离散数学(7.8根数及其应用 习题)

习题七
• １. 试找出附图的一个真子图、 生 成子图， 并找出它们的补图。 • ２. 对于（n， n＋１）图G， 证明 G至少有一个结点的度数大于等于３。 • ３. 证明附图中两个图同构。
第 1 题 附图
第 ３ 题 附图
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*４. 证明任意的９个人中一定有３个人 互相认识或者有 ４个人互相不认识。 ５. 给定图G（见附图）， 求 1) 从A到F的所有通路。 2) 从A到F的所有迹。 3) A和F之间的距离。 4) 指出图G中所有的圈。
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【例 7.6.2】假设有一台计算机， 它有一条加法指令， 可计算 3 个数 之和。 如果要求 9 个数x1， x2， …， x9之和， 问至少要执行几次加法指 令？ • 解: 用 3 个结点表示 3 个数， 把 9 个数看成树叶， 将表示 3 数之和 的结点作为它们的父亲结点。 这样 本问题可理解为求一个完全三叉树 的分枝点的个数问题。
图 7.6.3
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【例7.6.1】甲、 乙两人进行球赛， 规定三局两胜。 图7.6.4表示了比 赛可能出现的各种情况（图中结点 标甲者表示甲胜， 标乙者表示乙 胜）， 这是一棵完全二叉树。
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图7.6.4
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定理7.6.1 在完全m叉树中， 若树叶 数为 t， 分枝点数为 i， 则 (m-1)i＝t-１ 证明: 由假设知， 该树有 i+t 个结点， 由定理 7.5.2 知， 该树边数为 i+t -１。 因为所有结点出度之和等于边 数所以根据完全m叉树的定义知， mi＝ i+t -
第 13 题
附图
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14. 判断附图中两图是否能一笔画。 15. 如附图所示， ４个村庄下面 各有一个防空洞A， B， Ｃ， D， 相邻 的两个防空洞之间有地道相通， 并且每 个防空洞各有一条地道与地面相通。 能 否安排一条路线， 使得每条地道恰好走 过一次， 既无重复也无遗漏？
第 14 题 附图
【例7.6.5】求带权7， 8， 9， 12， 16的最优树。 • 解 : 全部过程见图 7.6.13(a) ～ (d)。
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图7.6.13
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小结：本节介绍了有向树、根树、m叉 树、完全 m 叉树、二叉树、带权树、树 的权、最优 二叉树等概念及完全 m 叉树的 枝结点数和 叶结点数之间的关系和最优二 叉树的 Huffman算法。
第 25 题 附图
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28. 证明在完全二叉树中， 边的 总数等于２(n－１)， 这里n是叶子数。 • 29.对权１， ２， ３， ４， ５， ６， ７， ８， ９构造一棵最优二叉树。 •
图 7.6.6
• 7.6.3 最 优 二 叉 树 (optimal binary
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tree ) • 定义7.6.6 设有一棵二叉树， 有ｔ 片 树 叶 。 使 其 树 叶 分 别 带 权 w1 ， w2， …， wt的二叉树称为带权的二 叉树。 • 定 义 7.6.7 设 有 一 棵 带 权 w1 ， t w2， …， wt的二叉树, 权为wi的树叶 W (T ) i L(i ) 的层为Ｌ（wi）。 i 1 2) 在所有带权w1， w2， …， wt的二叉树中， W(T) •最小的树称为最优二叉树。 1) 该带权二叉树的权W（T）定义 为
则人们总能通过连接的公路， 在任何两个城市之间旅行。
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*９. 用迪克斯特拉算法求附图中从 点ａ到其它各结点的最短路径， 并用图示 表示算法中每一次的执行情况。
第 ９ 题 附图
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10. 已知图G的邻接矩阵如下
0 1 A 0 1 0
请画出G的图形。
1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
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如图 7.6.2(a) 表示一棵根树 ， 其中v1为树根， v1， v2， v3为分枝点， 其余结点为树叶。 习惯上我们把根树 的根画在上方， 叶画在下方。 这样就 可以省去根树的箭头， 如图 7.6.2(b) 。 在根树中， 称从树根到结点 v 的距离 为该点的层次。 这样对图7.6.2中的根 树， v1的层次为０， v2、 v3的层次 为１， 其余结点的层次均为２。 我们 用家族关系表示根树中各结点的关系。
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在现实的家族关系中， 兄弟之间 是有大小顺序的， 为此我们又引入 有序树的概念。 • 定义7.6.4 如果在根树中规定了每 一层次上结点的次序， 这样的根树 称为有序树。 我们在有序树中规定 同一层次结点的次序是从左至右。 •
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• 7.6.2 m叉树(m-ary tree ) • 在树的实际应用中， 我们经常研究 完全m叉树。 • 定义 7.6.5 在根树中， 若每个结点 的出度小于或等于 m， 则称这棵树为 m叉树。 如果每个结点的出度恰好等 于０或 m ， 则称这棵树为完全 m 叉树。 二叉树(binary tree )的每个结点v 至 多有两棵子树， 分别称为 v 的左子树 和右子树。
第 15 题 附图( 表示地道)
• 16. 画一个图， • 1) 使它有一条欧拉回路和一条汉密尔 顿回路。 • 2) 使它有一条欧拉回路但没有汉密尔 顿回路。 • 3) 使它没有欧拉回路但有汉密尔顿回 路。 • 4) 使它既没有欧拉回路也没有汉密尔 顿回路。 • 17. 附图中的图G是否是汉密尔顿图。
第 20 题 附图
第 21 题 附图
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20. 用标号法指出附图中的图G中 没有汉密尔顿路。 21. 对于附图中的图， 如何从ａ 点开始， 根据最邻近方法求具有最小权 的汉密尔顿回路。 22. 证明： 图G为森林的充要条 件是 m＝n－W(G) 其中W(G)是G的连通分支数， n 为G中结点数目， m为边数。
第 17 题 附图
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18. 完全图Kn是否是欧拉图， 是 否是汉密尔顿图。 19. 设 G 是一个具有 n 个结点的简 单无向图（n≥３）， G的结点表示人， G的边表示他们间的友好关系， 若两个 结点被一条边连接， 当且仅当对应的人 是朋友。 1) 一个结点的度数可作何解释？ 2) 对G是连通图这一事实应作何 解释？ 3) 对G是汉密尔顿图又可作何解
第 ５ 题 附图
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６ . 设 G 是有 n 个结点的简单图。 如果 G 中每一对结点度数之和大于或等 于n－１， 那么G是连通图。 • ７. 对于任何简单图G， 证明或者 G是连通的， 或者G的补G 是连通的。 • *８. n个城市由k条公路网连接 （一条公路定义为两个城市间的一条道 路， 并且它们之间不能通过任何中间城 1 k ( n 1)( n 2) 市）。 证明： 如果有 2
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11. 求出附图中有向图的邻接矩 阵A， 找出从ｖ1到ｖ4长度为２和４的路， 用计算 A2， A3， A4来验证这一结论。 并求出该图的可达性矩阵。 • 12. 求证： 在任意一个有向图中， 所有结点的入度之和等于它们的出度之 和。 • 13. 试求出附图中所有的强分图、 弱分图和单向分图。
第 11 题 附图
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1952 年哈夫曼给出了求带权 w1 ， w2， …， wt的最优树的方法: • 令S={w1，w2，…，wt}，w1≤w2≤…≤wt， wi是树叶vi所带的权（i=1，2，…，t）。
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（ 1 ）在 S 中选取两个最小的权 wi ， wj ， 使它们对应的顶点 vi，vj做兄弟，得一分 支点vij，令其带权 • wij =wi+wj。 • （2）从S中去掉wi，wj，再加入wij 。 • （3）若S中只有一个元素，则停止，
7.6 根树及其应用(Rooted Trees and Its Applications)
• 7.6.1 有向树(directed tree ) • 7.6.2 m叉树(m-ary tree ) • 7.6.3 最 优 二 叉 树 (optimal binary tree )
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7.6.1 有向树(directed tree )
• 【例7.6.4】 8 枚硬币问题。 若有 8 枚 硬币a， b， c， d， e， f， g， h， 其中 7 枚重量相等， 只有 1 枚稍轻。 现要求以天平为工具， 用最少的比较次 数挑出轻币来。 • 解: 可用图7.6.6所示的树表示判断过 程。 • 从图中可知， 只需称 2 次即可挑 出轻币。 这种用于描述判断过程的树叫 判定树。
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由定理7.6.1知， 有 (３-１)i ＝９-１ • 得 i＝４ • 所以要执行 4 次加法指令。 • 图7.6.5表示了两种可能的顺序。
图 7.6.5
• 【例 7.6.3】设有２８盏灯，拟公用一 个电源，则至少需要多少个４插头的接 线板 ? • 解:把 28盏灯看成树叶， 将４插头的 接线板看成分枝点 , 这样本问题可理解 为求一个完全四叉树的分枝点的个数 i 的问题。 • 由定理7.6.1知， 有 (4-１)i＝28-１ • 得 i＝9 • 所以至少需要9个４插头的接线板 。
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23. 证明具有m条边的连通图最多具有 m＋１个结点。 24. 一棵树有两个结点度数为２， １个 结点度数为３， ３个结点度数为４， 其余 结点度数均为１， 问该树有几个度数为１ 的结点？
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25. 对 于 附 图 ， 利 用 克 鲁 斯 克 尔
（Kruskal)算法求一棵最小生成树。
26.两人进行乒乓球比赛。 如果一人连
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图 7.6.1
7.6.1 有向树(directed tree )
• 定义 7.6.1 一个有向图， 若不考虑 边的方向， 它是一棵树， 则这个有向 图称为有向树。 一棵有向树， 如果恰 有一个结点的入度为０， 其余所有结 点的入度都为１， 则称为根树， 其中 入度为０的结点称为树根， 出度为０ 的结点称为树叶， 出度不为０的结点 称为分枝点或内点。
图 7.6.2 根树示例
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定义7.6.2 在根树中， 若从vi到 vj可达， 则称vi是vj的祖先， vj是vi的 后代； 又若〈vi， vj〉是根树中的有 向边， 则称vi是vj的父亲， vj是vi的儿 子； 如果两个结点是同一结点的儿子， 则称这两个结点是兄弟。 定义7.6.3 在根树中， 任一结 点 v 及其 v 的所有后代和从 v 出发的所 有有向路中的边构成的子图称为以v为