高三数学二轮复习 428几何证明选讲(选修41) 课件 理 人教版

(1)求证：A，P，O，M 四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM 的大小． [分析] 要证 A、P、O、M 四点共圆，可考虑四边形 APOM 的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角 相等，进行等量代换，进而求出∠OAM＋∠APM 的大小．
[解] (1)证明：连接 OP，OM， ∵AP 与⊙O 相切于点 P， ∴OP⊥AP， ∵M 是⊙O 的弦 BC 的中点， ∴OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角 互补，所以 A，P，O，M 四点共圆．
∴AB＝ 8＝2 2(舍去负值)． 答案：2 2
4．(2011·广东模拟)如图所示，AB 是圆 O 的直径， CB 切圆 O 于 B 点，CD 切圆 O 于 D 点，交 BA 的延长线 于 E 点，若 AB＝3，ED＝2，则 BC 的长为________．
∵CD2＝AD·DB，∴CD＝ AD·DB＝ 2×6＝2 3.
方法二：(1)如图，在 Rt△CAD 和 Rt△BAC 中，∠A 为公共角，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴Rt△BAC∽Rt△CAD， ∴AACB＝AADC，∴AC2＝AD·AB， ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6. (2)由勾股定理得 AB＝ 42＋4 32＝8. 由三角形的面积相等得 CD·AB＝AC·BC，即 CD＝ACA·BBC＝4×84 3＝2 3. 答案：(1)6 (2)2 3
③定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成 比例，那么它们相似．
④定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似．
(3)相似三角形的性质 ①相似三角形的性质(一) (ⅰ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比． (ⅱ)相似三角形周长的比等于相似比． (ⅲ)相似三角形面积的比等于相似比的平方． ②相似三角形的性质(二)
(ⅱ)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 4．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1：圆内接四边形的对角互补． ②定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对 角．
(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个 四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
∴∠3＝∠4. 又∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠OBC＝∠ODC.
∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC＝90° ∴∠ODC＝90°， ∴DC 是⊙O 的切线．
类型六 与圆有关的比例线段 【例 6】 如图所示，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，过点 B 作两 圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E，DE 与 AC 相 交于点 P.
要点串讲
1.平行线分线段成比例定理及推论 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例． (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定
①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
第四部分 选考内容
第二十八讲 几何证明选讲(选修4－1)
考纲要求
• 1.利用平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理进行相 关推理和计算．
• 2．相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的射影定理的应 用．
• 3．应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间的关系．
考纲要求
• 4．应用圆内接四边形的性质进行推理． • 5．利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明． • 6．利用圆中的比例线段进行计算和推理．
(ⅰ)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比． (ⅱ)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．
• 3．圆周角定理 • (1)圆周角定理及其推论 • ①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． • ②推论 • (ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆
周角所对弧也相等．
∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.
(2)设 BP＝x，PE＝y.
∵PA＝6，PC＝2，
∴由相交弦定理得 PA·PC＝BP·PE，xy＝12
①
∵AD∥EC，
∴DPEP＝APCP，∴9＋y x＝62
②
由①②可得，xy＝＝43 或xy＝＝－－112 (舍去)，
∴DE＝9＋x＋y＝16. ∵AD 是⊙O2 的切线，DE 是⊙O2 的割线， ∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.
如图，若 EF∥BC，则△AEF∽△ABC.
②判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． ③判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似． ④判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似． (2)直角三角形相似的判定 ①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角 三角形．
②定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相 等，那么它们相似．
基本 图形
条件
结论
应用
相交 弦定
理
(1)PA·PB ＝ (1)在 PA、PB、 弦 AB、CD
PC·PD
PC、PD 四线段
相交于圆
(2) △ ACP ∽ 中知三求一
内点 P △BDP
(2)求弦长及角
割线 定理
切割 线定 理
(1)求线段 PA、 (1)PA·PB PAB、PCD 是 ＝PC·PD PB、PC、PD 及 ⊙O 的割线 (2)△PAC AB、CD(2)应用 ∽△PDB 相似比求 AC、
[分析]
易证△AEC ∽△ADB， 可得
[证明] ∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB，∴AADB＝AAEC， 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
类型三 直角三角形射影定理的应用 【例 3】 如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于 F，DE⊥ AB 于 E，求证：AD3＝BC·BE·CF.
高频考点
类型一 平行线(等)分线段成比例定理的应用 【例 1】 如图，F 为 ABCD 边上一点，连 DF 交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E.
求证：DG·DE＝DF·EG. [分析] 由于条件中有平行线，考虑平行线(等)分线 段定理及推论，利用相等线段(平行四边形对边相等)，经 中间比代换，证明线段成比例，得出等积式．
(2)由(1)得，A，P，O，M 四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得 OP⊥AP，由圆心 O 在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， ∴∠OAM＋∠APM＝90°.
类型五 圆的切线的性质及判定的应用 【例 5】 已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切 线，切点为 B，OC 平行于弦 AD(如图)． 求证：DC 是⊙O 的切线．
[分析] 题目中有直角三角形和斜边上的高符合直 角三角形射影定理的两个条件，选择合适的直角三角形是 解决问题的关键．
[证明] ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在 Rt△ADB 中，∵DE⊥AB，

由射影定理得 BD2＝BE·AB，
同理 CD2＝CF·AC，
∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC
5．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论： ①推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切 点． ②推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心．
6．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
7．与圆有关的比例线段
定理 名称
(1)若 AD＝2，则 BD＝________； (2)若 BC＝4 3，则 CD＝________.
解析：方法一：(1)由直角三角形的射影定理得 AC2＝AD·AB， ∴AB＝AACD2＝422＝8， ∴BD＝AB－AD＝8－2＝6. (2)AB＝ AC2＋BC2＝ 42＋4 32＝8， ∵AC2＝AD·AB，∴AD＝AACB2＝482＝2. ∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
BD
(1)PA2 ＝
PA 切⊙O 于
(1)已知 PA、PB、
PB·PC
A，PBC 是⊙
PC 知二可求一
(2)△PAB
O 的割线
(2)求解 AB、CA ∽△PCA
切线 长定
理
PA、PB 是 (1)PA＝PB (1) 证 线 段 相
⊙ O 的 切 (2) ∠ OPA ＝ 等，已知 PA
线
∠OPB
求 PB(2)求角
①
又在 Rt△ABC 中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC ②
由①②得 AD4＝BD2·DC2＝BE·CF·AB·AC ＝BE·CF·AD·BC， ∴AD3＝BC·BE·CF.
类型四 圆内接四边形性质及判定定理的应用 【例 4】 如图，已知 AP 是⊙O 的切线，P 为切点， AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于 B，C 两点，圆心 O 在∠ PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．
(1)求证：AD∥EC；
(2)若 AD 是⊙O2 的切线，且 PA＝6，PC＝2，BD＝9， 求 AD 的长．
[分析] (1) 要证AD∥EC → 可证∠D＝∠E → 寻找中间角，可连接AB
(2)
可由相交弦定 理和平行线分 线段成比例定 理求得
[解] (1)证明：连接 AB， ∵AC 是⊙O1 的切线， ∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E，
2．证明四点共圆常用的方法 一是利用圆内接四边形的判定定理，去证明四点组成 的四边形的对角互补；二是证明四点到某一点的距离都相 等． 通过四点共圆就可以在圆上使用圆周角定理，实现角 相等的转化，把分散的条件集中起来，这是进行几何推理 证明的一个重要技巧.
高考陪练
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，已知 AC＝4.
答案：∠1＝∠B或∠2＝∠C或AAEC＝AADB
3.已知如图，⊙O 和⊙O′相交于 A、B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D.若 BC＝2，BD＝4，则 AB 的长为________．
解析：∵AC、AD 分别是两圆的切线， ∴∠C＝∠2，∠1＝∠D， ∴△ACB∽△DAB. ∴BACB＝BADB， ∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.
[证明] ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC， ∵AD∥BC，∴DEGG＝AEDC， 又∵AB∥DC，∴DDFE＝BECC＝AEDC，∴DEGG＝DDEF，
即 DG·DE＝DF·EG.
类型二 相似三角形判定定理、性质定理的应用 【例 2】 如图，BD、CE 是△ABC 的高，求证：△ ADE∽△ABC.
[分析] 因为 DC 过⊙O 上的点 D，所以可连接 OD， 只要证明 DC⊥OD，因为 BC 和⊙O 切于 B，所以∠OBC ＝90°，因此只需证∠ODC＝∠OBC，而这两个角分别在 两个三角形中，只需证它们全等．
[证明] 连接 OD. ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
好方法好成绩
1.圆中关于角的三个定理 圆心角定理：圆心角等于它所对弧的度数；圆周角 定理：圆周角等于它所对弧的度数的一半；弦切角定理： 弦切角的度数等于所夹角弧度数的一半．这是三个相互 关联的定理，这三个定理通过其所对的弧建立相互关系， 是解决圆的问题中所不可缺少的工具．
在解决与圆有关的问题时，作圆的直径就可以利用直 径上的圆周角是直角，往往能使问题找到突破口．直径上 的圆周角是直角是圆周角定理的一个特殊情况，这个定理 无论在几何证明中还是在高中数学的其他地方都有重要 应用，应熟练掌握．
2.如图，D、E 两点分别在 AC、AB 上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件：________，使得 △ADE∽△ABC.
解析：∵∠A＝∠A，由两角对应相等，两三角形相 似，可添加∠1＝∠B 或∠2＝∠C；由两边对应成比例且 夹角相等，两三角形相似，可添加AAEC＝AADB.