔3〕一一共线向量一定相等；〔4〕相等向量一定一一共线；〔5〕长度相等的向量是相等向量；〔6〕平行于同一的两个向量是一一共线向量。

其中不正确的序号是3、给出以下命题：〔1=，那么b a =；〔2〕假设D C B A ,,,是不一一共线的四点，那么DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；〔3〕假设c b b a ==,，那么c a=；〔4〕b a ==且b a ||；〔5〕假设c b b a ||,||，那么c a ||。

其中正确的命题的序号是4、D 是ABC ∆的边AB 上的中点，那么CD =BA +BC 。

5、O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不一一共线的三点，动点P 满足[)+∞∈++=,0),(λλAC AB OA OP ，那么AP 通过ABC ∆的心。

6、21,e e 是不一一共线的两个向量，假设21212,e e b e e a --=+=λλ，且b a ,一一共线。

那么________________=λ【例题分析】1、设两个非零向量a 与b 不一一共线，假设b a AD +=，b a BC 82+=，)(3b a CD -=，证明：D B A ,,三点一一共线。

高三数学一轮复习精品教案2：5.1 平面向量的概念与线性运算教学设计

第一节平面向量的基本概念及线性运算考纲传真 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(2)减法与加法互为逆运算；服从三角形法则．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：①长度：|λa |＝|λ||a |；②方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．(2)运算律：设λ、μ∈R ，则：①λ(μa )＝(λμ)a；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4．平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．1．(人教A 版教材习题改编)化简OP →－QP →＋MS →＋QM →的结果为( )A.OM →B.SM →C.PS →D.OS →『解析』 OP →－QP →＋MS →＋QM →＝(OP →＋PQ →)＋(QM →＋MS →)＝OQ →＋QS →＝OS →.『答案』 D2．下列给出的命题正确的是( )A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量『解析』零向量方向任意，而不是没有方向，故A 错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b ＝0，b 与a 、c 都平行，但a 、c 不一定共线，故C 错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故D 正确．『答案』 D3．设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC →『解析』 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.『答案』 B4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13『解析』由题意知a ＋λb ＝－k (b －3a )＝－k b ＋3k a ，『答案』 D5．(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |『解析』 a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b |b |，观察选择项易知C 满足题意．『答案』 C平面向量的有关概念给出下列四个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形；③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4『思路点拨』以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确．『尝试解答』 ①不正确．|a |＝|b |但a 、b 的方向不确定，故a ，b 不一定相等；②不正确．因为AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．『答案』 D ,1．(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4『解析』 ①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义知．③不正确．若b ＝0时，b 与a 、c 都平行，但a 、c 不一定平行．④不正确．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．『答案』 C 平面向量的线性运算(1)在△ABC 中，若D 是AB 边上一点，且AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →『思路点拨』 (1)D 是AB 边上的三等分点，把CD →用CA →、CB →表示；(2)由D 为BC 边中点可得OB →＋OC →＝2OD →，代入已知条件即可求解．『尝试解答』 (1)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23，故选A.(2)因为D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，∴2OA →＋2OD →＝0，即AO→＝OD →，故选A.『答案』 (1)A (2)A ,1．解答本题(1)的关键是利用向量的加法与减法把CD →用CA →、CB →表示出来．解答本题(2)的关键是OB →＋OC →＝2OD →.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．(1)(2013·海口模拟)如下图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，若AC →＝－3CB →，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12b C ．c ＝－a ＋2b D ．c ＝a ＋2b (2)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．『解析』 (1)∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB →，∴2OC →＝－OA →＋3OB →，∴c ＝OC →＝－12a ＋32b . (2)∵|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，|AB →＋AC →|为三角形高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.『答案』 (1)A (2)23 共线向量定理的应用设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线．(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A 、C 、F 三点共线，求k 的值．『思路点拨』 (1)A 、C 、D 三点共线⇔存在实数λ使AC →＝λCD →.(2)A 、C 、F 三点共线⇔存在实数λ，使AC →＝λAF →.『尝试解答』 (1)AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2，又CD →＝－8e 1－2e 2，所以CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线，又∵AC →与CD →有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线．(2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2.∵A 、C 、F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →.∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴因此k ＝2.所以实数k 的值为2.,1．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(μ，λ∈R )，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.(1)(2013·南昌模拟)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向(2)(2013·青岛模拟)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 (1)∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb ，∴k ＝λ＝－1，故选D.(2)由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立．由a ∥b 知a ＝λb ，λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立．『答案』 (1)D (2)A一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．三个防范1.向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；3．利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合．从近两年高考试题来看，平面向量的概念，线性运算及向量共线是高考命题的重点，常与平面向量基本定理、平面向量的数量积交汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程中，不要忽视零向量的特殊性．易错辨析之八忽视零向量的特殊性致误(2013·杭州模拟)下列命题正确的是( )A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线『错解』错解一 a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 『答案』 A错解二首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB →、BC →、CA →围成了一个封闭图形，故AB →＋BC→＋CA →＝0，故选B.『答案』 B错解三当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C. 『答案』 C错因分析：(1)错解一，忽视了a ≠0这一条件．(2)错解二，忽视了0与0的区别．(3)错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立．防范措施：(1)共线向量定理中，b ＝λa 要求a ≠0，否则λ值可能不存在．(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数．(3)应熟练掌握向量不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件．『正解』 ∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.『答案』 D1．(2012·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |『解析』由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2， ∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．『答案』 C2．(2011·山东高考)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上『解析』 ∵平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则由条件知：AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2. 对A ：若C 为线段AB 的中点，则λ＝12，∴1μ＝0，显然不存在μ， ∴A 是错误的，同理B 也是错误的；对C ：若C 、D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，∴1λ＋1μ＞2，不符合条件；对D ：若同时在线段AB 延长线上，则λ＞1，μ＞1，与1λ＋1μ＝2矛盾，故不可能． ∴C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 正确．『答案』 D。

天津市高考数学一轮复习平面向量线性运算及综合应用问题导学案

平面向量线性运算及综合应用问题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)例2设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |例3设a ，b 是两个非零向量，下列选项正确的是( )．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |例4已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.演练方阵A 档（巩固专练）1．若向量,a b 满足|||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 ( ) A ．12- B ．12C ． 1-D ． 1 2．已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b3．在△ABC 中，,1AB AC AC ⊥=，点D 满足条件3BD BC =，则AC AD ⋅等于（）A B ．1C D ．124．已知平面向量=(1,2)=(2,)m -，a b , 且∥a b , 则m 的值为( )A ．1-B ．C ．4-D ．45．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CAC B ⋅等于( )A ．32B C ．3 D ．6．已知向量()()k ,2,1,2-==,且(2)a a b ⊥-,则实数=k ( )A ．14-B ．6-C ．6D ．147．在平面直角坐标系xoy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（）A 1B ．1C ．-1D ． 18．向量=(3,4)=(,2)x ，a b , 若⋅a b =a ,则实数x 的值为（）A ．1-B ．12-C ．13-D ．19．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中，则a b =（）A ．21B ．2C ． 23D ．23B 档（提升精练）1．已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC+?等于．2．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点，则CD BE ⋅= .3．已知1||=a，2||=b ，向量a 与b 的夹角为 60，则=+||b a .4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．5．在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量AE AF ⋅= ． 6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD 的最小值是 .7．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k =_____．8．在边长为的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是．9．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -∙=u u u r u u u r u u u r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.10．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．C 档（跨越导练）1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．63．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )．A . 5 B.10 C ．2 5 D ．104．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π； p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 其中的真命题是( )．A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 45．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )．A .2－1B ．1 C. 2 D ．26．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )．A.12B.1±22C.1±102D.－3±222 7．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．8．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为____________；DE →·DC →的最大值为____________．9．已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，32. (1)当a ∥b 时，求cos 2x －3sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 的最小正周期和单调递增区间．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：平面向量线性运算及综合应用问题参考答案典题探究例1．答案： A解析：[抓住向量的起点与终点，用终点坐标减去起点坐标即可．由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．]例2．答案：C解析：[对于A ，注意到当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于B ，注意到当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b ，且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是a ＝2b .]例3．答案：C解析：[对于A ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，因此a ⊥b 不成立；对于B ，满足a ⊥b 时，|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；对于C ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，因此成立，而D 显然不一定成立．]例4．解析依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)．答案 3 2演练方阵A 档（巩固专练）1．A 2．C 3．A 4．C 5．C【解析】由2O A A BA C ++=0得0OA AB OA AC OB OC +++=+=，所以O B O C C =-=，即O 时BC 的中点，所以BC 为外接圆的直径,2BC =。

高中数学【向量的线性运算】导学案

高中数学【向量的线性运算】导学案学习目标1.会利用公式进行向量的混合运算;2.了解平面向量的线性运算. 课堂探究一、体系构建结构完善进一步完善向量混合运算以及平面向量线性运算的概念. 二、题型分类典例精讲题型一向量的加法与数乘向量的混合运算例1 如下图所示,讨论3a+3b 与3(a+b )之间的关系.变式训练1 化简:5a+b+2(a+b ).题型二向量的线性运算例2 如图所示,已知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC⃗⃗⃗⃗⃗ .变式训练2如图,平行四边形ABCD 中,点M 在AB 的延长线上,且BM=12AB ,点N 在BC 上,且BN=13BC ,求证:M ,N ,D 三点共线.核心素养专练(一)基础过关1.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形2.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b ,则一定共线的三点是( )A.B ,C ,DB.A ,B ,CC.A ,B ,DD.A ,C ,D3.(多选题)设e 1,e 2是两个不共线的向量,关于向量a ,b 共线的有( ) A.a=2e 1,b=-2e 1 B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 24.已知A ,B ,P 三点共线,O 为平面内任一点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .5.两个非零向量a ,b 不共线.(1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)求实数k ,使ka+b 与2a+kb 共线.6.如图所示,已知D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 的中点,延长CD 至M 使DM=CD ,延长BE 至N 使BE=EN.求证:M ,A ,N 三点共线.(二)能力提升1.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m 的值为( )A.2 B .3 C.4 D.52.如图所示,平行四边形ABCD ,E 在边AB 上,且BE=14BA ,F 为对角线BD 上的点,且BF=15BD ,则( )A.E ,F ,C 三点共线,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13FC⃗⃗⃗⃗⃗ B.E ,F ,C 三点共线,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14FC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.E ,F ,C 三点共线,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15FC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.E ,F ,C 三点不共线3.如图所示,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 为BC 的中点,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b 表示)4.如图,已知在▱ABCD 中,M 为AB 的中点,N 在BD 上,3BN=BD. 求证:M ,N ,C 三点共线.5.如图,设G 为△ABC 的重心,过G 的直线l 分别交AB ,AC 于P ,Q ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1m +1n=3.(三)探索研究设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗。

向量的线性运算教案

向量的线性运算教案介绍：本教案旨在向学生介绍向量的线性运算，包括向量的加法、减法、标量乘法和内积。

通过引导学生进行具体的实践操作和问题解决，帮助他们理解向量的线性运算的概念和规则，并培养他们的应用能力。

一、概念介绍向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头表示。

向量的加法、减法、标量乘法和内积是向量的基本运算。

二、向量的加法1. 向量的加法满足交换律和结合律。

示例1：已知向量a = (2, 1)和向量b = (3, -1)，求a + b。

解析：根据向量的加法规则，将a和b的对应分量相加，得到结果向量c = (2+3, 1+(-1)) = (5, 0)。

三、向量的减法1. 向量的减法是指将被减向量转化为负向量，然后与减向量进行加法运算。

示例2：已知向量a = (5, 3)和向量b = (2, 1)，求a - b。

解析：根据向量的减法规则，将b取负后与a相加，即可得到结果向量c = (5-2, 3-1) = (3, 2)。

四、向量的标量乘法1. 向量的标量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个标量。

示例3：已知向量a = (2, 4)和标量k = 3，求ka。

解析：将向量a的每个分量都乘以标量k，得到结果向量c = (2*3,4*3) = (6, 12)。

五、向量的内积1. 向量的内积（点积）是指将两个向量对应分量相乘再相加的结果。

示例4：已知向量a = (3, 2)和向量b = (1, 4)，求a · b。

解析：将向量a和b的对应分量相乘再相加，得到结果c = (3*1 +2*4) = 11。

六、综合练习1. 针对以上四种向量的线性运算，设计一些实际问题，引导学生进行综合练习和解决。

总结：通过本教案的学习，学生应该能够理解和掌握向量的线性运算，包括加法、减法、标量乘法和内积。

在实际问题中，可以灵活运用这些概念和规则，解决与向量相关的计算和分析问题。

高中数学《向量的线性运算》教案(1)

向量的线性运算【三维目标】：一、知识与技能1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。

2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。

最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量难点：对向量加法定义的理解.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.学法指导数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念2.平行向量、相等向量的概念。

【情景设置】：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为→--OA，从景点A到景点B的位移为→--AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB●这里，向量→--OA,→--OB,→--OC三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

高中数学人教版B版精品学案《向量的线性运算》

向量的线性运算【学习目标】理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算【学习重难点】向量的运算律【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？3．向量线性运算满足哪些运算律？二、新知初探1．向量的线性运算（1）若3＋a＋2－2a－4－a＋b＝0，则＝________．（2）化简下列各式：①36a＋b－9错误!；②错误![3a＋2b－错误!]－2错误!；②25a－4b＋c－3a－3b＋c－7a．【解】（1）由已知得3＋3a＋2－4a－4＋4a－4b＝0，所以＋3a－4b＝0，所以＝4b－3a．故填4b－3a．（2）②原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．②原式＝错误!错误!－a－错误!b＝a＋错误!b－a－错误!b＝0③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．2．利用已知向量表示相关向量（1）如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若错误!，N分别是DE，BC的中点，已知错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＝－错误!a a－b＋错误!a a＝错误!a－b．3．利用向量判断三点共线已知非零向量e1．e2不共线．如果错误!＝e1＋e2，错误!＝2e1＋8e2，错误!＝3e1－e2，求证：A、B、D三点共线．【证明】因为错误!＝e1＋e2，错误!＝错误!＋错误!＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5e1＋e2＝5错误!所以错误!，错误!共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．三、学习小结向量的线性运算：（1）向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝λ＋μa．一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λa＋b＝λa＋λb．（2）向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．四、精炼反馈1．下列命题中正确的个数是①错误!＋错误!＝0；②错误!－错误!＝错误!；②0·错误!＝0A．1B．2C．3 D．0解析：选A．由两相反向量的和为零向量知②正确；由向量的减法运算法则知，错误!－错误!＝错误!，②错；由数乘向量的意义知0·错误!＝0，③错；即正确的个数是1，故选A．2．在②ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝A．错误!错误!－错误!错误!B．错误!错误!－错误!错误!C．错误!错误!＋错误!错误!D．错误!错误!＋错误!错误!解析：选A．法一：如图所示，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×错误!错误!＋错误!＋错误!错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，故选A．法二：错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!错误!＝错误!－错误!×错误!错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!，故选A．3．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－错误!e2，b＝e1－错误!e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．其中，向量a，b一定共线的是A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：选A．对于②，b＝－a，有a②b；对于②，b＝－2a，有a②b；对于②，a＝4b，有a②b；对于②，a与b不共线．4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．解析：由题意知a＝－错误!b．答案：－错误!。

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第三十八课时向量的线性运算
课前预习案
考纲要求
1.了解向量的实际背景。

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

3.理解向量的几何表示。

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

基础知识梳理
1．向量的有关概念
名称定义
备注
向量
既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或
称____)
平面向量是自由向量
零向量长度为____的向量；其方向是任
意的
记作____
单位向量长度等于________的向量非零向量a 的单位向量为
||
a a
平行向量方向____或____的非零向量 0与任一向量____或共线
共线向量
______________的非零向量又叫
做共线向量
相等向量长度____且方向____的向量两向量只有相等或不等，不能比
较大小相反向量
长度____且方向____的向量
0的相反向量为0
2.向量运算定义
法则(或几何意义)
运算律加法
求两个向量和的运
算
(1)交换律：
a b +=______
.(2)结合律： (a b +)＋c ＝
____________
减法
求a 与b 的相反向
量－b 的和的运算叫做a 与b 的差
______法则
a －
b ＝a ＋
(－b )
的
方向____；当
λ＝0______ 3.共线向量定理
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得=
b a λ，则向量b 与非零向量a 共线．
1.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使
||||
a b
a b =
成立的充分条件是( ) A ．a b =- B ．//a b C ．2a b =
D ．//a b 且||||a b =
2.在平行四边形ABCD 中
,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则
λ=_________.
3．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=
,BC BE 3
2
=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.
课堂探究案
考点1 向量的有关概念【典例1】判断下列各命题是否正确. （1）若||a =||b ，则a =b ;
（2）若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；（3）若a ∥b ,b ∥c ，则a ∥c ;
（4）两向量a ,b 相等的充要条件是：|a |=|b |且a ∥b ；
【变式1】判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等；
(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(5)向量AB →与向量CD →
是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；其中假命题的个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 考点2 平面向量的线性运算
【典例2】设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( )
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.PA →＋PB →＋PC →
＝0
【变式2】平行四边形OADB 对角线交点C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →
＝b ，用a 、b 表
示OM →、ON →、MN →
.
考点3 平面向量共线定理及应用
【典例3】设两个非零向量1e
和2e 不共线．
(1)如果AB →＝1e －2e ，BC →＝31e ＋22e ，CD →
＝－81e －22e ，求证：A 、C 、D 三点共线； (2)如果AB →＝1e ＋2e ，BC →＝21e －32e ，CD →
＝21e －k 2e ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．
【变式3】设1e ，2e 是两个不共线的向量，则向量m ＝－1e ＋k 2e (k ∈R)与向量n ＝2e －21e
共线的充要条件是 ( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2
D ．k ＝
2
1
当堂检测
1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝3BP →
，则 ( )
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.PA →＋PB →＋PC →
＝0 2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B.k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向
课后拓展案
组全员必做题
1．给出下列命题：
①两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ②λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为 ( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
2．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
＝____________. 3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中正确命题的序号是________．
组提高选做题
1.ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（）
A ．1133
a b -
B ．
2233
a b - C ．
33
55
a b - D ．
44
55
a b - 2.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝，AP →＝λPD →
，则实数λ的值为________．
参考答案
1.C
2.2
3.
12
；
【典例1】（1）不正确；（2）正确；（3）不正确；（4）不正确. 【变式1】B 【典例2】B
【变式2】1566OM a b =+，2233ON a b =+，11
26
MN a b =-. 【典例3】（1）略；（2）4
3
.
【变式3】D
1.D
2.D
组全员必做题1.B
2.
1
2
a b -+
3. ④
组提高选做题
1.D
2.-2
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高考数学一轮复习 38 向量的线性运算学案 理