清华出版社 系统仿真导论 答案Chapter 2习题答案 经典的连续系统仿真建模方法学
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Chapter 2习题答案 经典的连续系统仿真建模方法学
1. 数值积分法
已知微分方程为1)0(,2=--=x t x x
，取仿真步长2.0=h ，利用RK2计算4.0=t 时x 的值。
解：RK2公式为：)
,(),()(2
121211hK x h t f K x t f K K K h
x x k k k k k k ++==++
=+，而k k k k t x x t f --=2),(
则：
h
t h x h h t hK x hK x h t f K t x x t f K k k k k k k k
k k k --+-=+-+-=++=--==)12()24()()(2),(2),(1121
故：02.016.068.01--=+k k k t x x 列表计算：
2. 仿真步长对计算稳定性的影响
0)0(,x x x x
==λ （1） 其中0<λ，讨论用梯形法计算该模型时，仿真步长h 与算法稳定性的关系。 解：梯形法计算公式的计算公式为
)],(),([2
111+++++=n n n n n n t x f t x f h
x x （2）
将（1）代入（2），有：
112112
)21()(2)(2+++++=++=++
=n n n n n n n x h x h x x h x K K h x x λλλλ （3） 即： n n x h x h )21()21(1λλ+=-+ （4）
设n x 为x 的一个仿真解，设n n x ε+为其准确解，即
))(2
1())(21(11n n n n x h x h ελελ++=+-
++ （5） （5）式减去（4）式，有：
n n h h ελλε⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=+21211
（6）
上面的（6）式可以认为描述的是一个离散时间系统，改系统稳定时，估计误差n ε会趋于零。根据离散系统稳定性要求，有：
12
121<-
+
λλ
h h （7）
显然0<λ时，上式恒成立，所以选取任何仿真步长都能使仿真稳定。
3. 仿真步长对计算稳定性的影响
已知系统模型为：
0,)0(,0<==λλx x x x
（1） 根据RK2法的计算公式，推导用RK2法计算该模型时，步长与稳定性的关系。
解：RK2的计算公式为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
++==++=+)
()
,()(2121211
h t hK x f K t x f K K K h x x n
n n n n n ， （2） 将（1）代入（2），有：
n
n n n n
n n x h hK x hK t hK x f K x t x f K )1()()(),(12121λλλλ+=+=++===， （3）
将（3）代入（2），有：
n
n n n n n x h h x h x h
x K K h x x ]2
1[])1([2
)(22
2211λλλλλ++=+++=++
=+ （4）
n x 为x 的一个仿真解，设n n x ε+为其准确解，即
)](2
1[2
21
1n n n n x h h x ελλε+++=+++ （5）
（5）式减去（4）式，有：
n n h h ελλε]2
1[2
21
++=+ （6）
上面的（6）式可以认为描述的是一个离散时间系统，改系统稳定时，估计误差n ε会趋于零。根据离散系统稳定性要求，有：
12
12
2<++λλh h （7）
4. 仿真步长对计算稳定性的影响
已知系统模型为：
0,)0(,0<==λλx x x x
（1） 根据RK4法的计算公式，推导用RK4法计算该模型时，步长与稳定性的关系。
解：
解：RK4的计算公式为
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
++=++=++==++++=+)
,()
2,2()
2,2()
,()22(6
342
3121
43211
hK x h t f K K h x h t f K K h
x h t f K x t f K K K K K h x x n n n n n n n
n n n （2） 将（1）代入（2），有：
n
n
n n
n n x h h h K x h h K x h K x t x f K )42()4
2()2
(),(43322
43
2232
21λλλλλλλλλλ+++=++=+
=== （3） 将（3）代入（2），有：
n
n
n n x h h h h x h h h h h h h x x ]24
621[)]4
2()42()2([64
4332243322
32221
λ
λλλλλλλλλλλλλ++++=++++++++++=+ （4）
n x 为x 的一个仿真解，设n n x ε+为其准确解，即
)](24
621[4433221
1n n n n x h h h h x ελλλλε+++++=+++ （5）
（8-5）式减去（8-4）式，有：
n n h h h h ελλλλε]24
621[4
433221
++++=+ （6）
上面的（8-6）式可以认为描述的是一个离散时间系统，改系统稳定时，估计误差n ε会趋于零。根据离散系统稳定性要求，有：
124
621443322<++++λλλλh h h h （7）
5. 仿真中的误差与步长
(1) 仿真过程中的误差有哪些，和仿真步长有什么关系？
舍入误差:由于不同档次的计算机其计算结果的有效值不一致，导致仿真过程出现舍入误差。步长越小，舍入误差越大。
截断误差:仿真步距确定后，数值积分公式的阶次将导致系统仿真时产生截断误差，步长相同时，阶次越高，截断误差越小；同一种算法下，步长越小，截断误差越小。 (2) RK2和RK4哪个截断误差大？ RK2截断误差大
(3) 仿真步长与仿真的稳定性及仿真计算速度之间关系是什么？ 一般来讲，步长越大，计算速度越快，但仿真稳定性越差。
在确定的积分算法下，保证计算精度和稳定的条件下，尽量选用大步长，能减少积分次数