2006年高考第一轮复习数学：2.1函数的概念

第二章函数

•网络体系总览

•考点目标定位

1•理解函数的概念，了解映射的概念•

2•了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法

3•了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反

函数•

4•理解分数指数幕的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质•5•理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质

6•能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题

•复习方略指南

基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石•求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2004年第2题），也有综合考查（如江苏2004

年第22题）•函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2004年W,北京2005年春季理2）,应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力•配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，

这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试

题改革的发展趋势•

特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现•复习本章要注意：

1•深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化•

2•掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等

3•二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽•二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题•

4•含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏•

5•利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视

2.1 函数的概念

•知识梳理

1•函数的定义：设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系

f ，使对于集合 A

中的任意一个数 X ,在集合B 中都有唯一确定的数 f (x )和它对应，那么就称 f:A T B 为从 集合A 到集合B 的一个函数，记作 y=f (x ), x € A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围 A 叫 做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {f (x ) |x € A}叫做 函数的值域•

2•两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域

A 、值域C 和对应法则f.当函

数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定

.因此，定义

域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同 时，这两个函数才是同一个函数

.

3.映射的定义：一般地，设 A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f ,对于集合 A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应， 那么，这样的对应(包括集合A 、 B ,以及集合A 到集合B 的对应关系f )叫做集合 A 到集合B 的映射，记作f:A T B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求

A 、

B 非空且皆为数集.

特别提示

函数定义的三要素是理解函数概念的关键， 用映射的观点理解函数概念是对函数概念的 深化.

•点击双基

1. 设集合A= R ,集合B=正实数集，则从集合 A 到集合B 的映射f 只可能是 A. f ：x T y=|x| C.f ：X T y=3 x D.f ：x T y=log 2 ( 1+|x|)

解析：指数函数的定义域是 R ，值域是(0, + R ),所以f 是X T y=3—x .

答案：C

2. 设 M={x|— 2< x w 2} , N={y|0W y < 2}，函数 f (x )的定义域为 M ，值域为 N ,则 f ( x ) 的图象可以是

解析：A 项定义域为[—2, 0], D 项值域不是]0, 2], C 项对任一 x 都有两个y 与之 对应，都不符.故选B.

答案：B

B.£X T y=

x

3. (2004年全国I,理2)已知函数f (x ) =lg 1 - %，若f ( a ) =b ,则f (- a )等于 1 +x

1

1

A.b

B. — b

C.—

D.—

b

b

解析：f (- a ) =lg 1——a =— |g-——a = — f ( a ) =— b.

1-a 1 +a

【答案】B

4. ( 2004年全国川，理 5)函数y= dog 1 (x 2 1)的定义域是

V 2

A. [- J2 , — 1)U( 1 , 42:

B.(— 3 , — 1) U( 1 , V 2 )

C. :— 2,— 1)U( 1, 2]

D. (— 2, — 1)U( 1, 2)

卜2

-1>0

"2

x >1

"2彳

x >1

X >1或 X £ —1

厂

解析:^log 1(x 2 -1) >0^」

2 二」 x 2 —1 兰1 2二丿 x 2兰2

L

一= - " W x v — 1

-42

2

或 1 V x W .2.

• • y = |og 1 (x -1)的定义域为]—2 , — 1) U( 1,、- 2 ].

V 2

答案：A

5. ( 2004年浙江，文9)若函数f (x ) =loga (x+1) ( a > 0, a 丰1)的定义域和值域都是 [0, 1 ],则a 等于

1

匚

v'2

A. -

B. 、2

C.

D.2

3 2

解析：f (x ) =log a (x+1)的定义域是]0, 1], • 0 1 时，0=log a 1 W log a (x+1 )< log a 2=1 ,• a=2;

当 0V a v 1 时，Iog a 2w log a (X +1)W log a 1=0，与值域是]0, 1 ]矛盾. 综上，a=2. 答案：D •典例剖析

【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1) f (x ) = i x 2 , g (x ) = 3 x 3 ;

2n 1 2n 1

/ 、

/ 2nd 、 2n — 1

*、

(3) f (x ) = x , g (x ) = ( x )

( n € N );

(4) f (x ) =、、x 、x 1 , g (x ) =、x 2 x ; (5) f (x ) =x 2-2x — 1, g (t ) =t 2— 2t - 1.

剖析：对于两个函数 y=f (x )和y=g (x ),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都

相同时，y=f (x )和y=g (x )才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完 全相同，反之亦然•

解：(〔)由于f (x ) = X 2 =|x|, g ( X )= 3 x 3 =x ,故它们的值域及对应法则都不相同，

(2) f (x )=凶,g (x )

x

一

1

x _0,

x ：：0;