苏教版数学高一数学必修一练习3.3幂函数

§3.3 幂函数

一、基础过关

1．下列结论错误的个数为________．

①幂函数图象一定过原点；

②当α<0时，幂函数y ＝x α是减函数；

③当α>1时，幂函数y ＝x α是增函数；

④函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数．

2．在函数y ＝1x

2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为________． 3．函数y ＝x 12

－1的图象关于x 轴对称的图象大致是______．(填图象编号)

4．下列表示y ＝x 23

的图象的是________．(填图象编号)

5．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的个数为________．

6．函数y ＝x 12

＋x －1的定义域是________． 7．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反

比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

8．已知幂函数f (x )＝xm 2－m －3为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数(m ∈N *，且m ≥2)．

(1)求f (x )；

(2)比较f (－2 008)与f (－2)的大小．

二、能力提升

9．设a ＝5253⎪⎭⎫ ⎝⎛，b ＝5352⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝52

52⎪⎭

⎫ ⎝⎛，则a ，b ，c 的大小关系为________． 10．函数f (x )＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条

件下，α可以取值的个数是________．

11．已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝⎛⎭

⎫2，14. (1)求f (x )，g (x )的解析式；

(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )

三、探究与拓展

12．已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，

求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3

的a 的取值范围．

答案

1．3

2．1

3．②

4．②

5．1

6．(0，＋∞)

7．解 (1)若f (x )为正比例函数，

则⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，

则⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则

⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，

∴m ＝－1±2.

8．解 (1)因为幂函数f (x )＝xm 2－m －3为奇函数，且m ∈N *，

所以m 2－m －3为奇数．

因为f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，

所以m 2－m －3<0，

又m ∈N *，且m ≥2，

当m ＝2时，m 2－m －3＝4－2－3＝－1，

当m ＝3时，m 2－m －3＝3>0，

即m >3时，m 2－m －3>0.

所以f (x )＝x －1.

(2)由(1)知f (x )＝1x -，

所以f (－2 008)＝()12008--

＝－12 008

， f (－2)＝

()12--＝－12. 因为－12 008>－12

， 所以f (－2 008)>f (－2)．

9．a >c >b

10．2

11．解 (1)设f (x )＝x α，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，

∴f (x )＝x 2.

设g (x )＝x β，∵其图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴14

＝2β， 解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.

(2)

在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)．

∴①当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；

②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )；

③当－1

12．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1

又函数的图象关于y 轴对称，

∴m 2－2m －3是偶数，

而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，

∴m ＝1.

而f (x )＝x －13

在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13

等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23

故a 的取值范围为

⎩⎨⎧⎭⎬⎫

a |a <－1或23