结构动力学之两自由度体系的自由振动

确定了固有频率应满足的条件，称为频率方程或特征方程。 （eigen equation or characteristic equation）
利用这个方程可计算固有频率
2013/12/17
两自由度体系的自由振动
k11 2 m1 D k 21 k12 0 2 k 22 m2
展开上式，求得 2 的两个根为:
ij 是结构体系的柔度系数(flexibility coefficient)，
即体系在点j承受单位力时，在点i产生的位移。 设解的形式为:
y1 (t ) Y1 sin(t ) y 2 (t ) Y2 sin(t )
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sin(t )
柔度法
Y1 ( 2 m1Y1 ) 11 ( 2 m 2Y2 ) 12 2 2 Y2 ( m1Y1 ) 21 ( m 2Y2 ) 22
主振型的位移幅值 (Y1 , Y2 ) 就是结构体系在此 2 2 ( m Y , m 2Y2 ) 作用下所引起 主振型惯性力幅值 1 1 的静力位移。
y1 (t ) Y1 sin(t ) y 2 (t ) Y2 sin(t )
k11 k12 y1 0 m11 m12 y1 m k 21 k 22 y2 0 21 m22 y2
其中，A1 、 A2 、1 和 2 由初始条件确定。
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刚度法
(a)具有两个集中质量的结构体系，两个自由度 (b)为m1和 m2的隔离体图。 根据达朗伯原理， 平衡方程为：
r1 0 m1 y1 r2 0 m2 y2
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刚度法
y1 (t ) A1Y1(1) sin(1t 1 ) A2Y1( 2 ) sin( 2 t 2 ) (1) ( 2) y 2 (t ) A1Y2 sin(1t 1 ) A2Y2 sin( 2 t 2 )
2013/12/17
两自由度体系的自由振动
2013/12/17
刚度法
弹性力 r1 和 r2是质量 m1 和 m2 与 结构之间的相互作用力， 图(b)中的 r1 和 r2 是质点所受的 力，图(c)中的 r1 和 r2 是结构 所受的力，两者的方向相反。 结构所受的力 r1 和 r2 与结构的 位移 y1 和 y 2 之间应满足如下 刚度方程: r k y k y
12 y1( t ) m1 y1 11 m2 y2 22 y2 ( t ) m1 y1 21 m2 y2
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柔度法
12 y1( t ) m1 y1 11 m2 y2 j 22 y2 ( t ) m1 y1 21 m2 y2
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平衡力系法
写成一般形式：
m11 m 21
m11 m1 , k11 k1 k2 ,
k11 k12 y1 0 m12 y1 k 21 k 22 y2 0 m22 y2
m22 m2 , m12 m21 0 k12 k21 k2
对于图中结构体系，有
k22 k2 k3 ,
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平衡力系法
k11 k12 y1 0 m11 m12 y1 m k 21 k 22 y2 0 21 m22 y2
多自由度体系
对具有无限个自由度的弹性结构， 精确地处理其振动问题： 有时是非常困难的， 在某些情况下也并不必要。 在某些特定条件下可对问题作一些简化假定，使一 个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系， 使原来的问题变得容易求解， 能获得原结构体系的主要属性和特征。
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两自由度体系
k11 y1 k12 y2 0 m1 y1 k 21 y1 k 22 y2 0 m2 y2
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刚度法
r1 0 m1 y1 r2 0 m2 y2
r1 k11 y1 k12 y 2 r2 k 21 y1 k 22 y 2
针对两个自由度体系； 介绍三种常用求解的方法： 平衡力系法 刚度法 柔度法
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平衡力系法
如图，两集中质量 m1 和 m2 通过三个弹簧 k1 、 k 2 和 相 k 3 相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的 水平位移分别为 y1 (t ) 和 y 2 (t )
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1 k11 k 22 k11k 22 k12 k 21 1 k11 k 22 2 m1 m2 m1m2 2 m1 m2
2 2
正实根，仅依赖于结构体系的物理性质， 即质量和弹簧刚度。
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1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频 率 和相同的相位角 。 2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上 随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：
y1 (t ) Y1 常数 y 2 (t ) Y2
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两自由度体系的自由振动
主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称 为主振型或振动模态（normal mode）。
2 1
称为第二圆频率。
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两自由度体系的自由振动
分析频率各自对应的振型
(k11 m1 )Y1 k12Y2 0 1 D 0 2 k21Y1 (k22 m2 )Y2 0
2
Y1(1) k12 (1) Y2 k11 12 m1
Y1( 2 )和 Y2(1) 表示第二振型中质点1和2的振幅。
下标与质量 m1 和 m2 相对应， 上标表示模态号码。 由于模态方程是齐次的，所以 Y1(1) / Y2(1)及 Y1( 2) / Y2( 2) 只有相对关系。
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两自由度体系的自由振动
主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相 应的主振型作振动，称为体系的主振动。 各点同时经过静平衡位置，并同时到达最大偏 移位置，以确定的频率和振型作简谐振动。 一般情况下，体系的自由振动不是主振动， 而是两种不同频率及其振型的组合振动:
k11 y1 k12 y2 0 m1 y1 k 21 y1 k 22 y2 0 m2 y2
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柔度法
以两个自由度体系为例进行分析:
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柔度法
用柔度法建立自由振动微分方程的思路: 在自由振动过程中的任一时刻 t ，质量m1和 m2 的位移 y1 (t )和 y 2 (t ) 应当等于体系在惯性力 m1 y1 作用下所产生的静力位移。 和 m2 y2
m y ( x)
COMPANY NAME
结构动力学
第七讲 两自由度体系的自由振动
工程学院海洋工程系 刘臻
多自由度体系
多层房间的侧向振动、 不等高排架的振动、 块式基础的水平回转振动等， 作为多自由度体系进行分析。 （multi-degree of freedom system）
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r2 k 21 y1 k 22 y 2
1 11 1 12 2
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刚度法
k ij 是结构的刚度系数。
如 k12是使质点2产生单位位 移而质点1保持为零时在质 点所需施加的作用力。
r1 0 m1 y1 r2 0 m2 y2
r1 k11 y1 k12 y 2 r2 k 21 y1 k 22 y 2
( k11 2 m1 )Y1 k12Y2 0 2 k21Y1 ( k22 m2 )Y2 0
sin(t )
Y1 2 m1 k11Y1 k12Y2 0 2 Y2 m2 k 21Y1 k 22Y2 0
假设两个质点为简谐振动，上式的解设为：
y1 (t ) Y1 sin(t ) y 2 (t ) Y2 sin(t )
位移振幅 Y 和 ，以及频率 和相位角 Y 1 2 均为待定参数。
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平衡力系法
y1 (t ) Y1 sin(t ) y 2 (t ) Y2 sin(t )
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柔度法
Y1 ( 2 m1Y1 ) 11 ( 2 m 2Y2 ) 12 2 2 Y2 ( m1Y1 ) 21 ( m 2Y2 ) 22
Y m Y ) 0 1 12 2 2 2 1 21 m1Y1 ( 22 m2 2 )Y2 0 ( 11 m1 1
2013/12/17
两自由度体系的自由振动
Y1 2 m1 k11Y1 k12Y2 0 2 Y2 m2 k 21Y1 k 22Y2 0
齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零，即:
k11 m1 D k 21
2
k12 0 2 k 22Biblioteka Baidu m2
平衡力系法
根据两质量块的平衡条件，可以得到：
k1 y1 k 2 ( y2 y1 ) m1 y1 k 2 ( y2 y1 ) k3 y2 m2 y2
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平衡力系法
整理： ( k1 k 2 ) y1 k 2 y2 0 m1 y1 k 2 y1 ( k 2 k3 ) y2 0 m2 y2
( k1 k 2 ) y1 k 2 y2 0 m1 y1 k 2 y1 ( k 2 k3 ) y2 0 m2 y2
方程的全解:
y1 (t ) A1Y1(1) sin(1t 1 ) A2Y1( 2 ) sin( 2 t 2 ) (1) ( 2) y 2 (t ) A1Y2 sin(1t 1 ) A2Y2 sin( 2 t 2 )
Y1 / Y2 比值所确定的振动形式就是与第一圆频
率 1 相应的振型，称为第一振型或基本振型 （fundamental mode）
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两自由度体系的自由振动
Y Y
( 2) 1 ( 2) 2
k12 2 k11 2 m1
Y1(1) k12 (1) 2 Y2 k11 1 m1
两自由度体系的自由振动
1 k11 k 22 k11k 22 k12 k 21 1 k11 k 22 2 m1 m2 m1m2 2 m1 m2
2 2
具有两个自由度的体系共有两个自振频率， 表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或 基本圆频率（fundamental frequency）；
表示成矩阵形式：
M y K y 0
式中：
,y y1 , y2 y y1, y2
T T
m1 M 0
0 m2
k1 k 2 K k 2
k2 k 2 k3