三方军备竞赛数学模型

东北大学秦皇岛分校

数学建模课程设计报告

三方军备竞赛模型及其

改进分析

学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

学号*******

姓名燕云

指导教师刘超张尚国

成绩

教师评语：

指导教师签字：

2013年7月15日

1 绪 论

1.1背景

军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛。各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。是一种预防式的军事对抗。近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。

资料显示，几乎所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。1979年加拿大人理查森研究了1816-1965年间99件国际争端[1]得到了理查森军备竞赛模型。这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中，军备竞赛是一个很重要的原因。例如，甲乙两国是敌对国家，乙国感到甲比他强大，就会为了自身的安全而增加预防开支，扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己，为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。 1.2 预备知识

在解决这一类模型时，我们常常要求解一些三次方程。所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。

1.

实系数一元三次方程320x ax bx c +++=的根具有负实部的充要条件是：若0c >有0,a a bc >>成立。 2.

理查森军备竞赛模型（两国家）：

两国家的理查森军备竞赛模型如下：

()x ()t x ky g

y t y lx h αβ⎧

=-++⎪⎨

⎪=-++⎩

甲乙两方在时刻t 的军备数量分别是()(),x t y t ，在一方军备增加时，另一方军备也增加，设甲的增长速率为k ，乙的增长速率为l 。同时，由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。设甲的制约系数为α，乙为β。两方都有

增加军备的能力设为g ，h 。

2 正文

2.1理查森三方军备竞赛模型 2.1.1 模型建立

理查森三方军备竞赛模型种国家间关系如图2.1。

图2.1理查森三方军备竞赛模型种国家间关系图

设甲、乙、丙三方时刻t 的军备数量分别为()x t ，()y t ，()z t ，模型如下：

()()()x t ax ly mz g y t by kx mz h z t cz kx ly f ⎧

=-+++⎪⎪

=-+++⎨⎪

⎪=-+++⎩

其中a 、b 、c 分别表示三方的自身制约程度；l 表示该方受乙方的刺激程度的度量，k 表示该方受甲方的刺激程度的度量，m 表示该方受丙方的刺激程度的度量。g 、h 、f 是己

方军备竞赛的固有潜力。

2.1.2 模型分析 我们令

000ax ly mz g by kx mz h cz kx ly f -+++=⎧⎪

-+++=⎨⎪-+++=⎩

MATLAB 软件程序如下：

syms a l m b k c k f g h ; A=[-a l m;-b k m;-c k l]; B=[-g;-h;-f]; rref([A,B])

得到的结果如下：

图2.2平衡点系数结果

由此我们可以得到平衡点：

0000(,,)

P x y z ，其中

202kgl kgm kmf kmh mlf l h x lah l b cmk mka mkb mcl -+++++=

-+++-- 02lha amf mcg hcm gbl mbf y lak l b cmk mka mkb mcl -+++++=-+++-- 02fak fbl cgk kah kbg clh z lak l b cmk mka mkb mcl ----++=

-+++--

为求解平衡点

0000(,,)

P x y z 的平衡条件，记方差的系数矩阵为：

a l m B

b k

m b l

k -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

矩阵B 的特征方程为det()0I B λ-=，即

a c m

b k m c

l

k

λλλ+----=--

化简得：

3222(2)(2)0k a k ml ak bc cm ak aml bml bck cmk λλλ-++--+++-+--=

故，若要求平衡点稳定需满足：

22220202(2)()a k k ml ak bc cm a k k ml ak bc cm ak aml bml bck cmk -<⎧

⎪

--++>⎨⎪-<--++-+--⎩

2.2模型的数值模拟

当a=0.5,b=1,c=0.8,k=0.3,m=1,l=0,f=1,g=1,h=1时求解上述模型的数值解。 利用MATLAB 程序

a=0.5;

b=1;c=0.8;k=0.3;m=1;l=0;f=1;g=1;h=1; A=[-a l m;-b k m;-c k l]; B=[-g;-h;-f]; rref([A,B])

得到结果如下：

图2.3平衡点结果

进而可以知道平衡点0(3.3333,5.5556,0.6667)

P=

进一步利用MATLAB

ts=-20:0.5:20;

x0=[1,1,1];

[t,x]=ode45('shier',ts,x0);

plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),gtext('z(t)')

得到图像：

图2.4军备竞赛趋势图

2.1.3 模型的局限性

此模型中，对于自身的约束较弱，不能很好的反映生活中一个国家自身对自身军备复杂的影响因素；同时，在一个地区中，国与国的军备竞赛不仅仅是依赖于自身和对方的军事实力，也在很大程度上取决于对方国家的同盟国家的影响力，故此，这样的模型只能简单的反映几个国家短期的、简单的军备竞赛的情况。

2.2 带Logistic项的改进模型

我们对一个国家对自身的约束做一个改进，一个国家的发展必然会受到地区和自身国家的约束，所以在自身影响的部分我们加入Logistic阻滞增长模型的思想，设一国家自身影响部分为：

()(1)x

x t ax

N

=--