平面向量数量积及其应用
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量，若向量 c 满足 acbc=0，求 c 的最
大值.
答案： 2
小结：将题给条件稍作变化，就能得到一个与原 题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大 家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题， 以更好的理解知识点.
例二.（数量积一第15题第2问）
已知|a|3,|b|4,且向量a 与 b 的夹角为 6 0 ，试 求 k 的取值集合，使（ ka 2b ）与（ 4a 3b ） 的夹角为钝角
1．定义：平面内两个非零向量的数量积（内 积）的定义
a b = a b cos R
向量夹角的概念：平移两个非零向量使它 们起点重合，所成图形中0≤≤180的角称 为两个向量的夹角
规定 0 与任何向量的数量积为0
2．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a
的长度与 b 在 a 方向上投影 b cos 的乘积
3．两个向量的数量积的性质：
设a ，b 为两个非零向量，e 是单位向量，
是a 与其它向量的夹角
（1） eaaeacos ；
（2） a b ab0；
（3） 特别的a a| a|2或 | a| aa ；
（4） cos = a b
；
| a || b |
4.平面向量数量积的坐标表示：
（1）设 ax1,y1,bx2,y2则 a b = x1x2 y1y2
) 1 2
x
来自百度文库，则
y
x y 2 c o s c o s (2 3 ) c o s 3 s in 2 s in ( 6 ) 2
小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用 向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为 实数计算，从而有利于问题的解决.
例三. 数量积二第10题
已知向量 a = cos,sin，向量 b = 3, 1 ，求 2a b
的最大值. 解法一（代数方法）
22
2ab 4ab4ab
444( 3cossin)
842cos()
6
4
解法二（几何方法）
如图，用 O B 表示 b ，
以O为圆心，2为半径作 圆，则2a 可看成以O为 起点，终点在圆O上的 向量，由向量减法的几 何意义可知答案为4
解答如下:
由条件得：a 2, b 1 ，a b0 ，由 x y ，得
a t2 3 b ka tb=0，即
k a 2 (t3 3 t)b 2 (t k t2 3 k )a b ∴ =0，
则有 k
t3
4
3t
则 kt2 1(t24t3)
t4
=
1 (t 2)2 4
7 4
则当 t
=-2时，k t 2
t
有最小值 7
4
小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂， 但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都 稍作化简，联系“已知的是什么?”,“所求的是 什么？”，“中间搭哪一座桥？”，很多问题 都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题涉及 关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题 往往从（1）基本不等式（2）等量代换这两个 方面去考虑.
例五 .向量应用第10题
在 ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若
AM =2，求 OA(OBOC)的最小值
分析：如图，因为 M 为 B C
A
的中点，所以O BO C2O M ,
则本题可转化成两个反向
O
B
向量数量积的最小值问题，
M
C
解答如下：
OA(OBOC)=2 OAOM=-2OAOM
由基本不等式，得 OAOM
（2）把物理学问题转化为向量问题 ：数学 中的向量就是物理中的矢量，所以利用向 量可以解决物理学问题
例一 .(数量积一第9题)
设向量 a ，b ，c 是单位向量，且 a b =0 ，
求 acbc 的最小值
解：acbc
2
= ab(ab)cc
b
=1- 2cos ab,c
c
1 2
a
思考：设向量 a , b 是两个互相垂直的单位向
y
o
x B
小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合 可使问题的解决更加方便
例四.数量积二第15题
已知：a 3,1,b12, 23，存在实数 k 和 t ，使
得 xat2 3b ,y ka tb，且x y ，试求 k t 2 的 t
最小值。
分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不 可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表 示，转变为关于其中一个字母的函数来处理 .
（2） a
=（ x , y ）
2
a
= x2 y2
（3） cos = a b
=
x1x2 y1y2
|a ||b |
x12 y12 x22 y22
（4）非零向量 a b ab0 x1x2 y1y2 = 0
（注意与向量共线的坐标表示区别）
5.平面向量数量积的应用
（1）把几何学问题转化为向量问题 ：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向 量等
OA
OM 4
2=1
,
所以，所求最小值为-2
小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向 量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利 于计算.
例六 .向量应用第15题
给定两个长度为1的平面向量O A 和O B ，它们 的夹角为1 2 0 o. 如图所示，点 C 在以 O 为圆心
的圆弧 A B 上变动.若OCxOAyOB其中 x, y R ,
且（ka 2b ）与（ 4a 3b ）不平行
即 4ka26b23k8ab0且 k ≠ 8
4k9616(3k8)3410且 2
k
3
≠
8 3
∴
k
8 3
且
k
≠
8 3
思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？
小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于 化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算， 使问题得以更好的解决.
求 x y 的最大值 .
分析：因为三个向量的模
B
均为1，且已知 O A 与 O B
C
的夹角，所以，本题可
以考虑利用向量数量积
O
将向量转化为实数，同
A
时可将 x y 用三角函数
表示出来，解答如下：
设AOC，则有
OCOAxOAOAyOBOA
OCOBxOAOByOBOB
即
cos
cos(
2 3
x1 y 2
分析：两向量 a , b 的夹角公式为 cos a,b a b
ab
则当两向量的夹角为钝角时有-1< cos a,b <0
解右边不等式可得 a b <0,但左边不等式解 答比较复杂，所以，我们可以考虑在余 弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情 况，即去掉两向量平行的情况，所以本 题的解答如下：
由题意： （ka 2b）（4a 3b）<0
大值.
答案： 2
小结：将题给条件稍作变化，就能得到一个与原 题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大 家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题， 以更好的理解知识点.
例二.（数量积一第15题第2问）
已知|a|3,|b|4,且向量a 与 b 的夹角为 6 0 ，试 求 k 的取值集合，使（ ka 2b ）与（ 4a 3b ） 的夹角为钝角
1．定义：平面内两个非零向量的数量积（内 积）的定义
a b = a b cos R
向量夹角的概念：平移两个非零向量使它 们起点重合，所成图形中0≤≤180的角称 为两个向量的夹角
规定 0 与任何向量的数量积为0
2．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a
的长度与 b 在 a 方向上投影 b cos 的乘积
3．两个向量的数量积的性质：
设a ，b 为两个非零向量，e 是单位向量，
是a 与其它向量的夹角
（1） eaaeacos ；
（2） a b ab0；
（3） 特别的a a| a|2或 | a| aa ；
（4） cos = a b
；
| a || b |
4.平面向量数量积的坐标表示：
（1）设 ax1,y1,bx2,y2则 a b = x1x2 y1y2
) 1 2
x
来自百度文库，则
y
x y 2 c o s c o s (2 3 ) c o s 3 s in 2 s in ( 6 ) 2
小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用 向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为 实数计算，从而有利于问题的解决.
例三. 数量积二第10题
已知向量 a = cos,sin，向量 b = 3, 1 ，求 2a b
的最大值. 解法一（代数方法）
22
2ab 4ab4ab
444( 3cossin)
842cos()
6
4
解法二（几何方法）
如图，用 O B 表示 b ，
以O为圆心，2为半径作 圆，则2a 可看成以O为 起点，终点在圆O上的 向量，由向量减法的几 何意义可知答案为4
解答如下:
由条件得：a 2, b 1 ，a b0 ，由 x y ，得
a t2 3 b ka tb=0，即
k a 2 (t3 3 t)b 2 (t k t2 3 k )a b ∴ =0，
则有 k
t3
4
3t
则 kt2 1(t24t3)
t4
=
1 (t 2)2 4
7 4
则当 t
=-2时，k t 2
t
有最小值 7
4
小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂， 但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都 稍作化简，联系“已知的是什么?”,“所求的是 什么？”，“中间搭哪一座桥？”，很多问题 都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题涉及 关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题 往往从（1）基本不等式（2）等量代换这两个 方面去考虑.
例五 .向量应用第10题
在 ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若
AM =2，求 OA(OBOC)的最小值
分析：如图，因为 M 为 B C
A
的中点，所以O BO C2O M ,
则本题可转化成两个反向
O
B
向量数量积的最小值问题，
M
C
解答如下：
OA(OBOC)=2 OAOM=-2OAOM
由基本不等式，得 OAOM
（2）把物理学问题转化为向量问题 ：数学 中的向量就是物理中的矢量，所以利用向 量可以解决物理学问题
例一 .(数量积一第9题)
设向量 a ，b ，c 是单位向量，且 a b =0 ，
求 acbc 的最小值
解：acbc
2
= ab(ab)cc
b
=1- 2cos ab,c
c
1 2
a
思考：设向量 a , b 是两个互相垂直的单位向
y
o
x B
小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合 可使问题的解决更加方便
例四.数量积二第15题
已知：a 3,1,b12, 23，存在实数 k 和 t ，使
得 xat2 3b ,y ka tb，且x y ，试求 k t 2 的 t
最小值。
分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不 可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表 示，转变为关于其中一个字母的函数来处理 .
（2） a
=（ x , y ）
2
a
= x2 y2
（3） cos = a b
=
x1x2 y1y2
|a ||b |
x12 y12 x22 y22
（4）非零向量 a b ab0 x1x2 y1y2 = 0
（注意与向量共线的坐标表示区别）
5.平面向量数量积的应用
（1）把几何学问题转化为向量问题 ：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向 量等
OA
OM 4
2=1
,
所以，所求最小值为-2
小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向 量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利 于计算.
例六 .向量应用第15题
给定两个长度为1的平面向量O A 和O B ，它们 的夹角为1 2 0 o. 如图所示，点 C 在以 O 为圆心
的圆弧 A B 上变动.若OCxOAyOB其中 x, y R ,
且（ka 2b ）与（ 4a 3b ）不平行
即 4ka26b23k8ab0且 k ≠ 8
4k9616(3k8)3410且 2
k
3
≠
8 3
∴
k
8 3
且
k
≠
8 3
思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？
小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于 化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算， 使问题得以更好的解决.
求 x y 的最大值 .
分析：因为三个向量的模
B
均为1，且已知 O A 与 O B
C
的夹角，所以，本题可
以考虑利用向量数量积
O
将向量转化为实数，同
A
时可将 x y 用三角函数
表示出来，解答如下：
设AOC，则有
OCOAxOAOAyOBOA
OCOBxOAOByOBOB
即
cos
cos(
2 3
x1 y 2
分析：两向量 a , b 的夹角公式为 cos a,b a b
ab
则当两向量的夹角为钝角时有-1< cos a,b <0
解右边不等式可得 a b <0,但左边不等式解 答比较复杂，所以，我们可以考虑在余 弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情 况，即去掉两向量平行的情况，所以本 题的解答如下：
由题意： （ka 2b）（4a 3b）<0