《电路》第五版原著：邱关源修订：罗先觉(内蒙古工业大学用

第八章《相量法》
重点
相
1、正弦交流电源
2、正弦交流电路
量
3、电路元件相量形式的VAR
§8 — 1 正弦交流电的基本概念
一、正弦交流电源
定义：大小、方向随时间作正弦周期性变化的电源。
1、产生
2、表示方法
A
ºI N w
ºS
X
瞬时值 u(t)=Umcos(w t +yu ) i(t)=Imcos(w t +yi)
u 波t
3、 正弦量的三要素：
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值、峰 值) Um Im、
反映正弦量的大小
(2) 角频率(angular frequency) w
w 2 f 2 T
反映正弦量的变化速度
(3) 初相位(initial phase angle) y (w t +y ) 相位
u, i
• >0， u 领先(超前)i ，
或i 落后(滞后) u。
u i
•<0， i 领先(超前) u，
或u 落后(滞后) i。
0
yu yi
相位比较
wt
特殊相位关系：
= 0 ， 同相
u, i u
i
0
wt
= ( 180o ) ，反相
u, i u
0
iw t
u, i u i
0
= + 90° 正交
=A cos（wt + y ）+ j A sin （wt+ y ）
复函数
旋转矢量在横轴的投影
与正弦量A cos（wt + y ） 相似
可以用复数表示正弦量。
表示正弦量的复数称相量。
j
w
y
0
+1
c)正弦量的相量表示: 相量的模表示正弦量的有效值或最大值 相量的幅角表示正弦量的初相位
•
u(t) 2U sin(wt y ) U Uy 相量正弦量
b) 复数运算 (1)加减运算——代数形式 (2)乘除运算——极坐标形式
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
* 旋转因子
旋转矢量
模为1
e 复数 j wt= cos wt+ jsin wt = 1∠wt 角为wt
e e 复数 j wt = A j wt
时域模型
I•
+
• UR
R
-
相量模型
时域
u, i u
i(t ) 2I cos(wt y )
i
uR (t ) Ri(t )
0
wt
2RI cos(wt y )
波形图
频域
其中：
有效值关系：UR = RI
相位关系：
•=0 u,i
同相
•
I
I
y
•
UR
RIy
相量图
I•
U•R
y
相量形式VAR ：
•
UR
R I•
反映正弦量的初始位置
规定： | | (180°)
单位： rad/s
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：|y | 。
0
t
y =0
y =/2
y =?
二、正弦交流电的优点
1、容易产生、传送、分配。（正弦世界） 2、发电机性能稳定，便于调速。 3、正弦信号经各种处理，仍为正弦量。
（如：四则运算、微分、积分）
+ u(t)
L
求：电压 u(t)。
-
解： u = u R+ u L+ u C
C
= iR
+L
di
dt
+
1
c
idt
=23 2mcos(w t + 30°) +3 3 w 2mcos(w t + 120°)
+ 1000 3 2mcos(w t - 60°)
w
三角函数的直接运算不方便。
§8 — 3 相量法的基本概念
u
=
u
R+
u L+
uC
= iR
+L
di
dt
+
1
c
idt
=23 2cos(w t + 30 )°
+3 3 w 2cos(w t + 120 )°
+ 1000 3 2cos(w t - 60 )°
w
U• = U• R+ U•L+ U• C
•
•
= IR + j w LI +
•
I
jwc
相量法小结：
相量法： 原电路
（上题）
u = u R+ u L+ u C
？ 相量等效电路
变换
？ U• = U• R+ U• L+ U• C
u
还原
U•
变换法
一、正弦量的相量表示
1、复数及运算
a) 复数 A 表示形式：
j b
|A|
y
0
A a +1
A a jb A A e jy | A | y
代数形式 极坐标形式
c) 电感 i(t) +
uL (t) L
时域模型
I• +
U•L jwL
相量模型
时域
u, i u
i(t) 2I coswt
i
u(t) L di(t)
0
wt
dt
2wL I COS(wt 90o )
波形图
频域
I• I0o
• U
jw
L
• I
有效值关系:U=w L I
其中： 相位关系: •=90° u 超前 i 90°
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解： 原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
① 正弦量 时域
正弦波形图
相量 频域 相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
w1 w2
N
线性
w非
线性
不适用 ③ 相量法用来分析正弦稳态电路。
例1. 547 10 25 ?
解：547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
三、正弦交流电路
电源：同频率的正弦交流电源。 负载：能够反映正弦交流电路中热、磁、场效应的
线性元件R、L、C、M 等。 特点：电路中的响应均为同频率的正弦量。
§8 — 2 正弦交流电量的比较及运算
一、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 定义：相位差 = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
U•
相量图
I•
相量形式VAR ： U• L jw L I•
三. 电路的相量模型 (phasor model )
L
iR
jw L
+ iL
iC
uS
C
-
R
+ U• S
• IL
-
• IR •
IC
1/jwC R
i(t) 0 时域电路
u(t ) 0
iL iC iR
L diL 1 dt C
wt
2. 正弦交流电流、电压的有效值
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imsin(w t + y )
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
wt
y
)
dt
T sin2 ( wt y ) dt
T 1 cos 2(wt y ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
有效值
例题1. 已知
i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
相量图
•
I yi yu
•
U
b) 正弦量的微分，积分运算
若：i
•
I
则：di jwI•
dt
•
idt
I
jw
例题2、（R—L—C串联电路）
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
交流电表显示量一般为有效值
i(t ) Im sin(wt y ) 2I sin(wt y ) 注意:只适用正弦量
三. 正弦量的运算
已知：i(t)=3 2mcos(w t + 30°) A
i(t) R
R=2, C=100f, L=3H,
二、相量形式的电路定律及元件的VAR特性
1、 基尔霍夫定律的相量形式
i(t) 0 u(t ) 0
设：各电压、电流为同频率的
• I
0
正弦交流量。
U• 0
2、 元件VAR特性的相量形式
a) 电压源、电流源
us
°+ - °
is
°
°
• Us
°+ - °
I•s
°
°
b) 电阻
i(t)
+ uR(t) R -
iCdt uS
R iR
1 C
iC dt
时域列写微分方程
相量模型 I• L •I C I• R
• I
0
U• 0
jw
L
•
IL
1 jw C
•
IC
U• S
•
RI R
1 jwC
•
IC
频域列写相量形式代数方程