随机变量及其分布函数

则 PX a lim PX a lim F(x) Fa 0
xa0
xa0
PX a PX a PX a Fa Fa 0
Pa X b PX b PX a Fb Fa
Pa X b PX b PX a Fb Fa 0
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
例 4 设随机变量 X 的分布函数为
Fx A Barctan x x
试求常数A、B．
解：由分布函数的性质，我们有
0
lim Fx
x
lim A
x
Barctan
x
A
2
B
1
lim Fx lim A Barctan x
x
x
A
2
B
解方程组
A A
2
2
B B
0 1
得
A
1， 2
B
1
．
F x[0,1];
x2 4
（3）若x 2, 满足 X x 是必然事件，
F(x) 1
01 2 3
于是 F(x) P{X x} 1.
总之
0, x 0,
F
(
x
)
x2
4 1,
,
0 x 2, x 2.
x
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3. 性质
从以上分布函数的图象可以看出，分布函数 F(x) 具 有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．
1, 红色,
X ( )
0,
白色.
这样便将非数量的 Ω ={红色，白色} 数量化了.
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实例3 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量
X ( ) 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的 方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就 需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的 随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概 念．
2. 随机变量的引入
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实例1 • 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，
• 观察取出的3只球中的黑球的个数．
例如
：X 2X 2
表示取出2个黑球这一事件；
X 2
表示至少取出2个黑球这一事件，等等．
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实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观
察摸出球的颜色.
Ω ={红色、白色} ?
将 Ω 数量化
非数量 可采用下列方法
红色 白色
X ( )
1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
性质20 ，30不加证明了,可以直观理解. 上 页 下 页 返 回
3. 性质
10 F (x) 是一个单调不减的函数．
20 0 F(x) 1,
F(x) 1
且F() lim F( x) 0;
x
F() lim F( x) 1. x
30 F(x 0) F(x), 即 F( x)是右连续的.
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
解：（1） 若 x < 0, F(x) 0
（2）若0 x 2,
F(x) P{X x} P{X 0} P{0 X x}
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
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二、随机变量的概念
1.定义 设E是一个随机试验， Ω是其样本空间．
我们称样本空间上的函数：
X X
为一个随机变量，
ω
随机事件数量化
Ω
X
R
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说明 ⑴ 随机变量常用大写的英文字母
X、Y、Z、
或希腊字母、、、 等来表示．
01 2
另外，可以证明:
F(x) 1
3x
(1)分布函数必须满足以上 三个性质. (2)满足以上三个性质的函 数一定是某一个随机变量 的分布函数.
-1 0 1 2 3 x
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4. 用分布函数计算某些事件的概率
设 F x PX x是随机变量 X 的分布函数,
F (x) 是一个单调不减的函数，单侧极限一定存在.
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(5) 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由
于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机 变量的取值也有一定的概率规律. (6) 随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之 内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.
⑵ 对于随机变量，我们常常关心的是它的取值．
⑶ 我们设立随机变量，是要用随机变量的取值来 描述随机事件.
即随机事件数量化.
(4)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质 的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是 定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).
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2. 例子 实例4 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个结果:
1 (反面朝上),
2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1 (反面朝上)
X ( )
0 X ( 1) 0
2 (正面朝上)
1 X ( 2) 1
即 X (ω) 是一个随机变量.
随机事件数量化
X
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
o
x1
x2
x
F( x2) F( x1).
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2. 例子
例 1 设随机变量 X 的为：
P(X
1)
1 4
P(X
2)
1 2
P(
X
3)
1 4
求 X 的分布函数.
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为，
F(x) P{X x} P{} 0.
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa 0 PX b 1 PX b 1 Fb PX b 1 PX b 1 F b 0 上 页 下 页 返 回
例 3 设随机变量 X 的分布函数为
0 x 0
x 2
0 x1
试求：(1)．P X 3 F3 1
F
x
2 111321
0, 1, X ( ) 1, 2, 3,
2, 4.
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实例6 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则
X ( ) 抽得的白球数,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2.
实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
• 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别
• 记作4，5号，则该试验的样本空间为
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5
S
1， 23，，
3， 3， 4，
4 4 5
源自文库
1， 3， 5 2， 3， 5
1， 4， 5 2， 4， 5
我们记取出的黑球数为 X， 则 X 的可能取值为1，2，3．因此，X 是一个变量．
1 x2
2 x3 3 x
(2)．P X
3
F3 0
11 12
(3). P X 1
F
1
F
1
0
2 3
1 2
1 6
(4).
P
X
1 2
(5)．P2 X
4
1
F
1 2
1
1 4
3 4
F4 0 F2 1
11 12
1 12
(6)．P1 X 3 F3 0 F1 0
11 12
1 2
5 12
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X ( ) 射中目标的次数,
是一个随机变量. 且 X(ω) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
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三、随机变量的分布函数
1.概念 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}
称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x) P{X x}
注意到 X 的分布函数是一个普通函数. 对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
即当x2 x1时，F( x2) F( x1). 1
事实上，当x2 x1时，
F(x)
{X x1} {X x2} 则 F( x2) F( x1).
0 1 2 3x
20 0 F(x) 1,
且F() lim F( x) 0; x
F() lim F( x) 1. x
30 F(x 0) F(x), 即 F( x)是右连续的.
X
x -1 0 ２ ３ x
当1 x 2 时, 满足 X x 的取值为 X 1，
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例 1 设随机变量 X 的为：
P(X
1)
1 4
求 X 的分布函数.
P(X
2)
1 2
P(
X
3)
1 4
当1 x 2 时, 满足X x 的取值为 X 1，
F(
x)
P{
X
x}
P{
X
1}
1 4
.
X
-1 x ２ ３ x
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实例5 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
1 (男,男), 2 (男,女), 3 (女,男), 4 (女,女).
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
X ( 1) 0, X ( 2) 1,
可得随机变量 X(ω),
X ( 3) 1, X ( 4) 2,
但是，X 取什么值依赖于试验结果， 即 X的取值带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量．
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X 的取值情况可由下表给出：
样本点
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5 1， 3， 4 1， 3， 5
黑球数 X 3 2 2 2 2
样本点
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
黑球数 X 1 2 2 1 1
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间 Ω上的函数.
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由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间 Ω上的函数：
X X
我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值 情况来刻划随机事件．
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它
本课程只介绍离散型和连续型随机变量。
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即随机变量
X
的分布函数为
lim
x
F
(
x
)
0,
lim
x
F
(
x
)
1.
F
x
1 2
1
arctan
x
x
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四、随机变量的分类
根据随机变量可能的取值的特点，将随机变量分 为：离散型随机变量、非离散型随机变量.
根据随机变量分布函数的特点，将非离散型随机 变量分为：连续型随机变量、其它型随机变量.
当2 x 3时, 满足 X x 的取值为 X 1、2，
F(x) P{X
x} P{X
1或2}
1 4
1 2
3 4
.
当3 x时, 满足 X x 的取值为 X 1、2、3，
F( x) P{X x} P{X 1或2、3} 1. 上 页 下 页 返 回
总之
0, x 1,
F ( x) 14431,,,
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布函数 §2.2 离散型随机变量及其分布律 §2.3 连续型随机变量及其概率密度 §2.4 随机变量函数的分布
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念 三、随机变量的分布函数 四、随机变量的分类
一、随机变量的概念引入
1. 为什么引入随机变量? 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，
满足 X x 的 X 的集合为，
F(x) P{X x} P() 0.
X
（2）若0 x 2,
满足 X x 的取值为 0 X 2,
据题意 P{0 X x} k x2
若x 2, 由已知得P{0 x 2} 1
P{0
X
2}
k 22
1
k
1 4
P{0
X
x}
x2 4
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1 x 2,
2 x 3, x 3. F(x)
1
F(x)
-1 0 1 2 3
x
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例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
解：（1） 若 x < 0,