高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案

空间向量与立体几何经典题型与答案

1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90

底面ABCD ,且

1

2

PA AD DC ===

，1AB =,M 是PB 的中点 (Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ; （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角;

（Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小

证明:以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M

(Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故

由题设知AD DC ⊥,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面

PCD 上,故面PAD ⊥面PCD

（Ⅱ）解:因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

.

510

|

|||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PB

AC PB AC PB AC PB AC 所以故

（Ⅲ)解:在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=

..2

1

,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC

要使14

,00,.25

AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得

),5

2

,1,51(),52,1,51(,.

0),5

2

,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为

所求二面角的平面角

30304||,||,.555

2

cos(,).3||||2

arccos().

3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =

==-∴==-⋅-故所求的二面角为

2 如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,

平面VAD ⊥底面ABCD

（Ⅰ)证明:AB ⊥平面VAD ；

(Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小

证明:以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系

（Ⅰ)证明:不防设作(1,0,0)A ，

则(1,1,0)B ， )2

3

,

0,21(V , )2

3

,0,21(),0,1,0(-==VA AB

由,0=⋅VA AB 得AB VA ⊥，又AB AD ⊥,因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ,AD 都垂直

∴AB ⊥平面VAD

(Ⅱ）解:设E 为DV 中点，则)4

3,

0,41(E ， ).2

3,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA

由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得 因此，AEB ∠是所求二面角的平面角,

,7

21

|

|||),cos(=

⋅⋅=

EB EA EB EA EB EA 解得所求二面角的大小为.721arccos

3 如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底

V

面ABCD ，3AB =，1BC =,2PA =, E 为PD 的中点

（Ⅰ)求直线AC 与PB 所成角的余弦值;

(Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ,使NE ⊥面PAC ，

并求出点N 到AB 和AP 的距离

解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、

(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、

(0,0,2)P 、1

(0,,1)2

E ,

从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则

,147

37

23|

|||cos =

=

⋅⋅=

PB AC PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为

14

7

3 (Ⅱ)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则

)1,2

1

,(z x NE --=,由NE ⊥面PAC 可得,

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021

3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.

0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为3

1,6

4 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所

截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====

(Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离

解:（Ｉ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ,(2,4,0)B