期权定价的二叉树模型

100
t 0
2020/1/18
121
133.1
110
108.9
99
90
89.1
81
1
2
图4-12 股票价格二叉树图
72.9
3
22
第三节 美式期权定价
0 0
10.9 100 89.1
t 0
27.1 100 72.9
1
2
3
图4-13 美式看跌期权价格二叉树
2020/1/18
23
第三节 美式期权定价
u 3 S0 u 2dS0
t 0
ud 2 S0
pud 2 S0 qd 3S0
d 3S0
1
2
3
图4-6 列示二列的股票价格二叉树图
2020/1/18
11
p pu 3S0 qu 2dS0 q pu 2dS0 qud 2 S0
u 3 S0
pu 3S0 qu 2dS0
第五章（下）：期权定价的二叉树模型
第一节 股票价格模型 第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价 第三节 美式期权定价 第四节 敲出期权定价 第五节 回望期权定价 第六节 实证数据下二叉树模型分析 第七节 N期二叉树模型的定价和对冲风险
1
第一节 股票价格模型
假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方向变动。图4-1和图 4-2采用二叉树的形式列出了可能变动的两个方向，将来的价格等于现值 与相应收益率的乘积。
2.02
0
1
2
图4-11 完整的期权二叉树图
28.1 3.9
0 0
28.1 3.9
0 0
28.1 3.9
0 0
3
第三节 美式期权定价
美式看跌期权，若：
S0 100, X 100, u 1.1, d 0.9, r 0.05
期权到期时间为
t。 3
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21
第三节 美式期权定价
S0 t 0
2020/1/18
u 2S0
u 3 S0
uS0
u 2dS0
udS0
dS0
ud 2 S0
d 2S0
d 3S0
1
2
3
图4-3 股票价格的二叉树压缩图
7
第一节 股票价格模型
二、连锁法和期望值 连锁法（后向推导）
u 3 S0 u 2dS0
ud 2 S0
t 0
1
d 3S0
2
3
图4-４ 股票价格二叉树压缩图的最后一列
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2
第一节 股票价格模型
u 1, d 1, 0 p 1
p
uS0
S0
1 p
dS0
t=0
t=1
图4-1 股票价格二叉树
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3
第一节 股票价格模型
ES1 puS0 qdS0 pu dq S0
pu qd 1, 股票价格向上漂移
节点输入值= 节点股票价格 pu qd 剩余列数
如何证明？
E Sk S0 pu qd k
如何证明？
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13
第一节 股票价格模型
简要提示： 归纳法 路径依赖
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14
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
若
S0 100, X 105,
ud 2S0 pq2 du 2 S0 p2q
dudS 0 d 2uS0
pq 2 pq 2
d 3S0 q3
p p
2qu 2qu
2 2
dS0 dS0
pq2ud 2S0 p 2 qdu 2 S0
pq 2 dudS0 pq 2 d 2uS0
q3d 3S0
图4-2 股票价格的二叉树展开图
Total ES3
u 2dS0
X
pu 2dS0 qud 2 S0
ud 2 S0 pud 2 S0 qd 3S0
p pu 2dS0 qud 2S0 q pud 2S0 qd 3S0 d 3S0
t 0
1
2
3
图4-7 列示三列的股票价格二叉树图
第一节 股票价格模型
ห้องสมุดไป่ตู้
将节点输入值中的股票价格因子分离出来，则
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8
第一节 股票价格模型
a x
b
图4-5 股票价格二叉树的一个分枝图
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9
第一节 股票价格模型
连锁法： 若x是股票未来价格a和b的期望值，则
x pa qb
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10
第一节 股票价格模型
pu3S0 qu 2dS0 pu 2dS0 qud 2 S0
u 1.1, d 0.9,
r 0.05
期权到期时间为
，t 试对3期权进行定价。
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15
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
首先构造一个三期的股票价格二叉树模型，如图4-8所示。
100
t 0
2020/1/18
121
133.1
110
108.9
99
90
89.1
81
1
2
图4-8 股票价格二叉树图
72.9
3
16
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
三期的期权价格二叉树模型
28.1 133.1 105
3.9 108.9 105
0
t 0
0
1
2
3
图4-9 列示最后一列的期权价格二叉树
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17
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
由无套利定价原则得
q er S0 Sd Su Sd
第一节 股票价格模型
E S3


pu 3
3qd

pu 2

3qd 2
pu


qd
3

S0
pu qd 3 S0
E Sk1 pu qd E Sk
E Sk1 pu qd k S0
（4-1）
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6
第一节 股票价格模型
如图4-14所示的分枝图，在节点处有两个选择：
（1）立即执行（在
）t； 2
（2）继续持有到下一期
再执t 行。3
策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。
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24
第三节 美式期权定价
10.9 V
27.1
图4-14 期权二叉树的分枝图
q er d ud
q 0.7564
（4-2）
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18
第二节 用二叉树模型进行看涨期权定价
a x
b
图4-10 期权价格二叉树的一个分枝图
2020/1/18
19
11.87
t 0
21.12
2.81
0
15.85 2.02
21.12 2.81
0
15.85
21.12 2.81

pu

qd
1,
股票价格向下漂移
pu qd 1, 股票价格没有漂移
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4
一、二叉树的重新安排
S0
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股票价格 概率 乘积
uS0 dS0
u 2 S0 udS0 duS0 d 2S0
u3S0 p3
p 3u 3 S0
u 2dS0 p2q uduS0 p2q