4.3 用单纯形法求解目标规划

CB 0 P1 0 P3
cj XB x3
d1 d2 d3
j cj z j
0 0 0 P3
x3 x1
d2 d3
j cj z j
b 60 0 36 48 P1 P2 P3 60 0 36 48 P1 P2 P3
0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0 d1 d 2 d 2 d3 5d3 x1 x2 x3 d1 5 10 1 0 0 0 0 0 10 C 0 0 0P 0 P3 0 单 0 0 1 [1] -2 0 111 -1 4 4 4 0 0 0 1 -1 0 0 纯 6 6 8 0 0 0 0 0 1 -1 形 -1 2 0 0 P 6 03 0 1 0 0 表 P 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 P 0 10 1 -6 -8 0 0 0 0 1 0 20 Min Z-5 P1d5 20 2 0 0 3d 3 0 1 0 P2 P d P 1 1 -2 0 5 x P x x 6060 0 1 10 -1 0 0 1 3 2 3 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0 x1 2x2 d1 d1 0 0 [20] 0 -6 6 0 0 1 -1 s.t. 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 x1 8 x2 d 3 d 3 48 0 0 0 1 0 0 , d i ( 2 0 -20 0 x16x2 , x3 0,0 i , d0 0,0i 1,1 , 3) -6
下部的检验数，取其绝对值最大的负检验数的所在列的xs 为 进基变量。
假如仍无法确定，则选最左边的变量（变量下标小者）为进
基变量。
② 出基变量的确定： 按最小非负比值规则确定出基变量，当存在两个或两个 以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换 出变量。 ③ 主元素的确定： 出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即 为主元素． ④ 迭代变换： 同线性规划的单纯形法．得到新的单纯形表，获得一组新解 ⑤对求得的解进行分析： 若计算结果满意，停止运算； 若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数， 或者改变目标值，重新进行第1步。
3/5
1/10 -1/10 1/20 -1/20
单 纯 形 表 1
0 0 1
0 0 0
单纯形法的计算步骤：
1、建立初始单纯形表。 一般假定初始解在原点， 即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量， 按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数， 填入表的下半部 ，得检验数矩阵。 2．最优性检验 目标规划的最优性检验是分优先级进行的， 从P1级开始依次到Pk 级为止， 具体检验Pi 级目标 时，可能有下述三种情况． （1）若检验数矩阵的Pi 行系数均≥0，则Pi 级目标已达最优， 应转入对Pi+1 级目标的寻优，直到 i = k，计算结束。
目标规划求解问题过程
明确问题，列出(或修改) 目标的优先级和权系数 构造目标 规划的模型 求出
满意解
否
满意否？ 是 据此制定出
分析各项目
表完成情况
决策方案
由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是
最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解．
这时，我们应该把目标优先等级系数Pi（i = 1, 2, …, k） 理解为一种特殊的正常数，且注意到各等级系数之间的 关系：P1»P2 »…»Pk． 而检验数就是各优先因子P1, P2 ,…, Pk的线性组合。 ci - zj = ∑αkj Pk ,j=1,2,…,n ; k=1,2,…,K
min Z P1d 1 P2 (d d ) P3d 2 2 3 x1 x 2 d1 d1 0 x1 2x 2 d 2 d 2 10 8x1 10x 2 d 3 d 3 56 2x x2 x3 11 1 x1 , x 2 0, d i , d i 0 ( i 1,2,3)
1 0 0 0
-1/4
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
例：用单纯形法求解下列目标规划问题
min Z P1d 1 P2 (d d ) P3d 2 2 3 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 2x 2 d 2 d 2 10 8x1 10x 2 d 3 d 3 56 2x x2 11 1 x1 , x 2 0, d i , d i 0 ( i 1,2,3)
5 -1 4 6 0 0 -6 -1
-2/5 2/5 3/10
0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 -1
-3/5
0 0 0 -1 0 0 1 1
3/5
1/10 -1/10 1/20 -1/20
（2）若检验数矩阵的Pi 中有负系数，且负系数所在列的 前i-1行优先因子的系数全为0 ( 例如 -P2 +223 P3 <0 ) ， 可判定该检验数为负， 则选该系数（若此类负系数有多个，则可选绝对值最大者） 所在列对应的非基变量为入基变量，继续进行基变换． （3）若检验数矩阵的Pi行中有负系数，但负系数所在 列的前i-1行优先因子的系数有0，也有正数，
4．从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函
数值 每个单纯形表中常数列b，即为各基变量的相应取 值．
本题最后一个单纯形表已为最优，它对应的基本可行解：
x1=24/5, x2=12/5, x3=12, d2-=36/5，即为最优解．这
与图解法得到结果一致． 注意：在最优单纯形表中非基变量d1+和d3+的检验数都是零， 故知本题有多个最优解． 如以 d1+为入基变量继续迭代，可得单纯形表2， 如以d3+为入基变量继续迭代，可得单纯形表3．
( l1 ) (l2 ) ( l3 ) (l4 )
解：引入松驰变量 x3 , 将它们化为标准型：
Min Z P1d1 P2 d 2 P3d 3
5 x1 10 x2 x3 60 x1 2x2 d1 d1 0 s.t. 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 6 x1 8 x2 d 3 d 3 48 x , x , x 0, d , d 0, ( i 1, 2, 3) i i 1 2 3
CB 0 0 0 d 2 d3 P3
cj XB x3 x1
j cj z j
x2 12/5 P1 j c j z j P2 P3
0 0 0 0
d2
x3 x1 24/5
36/5
b 60 0 36 48 P1 P2 P3 12
0 0 0 P1 x1 x2 x3 d1 0 20 1 1 -2 0 1 0 12 0 -4 0 [20] 0 -6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -20 0 6 0全部检验数非 1 0 1 1负，计算结束。 2/5 0 0 0 0 0 -2/5 0 1 0 -3/10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Cj
0
0
0
d1 1
P1
d1 －1
P2
P2
P3
0
d 3 0
0
CB
0 P2 P3 0
XB
d1
b
0 10 56 11 0 -10 -56
x1
1 1 8 2 0 －1
x2
－1 2 10 1 0 －2
j cj z j
b 12 6 0 3 P1 P2 P3
0 x1 0 1 0 0 0 0 0
0 x3 1
1/10 -3/5 1/20
d1
P1 1
1/2 -1
0
d1
0
d2
d2
P2 0 0 -1 0 0 1 0
P3
-1 0 0 0
0
d3
1 0 0 0
d3
-1
-1/2 1 1/4
1
0 0 0 0 0 0
0
0 0 -1 1 0 0
0
0 0 1
0
0 1 0 0 0 0
0
0 -1 0 0 1 0
5/6 1/6 2/3 1/6
d1
j cj z j
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
表3
CB 0 0 0 0 cj XB
d3
d2
续单纯形表1
0 x2
0 0 0
x1 x2
单纯形表1 0 0 P1 x2 x3 d1 20 1 -5 -2 0 1 12 0 -4 [20] 0 -6 0 0 1 0 0 0 -20 0 6 0 1 1 0 0 2/5 0 0 -2/5 1 0 -3/10 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0
d1
0
d2
d2
P2
P3
d3
0
d3
min Z P1d1 P2 (d d ) P3d 2 2 3 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 2x 2 d d 10 2 2 8x1 10x 2 d 3 d 3 56 2x x x 11 2 3 1 x1 , x 2 0, d i , d i 0 ( i 1,2,3)
（例如 P2 - 3 P3 >0），即整个检验数的值可判为正
（因Pi-1» i ），故也应转入对Pi+1级目标的寻优，否则会 P 使高优先级别的目标函数值劣化．
3．基变换 ① 入基变量的确定：在Pk行，从那些上面没有 正检验数 的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就是进基变 量。
若Pk行中有几个相同的绝对值最大者，则依次比较它们各列
0 0 1
0 0 0
表2
CB cj XB b 0 x1 0 x2
10/3
4/3 4/3 10/3
续单纯形表1
0 P1 x3 d1 0
d1
0
d2
d2
P2
P3
0
d3
5/6
-1/6 2/3 -1/6
d3
0
0 0 0
x3
x1
d2
20
8 4 8 P1 P2 P3
0
1 0 0 0 0 0
CB 0 0 0 d 2 P3 d3
cj XB x3 x1
j cj z j
x2 12/5 P1 j c j z j P2 P
0 0 0 0
d2
x3 x1 24/5
36/5
b 60 0 36 48 P1 P2 P3 12
0 x1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
当所有检验数都满足最优性条件（ C j c j z j 0 ）时，从 最终表上即可得出目标规划的解．
Pk是指不同数量的很大的数 d-是松弛变量 d+是剩余变量 Pk>>MPk+1 (M是任意大的正数）
例: 用单纯形法求解下面目标规划问题:
Min Z P1d1 P2 d 2 P3d 3
s.t
5 x1 10 x2 60 x1 2x2 d1 d1 0 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 6 x1 8 x2 d 3 d 3 48 x , x 0, d , d 0, ( i 1, 2, 3) i i 1 2
0
d1
0
d2
P2
d2
P3
d3
0
d3
5 -1 4 6 0 0 -6 -1
-2/5 2/5 3/10
0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 -1
-3/5
0 0 0 -1 0 0 1 1