岩石低周疲劳损伤模型与损伤变量表达方法

式中： φ 为自由能密度函数； σ 为轴向应力；E 为 弹性模量；D 为损伤变量； ρ 为材料密度；K 为与
第6期
李树春等：岩石低周疲劳损伤模型与损伤变量表达方法
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加载时， 直至应力达到前次卸载前的最高应力点时， 材料才再次产生新的塑性变形，这个应力点在低周 疲劳时一般与初始屈服点不同，称为后继屈服点， 这就是材料的硬化特性。因此，在构造低周疲劳损 伤模型时，要考虑材料的这一特性。为此，引入硬 化参量 h，对式（4）和式（5）进行修正，假设硬 化参量 h 是应力幅度 δσ = σ max −σ min 和循环数 N 的 幂函数，即
为
D3 σ2 −D2 = ( p − p 0 ) + C1 3 2 EQ
h = (δσ ) f N f
（9）
D+
即式（4）可转化为
p = p = f ε σ f −1σ f f F (1− D) (δσ )a N c
（17）
（10）
当 p = p 0 时，D =0，代入式（17） ，得 C1 =0。 设 d 点为疲劳破裂点，p d 为疲劳破裂点处的累 积塑性应变，当 p = p d 时，D =1，代入式（17） ，得
山压力显现，以及老顶悬臂周期性折断出现的工作 面周期来压造成的冒顶事故，多数可归结为岩石的 低周疲劳行为，对于老顶和工作面周期来压，如不 进行矿压观测和顶板来压预报并及时采取防护措 施，将发生大冒顶事故。在岩石（体）与混凝土工 程领域，周期载荷作用下岩石与混凝土的疲劳损伤 特性与工程的长期稳定性密切相关，因此，有必要 对岩石和混凝土的疲劳损伤特性进行深入研究。 在混凝土疲劳研究方面，AL-GADH 等[1]对高强 混凝土单调和疲劳损伤进行了探讨并建立了高强混 凝土单调和疲劳加载的损伤模型。律文田等[2]基于
1 引 言
一般情况下，小尺度地震活动序列引起的岩石 （体）或混凝土工程破坏类似由低应力到高应力的 多级反复动荷载的疲劳过程，在个别强震中会直接 引起短周期的反复动荷载的破坏现象。在多级周期 （循环）荷载的疲劳过程中，高应力的循环荷载是 岩石或岩体疲劳破坏的决定因素，因为，岩石疲劳 破坏存在应力门槛值，低于应力门槛值的疲劳过程 一般不会造成岩石破坏。其次，在采矿工程中，老 顶初次来压后随着回采工作面推进出现的周期性矿
=⎛ Y ⎞ p D ⎜ ⎟ ⎝Q⎠
q
（6）
dD 式中： 为每个周期的损伤量； N 为循环数；σ max dN 和 σ min 为循环中最大与最小应力。
对于周期性循环载荷，边界条件为
[8]
N＝0 时，D＝0； N＝NF 时，D＝1。
其中， NF 为岩石达到疲劳破坏时的循环数。 对式 （6） 积分并代入边界条件得
收稿日期：2007-10-12 基金项目：国家自然科学基金项目（No. 50574108） ；教育部博士点基金资助项目（No. 20060611006） 。 第一作者简介：李树春，男，1971 年生，博士，主要从事岩土力学及工程方面的研究。E-mail: lsch2008@yahoo.com.cn
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[4] [3]
D 无关项。 损伤耗能率可以下式给出 ∂φ 1 ⎛ σ ⎞ Y = −ρ = ⎜ ⎟ ∂D 2 E ⎝ 1− D ⎠
2
（3）
假设微观塑性应变与有效应力呈幂指数关系， 单向加载时，微塑性应变率方程为
p = p = f ε σ f −1σ F f (1− D) f
（4）
p 为微塑性应变率；F 为载荷力； σ 为应力 式中： ε 率； f 为参数。 由式（1） 、 （3） 、 （4）得单向加载损伤发展方程
Low cycle fatigue damage model and damage variable expression of rock
LI Shu-chun，XU Jiang，TAO Yun-qi，TANG Xiao-jun，YANG Hong-wei
(Key Laboratory for the Exploitation of Southwest Resources & the Environmental Disaster Control Engineering, Ministry of Education, Chongqing University, Chongqing 400044, China)
⎛ N ⎞ b+1 D =1− ⎜1− ⎟ ⎝ NF ⎠
伤模型完全相同。 2.2 低周疲劳
1
（8）
这一方程与潘华等[3]建立的混凝土高周疲劳损
φ=
σ2
2 ρ E (1− D )
+K
（2）
低周疲劳载荷值高，材料所能承受的循环次数 就会减少，低周疲劳一般有明显的塑性变形，且伴 随着明显的硬化特征。低周疲劳循环中最大应力一 般都要超过屈服点很多，在材料屈服后卸载再重新
岩
土
力
学
2009 年
现有疲劳机和千斤顶等试验设备，研制了桩顶静载 和动载组合加载装置，对某工程混凝土预制静压桩 进行了模拟交通荷载的现场静、动载疲劳试验，分 析了静、动载对桩身轴力分布、桩身侧摩阻力和基 桩沉降的影响及其变化规律。潘华等 运用损伤力 学理论建立了混凝土高周疲劳损伤模型以及损伤变 量表达式，并对模型参数确定的方法进行了研究。 在岩石疲劳研究方面，葛修润等 通过试验揭 示了循环荷载作用下岩石不可逆变形发展的 3 阶段 规律。Ray 等[5]探讨了循环载荷次数与应变速率对 砂岩疲劳破坏强度的影响。宋喜艳等[6]采用高频振 动疲劳试验研究了岩石的疲劳强度，得出了试验中 所用花岗岩材料的轴向应力 -应变曲线以及疲劳强 度区间，并对其疲劳现象进行了分析。左宇军等[7] 在 Instron 电液伺服材料试验机上进行了红砂岩的 单轴动、静组合加载试验，研究了受静载荷的岩石 在周期载荷作用下破坏及变形发展规律。 目前对混凝土疲劳损伤的研究较多，但对岩石 疲劳损伤研究相对较少，针对这一现状，本文以砂 岩为例，对岩石损伤变量表达方法及低周疲劳损伤 演化规律予以研究。
第 30 卷第 6 期 2009 年 6 月
文章编号：1000－7598 (2009) 06－1611－05
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.30 No. 6 Jun. 2009
岩石低周疲劳损伤模型与损伤变量表达方法
李树春，许 江，陶云奇，唐晓军，杨红伟
（重庆大学 西南资源开发及环境灾害控制工程教育部重点实验室，重庆 400044）
b−1 = σ σ D B(1− D)b
（5）
式中：b 和 B 均为与 f 相关的参数； 其中 b = f + 2q ；
B = (2 EQ )q F f / f 。
假设 D 在每一个疲劳循环周期中变化很小， 近 似认为在一个循环内 D 为常数[3
，8]
，对式（5）在一
个加载周期内进行积分便可得出每个周期的损伤量
摘
要：在岩石（体）工程领域，周期荷载作用下岩石的疲劳破坏特性与岩体的长期稳定性密切相关。针对目前对混凝土疲
劳损伤研究较多，但对岩石疲劳损伤研究相对较少这一现状，运用损伤力学方法对以累积塑性应变表达的损伤变量进行了分 析，指出了目前常用的以累积塑性应变表达的损伤变量表达式存在的理论上的缺点，建立了一种新的岩石疲劳损伤变量表达 方法。为研究岩石在疲劳荷载作用下力学性能不断劣化的过程，从连续介质损伤力学的基本理论出发，分析岩石在疲劳荷载 下的损伤发展和变形规律，并考虑岩石材料的硬化特性，推导了低周疲劳损伤演化方程，经低周疲劳试验数据分析，所建模 型可以较好地反映岩石的疲劳损伤演化规律，可用于岩石在低周疲劳荷载作用下的有限元分析。 关 键 词：岩石；疲劳；损伤；模型 文献标识码：A 中图分类号： TU 458+.3
a c
同的损伤量表达式，讨论如下，当 q =1 时，上式变为
∫0 (1− D)
D
2
dD =
1 p 2 ∫ σ dp + C 1 2 EQ p 0
（16）
为简化损伤变量表达式的推导，不考虑单个循 环中损伤变化，而只考虑损伤发展过程（如只考虑 各循环中上限应力水平损伤的演化发展） ，则可视
σ 为一常量，与累积塑性应变相互独立，则上式变
由式（1） 、式（10）可把式（5）转化为
= D σ b−1σ b B(1− D) (δσ ) a N c
（11）
Hale Waihona Puke Baidu
1 = 2 EQ 3( p d − p 0 )
[9]
[8]
NF =
（1）
bB
b b 2(b +1)(σ max ) −σ min
（7）
岩石高周疲劳损伤演化方程为
为损伤发展率；Y 为损伤耗能率； p 为累 式中： D
积塑性应变率； Q 和 q 为参数。 选用表征内部不可逆变形机制的宏观累积塑性 应变构造的损伤变量来描述损伤演化行为。在一维 状态下，自由能密度函数为
b b −σ min ) σ dD σ b−1dσ 2(σ max = 2 ∫σ max = b b min dN B(1− D) bB(1− D)
2 岩石疲劳损伤模型
2.1 高周疲劳 高周疲劳是指在低应力下岩石材料能承受很多 次（在混凝土研究中通常取 104 次）反复载荷的疲 劳现象。岩石的疲劳损伤是由每一循环中微小不可 逆损伤累积所导致的 ，如果只存在可恢复的弹性 变形，岩石是不可能疲劳破坏的。由于高周疲劳每 个周期中累积的塑性变形很小，故称为微观塑性应 变 。为建立能够用循环数表达的岩石疲劳损伤方 程，假设疲劳损伤与微塑性应变有关 。 材料在一维状态下，损伤发展率为[10]
Abstract: In the realm of rock project, the fatigue failure characteristics of rock under cyclic load and long-term stability of rock mass are closely related. At present, researches for fatigue damage of concrete are more than that for rock, in view of this situation, using damage mechanics method, the fatigue damage variable expression based on accumulated plastic strain is analyzed; according to the theoretical shortcoming of the used damage variable expression based on accumulated plastic strain, a new rock damage variable expression method is established. At the same time, in order to study the deterioration process of rock mechanical performance under fatigue load, the damage development and deformation law of rock under fatigue load are analyzed according to continuum damage mechanics; and a low cycle fatigue damage evolution equation is deduced and established considering hardening characteristics of rock; the evolution equation reflects fatigue damage evolution rule of rock well after experimental confirmation, and it can be used for finite element analysis of rock under fatigue load. Key words: rock; fatigue; damage; model