中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆

知识要点扫描归纳

一■圆的基本概念

(1) 圆的定义：在平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。

(2) 确定圆的条件；

①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；

(3) 点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外 d > r; ②点在圆上d=r ; ③点在圆 d v r;

(4) 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。

(5) 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

(6) 等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。

(7) 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二圆中的重要定理

1. 垂径定理及其推论：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

推论1 : 一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(非直径) ；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质.

推论2:圆的平行弦所夹的弧相等.

2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论.

在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距.其中任一组量相等，则

其余三组量也分别相等.即在同圆或等圆中：

圆心角相等所对弧相等所对弦相等所对弦心距相等

3. 圆周角

①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角.

②定理及推论

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 推论4:圆接四边形定理：圆的接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角. 三、直线和圆的位置关系:

1 .直线和圆的位置关系的定义及有关概念

（一）切线的判定

1 .切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; 2. 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线; 3. 经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线. （二）切线的性质

1 .切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径;

推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2. 切线的性质:

（1）切线和圆只有一个公共点; （2）切线和圆心的距离等于圆的半径; (3) 切线垂直于过切点的半径；

(1) 直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图 1）,这时直线叫圆的割线. (2) 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图

2)

O

O

O

2

1

2

l 和O O 相离

r

O

O

r

r

d

r 2

1

l 和OO 相切 d

d r

O

如果OO 的半径r ,圆心O 割直线

l 的距离为d ,那么（1 l 和OO 相交 d r

d 3

这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.

2.

（

四、切线的判定和性

(4) 经过圆心垂直于切线的直线过切点；

(5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

五、三角形的切圆

1 .三角形的外接圆

过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形

的外心到各顶点的距离相等.

2. 外心的位置

锐角三角形的外心在三角形部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，

外接圆半彳至R — (C为斜边长)

2

3. 三角形的切圆

到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的切圆，三角形中，三个角平分线的交点，叫三角形的

心，三角形心到三条边的距离相等，心都在三角形的部.若三角形的面积为S ABC，周长为a+b+c,则切圆

. . 2S ABC . . .................................................................................... ab

半径为:r ----------------- ,当a,b为直角三角形的直角边，c为斜边时，切圆半径r ------------------------------------或abc abc

abc

r ---------------- .

2

4. 圆接四边形的性质

(1) 圆接四边形的对角互补；

(2) 圆接四边形的任何一个外角等于它的对角.

注意：①圆接平行四边形为矩形；②圆接梯形为等腰梯形.

六、切线长定理：

1 .切线长概念：

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R,叫做这点到圆的切线长.

2. 切线长和切线的区别

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以

度量.

3. 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切③O于A、B两点，①PA=PB②PO平分APB .

4 .两个结论：7^'^A X''^

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长. 1 O' 1厂" ..,