第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

[A 组 学业达标]
1．如果曲线y ＝f (x )上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有( ) A ．f ′(1)＞0 B ．f ′(1)＝0 C ．f ′(1)＜0
D ．f ′(1)不存在
解析：由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k ＝f ′(1)＝3－21－0
＝1＞0.
答案：A
2．抛物线y ＝x 2
在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，14处的切线的倾斜角是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，14满足抛物线y ＝x 2，则点M 为切点，y ′＝2x ，x ＝12时，y ′＝1，
即切线的斜率为1，故倾斜角为45°. 答案：B
3．已知曲线y ＝f (x )＝1
2x 2＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
解析：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋1
2(Δx )2＋2Δx ，所以Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2，所以f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝x ＋2.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)
＝x 0＋2.由已知x 0＋2＝4，所以x 0＝2. 答案：D
4．函数y ＝－1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，－2处的切线方程是( )
A ．y ＝4x
B ．y ＝4x －4
C ．y ＝4x ＋4
D ．y ＝2x －4
解析：因为y ′＝lim Δx →0
－
1x ＋Δx
＋1
x Δx
＝lim Δx →0
Δx
x (x ＋Δx )Δx ＝1
x 2， 所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1
2＝4，
所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，即y ＝4x －4，故选B.
答案：B
5．已知曲线f (x )＝ax 3＋1在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －1＝0，则a 等于
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：因为切点在切线上，所以3×1－f (1)－1＝0，
即f (1)＝2，又因为切点(1，f (1))也在曲线y ＝f (x )上，所以2＝a ×13＋1，即a ＝1，故选A. 答案：A
6．已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用＞连接)
解析：由导数的几何意义可知k 1，k 2分别为曲线在A ，B 处切线的斜率，而k 3＝f (2)－f (1)＝f (2)－f (1)2－1
为直线AB 的斜率，由图象易知k 1＞k 3＞k 2.
答案：k 1＞k 3＞k 2
7．已知函数f (x )＝2
x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．
解析：因为f ′(－1)＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0
2
Δx －1－aΔx ＋a －a ＋2Δx
＝lim Δx →0
2
Δx －1
－aΔx ＋2Δx
＝lim Δx →0 －aΔx 2＋aΔx ＋2Δx
Δx (Δx －1)
＝lim Δx →0
－aΔx ＋a ＋2Δx －1
＝－(a ＋2)＝1，
得a ＝－3，所以f (x )＝2
x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝0
8．已知曲线y ＝2x 2＋2，用切线斜率的定义求曲线过点P (1,2)的切线方程为________． 解析：因为Δy ＝2(1＋Δx )2＋2－2，
所以Δy Δx ＝
2(1＋Δx )2＋2－2
Δx
，
所以k ＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
2(1＋Δx )2＋2－2
Δx
＝lim Δx →0
2(Δx )2＋4Δx Δx (
2(1＋Δx )2
＋2＋2)
＝lim Δx →0
2Δx ＋42(1＋Δx )2
＋2＋2
＝1.
故曲线经过P (1,2)的切线方程是y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0
9．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．
解析：因为切线与直线y ＝3x ＋4平行，
所以斜率为3，设切点坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3.
又y′|x＝x0＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
＝lim
Δx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－3－x20－x0＋3
Δx
＝lim
Δx→0(Δx)2＋2x0Δx＋Δx
Δx
＝lim
Δx→0
(Δx＋2x0＋1)
＝2x0＋1，
所以2x0＋1＝3.
从而x0＝1，代入y＝x2＋x－3得y0＝－1，
所以切点坐标为(1，－1)．
切线的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.
10．求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．解析：显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上．
若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝lim
Δx→0f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝lim
Δx→0(1＋Δx)3－2(1＋Δx)－(－1)
Δx
＝lim
Δx→0
[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
所以切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
则k＝y0＋1
x0－1
＝
x30－2x0＋1
x0－1
＝
(x30－x0)－(x0－1)
x0－1
＝x20＋x0－1.
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
＝lim
Δx→0(x0＋Δx)3－2(x0＋Δx)－(x30－2x0)
Δx
＝3x20－2，
所以x20＋x0－1＝3x20－2，所以2x20－x0－1＝0.
因为x0≠1，所以x0＝－1
2.
所以k＝x20＋x0－1＝－5
4
，
所以切线方程为y－(－1)＝－5
4(x－1)，
即5x＋4y－1＝0.
[B组能力提升]
11．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设f(4)－f(2)
4－2
＝a，则下列
不等式正确的是()
A．a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4)
C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a
解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f(2))，
(4，f(4))两点连线的斜率f(4)－f(2)
4－2
的大小在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4，
f (4))处的切线斜率f ′(4)之间，所以f ′(2)＜a ＜f ′(4)． 答案：B
12．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相平行，则a
b 为
( )
A ．－3
B ．3 C.13
D ．－1
3
解析：y ′＝lim Δx →0
Δy Δx ＝(x ＋Δx )3－x
3
Δx ＝
lim Δx →0
3x (Δx )2＋3x 2Δx ＋(Δx )3
Δx ＝3x 2
，
因为点P (1,1)为曲线y ＝x 3上一点，所以曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3.由条件知，a
b ＝3. 答案：B
13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析：y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3
Δx ＝3x 2，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝3×12
＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2，切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，
与y 轴的交点为(0，－2)，所以S ＝12×2×23＝2
3. 答案：23
14．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．
解析：由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，由导数的几何意义知y ′＝
2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离d ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝72
8. 答案：728
15．已知曲线C ：y ＝f (x )＝1
t －x 经过点P (2，－1)，求：
(1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线的方程； (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． 解析：(1)将P (2，－1)代入y ＝
1
t －x 中得t ＝1， 所以y ＝11－x ，所以Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
＝11－(x ＋Δx )－
1
1－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x ).
所以lim Δx →0
Δy
Δx ＝
1(1－x )2，所以曲线在点P (2，－1)处切线的斜率为k ＝1
(1－2)
2
＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0.
(3)因为点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0
x 0
＝
1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0
，所以x 0＝1
2，所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，即y ＝4x . 16．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求实数a 的值及切点的坐标．
解析：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，
因为Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 2
0＋3)Δx
＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.
所以当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，
由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，
解得x 0＝－2
3或x 0＝2.
所以切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，4927或(2,3)．
当切点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，4927时，
有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23＋a ，所以a ＝12127，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， 所以a ＝－5.
综上，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，4927；
a ＝－5时，切点为(2,3).。