广州市2014年中考数学试题和答案

广州市2014年初中毕业生学业考试
数学
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．a（0
a≠）的相反数是（ A ）
（A）a-（B）a（C）a（D）1
a 2．下列图形是中心对称图形的是（ D ）．
（A）（B）（C）（D）
3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC
△的三个顶点均在格点上，则tan A=（ D ）
（A）3
5
（B）4
5
（C）3
4
（D）4
3
4．下列运算正确的是（ C ）
（A）54
ab ab
-=（B）
112
a b a b
+=
+
（C）624
a a a
÷=（D）()3253
a b a b
=
5．已知
1
O和2O的半径分别为2cm和3cm，若127cm
O O=，则1O和2O的位置关系是（ A ）
（A）外离（B）外切
（C）内切（D）相交
6．计算
24
2
x
x
-
-
，结果是（ B ）
（A）2
x-（B）2
x+（C）
4
2
x-
（D）2
x
x
+
7．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，
8．对这组数据，下列说法正确的是（ B ）
（A）中位数是8 （B）众数是9
（C）平均数是8 （D）极差是7
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当
90
B=︒
∠时，如图2-①，测得2
AC=，当=60
B︒
∠时，如图2-②，AC=（ A ）
（A
（B）2 （C
（D
）
A
B C
D
D
C
B
A
图2-①图2-②
9．已知正比例函数y kx
=（0
k<）的图象上两点A（1x，1y）、B（1x，2y），且12
x x
<，则下列不等式中
恒成立的是（ C ）．
（A）
12
y y
+>（B）120
y y
+<
（C）
12
y y
->（D）120
y y
-<
10．如图3，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG DE
、，DE和FG相交于点O．设
A B a=，CG b
=（a b
>）．下列结论：①BCG DCE
△≌△；②BG DE
⊥；③
DG GO
GC CE
=；
④()22
EFO DGO
a b S b S
-⋅=⋅
△△
．其中结论正确的个数是（ B ）
（A）4个
（B）3个
（C）2个
（D）1个
第二部分非选择题（共120分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．ABC
△中，已知60
A=︒
∠，80
B=︒
∠，则C
∠的外角的度数是_____．
【答案】140︒
12．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D E
、，10
PD=，则
PE的长度为_____．
【答案】10
13．代数式1
1
x-
有意义时，x应满足的条件为______．
【答案】1
x≠±
F
E
G
O
D
C
B
A
14．一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留π）． 【答案】24π
俯
视图
左视图
主
视图
15．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，
该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．
【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．
16．若关于x 的方程2
2
2320x mx m m +++-=有两个实数根1x 、2x ，则()2
1212
x x x x ++的最小值为 。

【答案】54
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分9分）
解不等式：523x x -≤，并在数轴上表示解集.
解：移项得，532x x -≤，
合并同类项得，22x ≤， 系数化为1得，1x ≤， 在数轴上表示为：
18．（本小题满分9分）
如图5，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别交于点E F 、，求证：AOE COF △≌△．
证明：∵平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O
∴AO CO =，AB CD ∥，∴EAO FCO =∠∠
在AOE △和COF △中，EAO FCO
AO CO AOE COF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，∴AOE COF △≌△
19．（本小题满分10分）
已知多项式()()()2
2123A x x x =++-+-. （1）化简多项式A ； （2）若()2
16x +=，求A 的值.
解:（1）2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-
2244223x x x x x =+++-+--
22()(42)(423)x x x x x =-+-+++-
33x =+
（2）2(1)6x +=,
则1x +=33A x ∴=+3(1)x =
+=±
20．（本小题满分10分）
某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
（1）求a ，b 的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数； （3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中
随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率． 解：（1）()509128516a =-+++=
()
10.180.160.320.100.24b =-+++=
（2）
“一分钟跳绳”所占圆心角=0.16360=57.6⨯︒︒
（3）至多有一名女生包括两种情况有1个或者0个女生，列表图：
D
B
有1个女生的情况：12种 有0个女生的情况：6种
至多有一名女生包括两种情况18种 至多有一名女生包括两种情况=
1820=9
10
=0.90
21．（本小题满分12分）
已知一次函数6y kx =-的图像与反比例函数2k
y x
=-的图像交于A B 、两点，点A 的横坐标为2． （1）求k 的值和点A 的坐标； （2）判断点B 的象限，并说明理由．
解：（1）将6y kx =-与2k y x =-联立得22k y x k y x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，26k kx x ∴-=-○
1 A 点是两个函数图像交点，将2x =带入○
1式得2262k
k -=-解得2k =
故一次函数解析式为26y x =-，反比例函数解析式为4
y x
=
-
将2x =代入26y x =-得，2262y =⨯-=-，A ∴的坐标为(2,2)k =- （2）B 点在第四象限，理由如下：
一次函数26y x =-经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， 因此它们的交点都是在第四象限.
22、（本小题满分12分）
从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． （1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比
乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 解：（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）
（2）设普通列车的平均速度为x 千米/时，则高铁平均速度为2.5x 千米/时．
依题意有：
520400
32.5x x
-=，可得：120x = 答：高铁平均速度为 2.5×120=300千米/时．
23、（本小题满分12分）
如图6，ABC △中，AB AC ==cos C （1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的O ，并标出
O 与AB 的交点D
，与
BC 的交点E （保留作图痕迹，不写作法）： （2）综合应用：在你所作的圆中：
①求证：DE CE =；
②求点D 到BC 的距离． 解：（1）如图所示，圆O 为所求 （2）①如图连接OE OD 、，设B α∠=,
又,AB AC OA OD OE OC ====
OEC C
B α∴∠=∠=∠= 1
802E O C A α︒∠=∠=-
则2(1802)(180
2)1802DOE DOC EOC α
αα︒︒︒∠=∠-∠=⨯---=-
EOC DOE ∴∠=∠
，DE EC ∴=
②连接CD ,过A 作
AM BC ⊥于M ,
过D 作DH BC ⊥于H
∴cosC=
CM AC ,
又AB AC =
4CM ∴=,28BC CM == 又AC 为直径，90ADC BDC ︒∴∠=∠=
设BD a =，则AD a =，在Rt BDC ∆和Rt ADC ∆中，
有2222AC AD BC BD -=-，即(()2
2
228a a -=-，解得：a =
即CD ==
又112
2
BCD S DH BC BD CD ∆=⋅=⋅，即1182
2DH ⨯⋅=，16
5DH ∴=
(M )
H
O
E D C
B
A
图6
C
B
A
24．（本小题满分14分）
已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线22y ax bx =+-（0a ≠）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围．
（3）若3
2
m >，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （502
t <<）个单位，点P 、C 移动后对
应的点分别记为'P 、'C ，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、'P 、'C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
解：（1）依题意把,A B 的坐标代入得 2016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12
3
2
a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线解析式为213
222y x x =
-- ∴顶点横坐标322b x a =-=,将32
x =代入抛物线得2133325
()()222228y =-⨯-⨯-=-
325(,)28
C ∴-
（2）如图,当90APB ︒∠=时,设200013
(,2)22
D x x x --,
则001,4,ED x DF x =+=-20013
222
BF x x =
-- 过D 作直线l x 轴, ,AE l BF l ⊥⊥，AED BFD ∴∆∆
AE DF ED BF
∴=
，2000200013
2
422
131222
x x x x x x ---∴=+--(注意用整体代入法) 解得120,3x x ==，1(0,2)D ∴-,2(3,2)D - 当P 在12,AD BD 之间时，90APB ︒∠>
10m ∴-<<或34m <<时，APB ∠为钝角. （3）依题意3m >，且90APB ︒∠=，(3,2)P ∴-
设,P C 移动t （0t >向右，t o <向左），325
(3,2),(,)28
P t C t ''∴+-+-
连接,,AC P C P B ''''，则ABP C C AB BP P C C A ''''''=+++
又,AB P C ''的长度不变，∴四边形周长最小，只需BP C A ''+最小即可 将C A '沿x 轴向右平移5各单位到BC ''处，P '沿x 轴对称为P ''
∴当且仅当P ''、B 、C ''三点共线时，BP 'C A '+最小，且最小为P C ''''，此时1325
(,)28
C t ''+-
(3,2)P t ''+，设过P C ''''的直线为y kx b =+，代入 13
25();28(3)2t k b t k b ⎧++=-⎪
⎨⎪++=⎩
∴412841(3)228k t b ⎧
=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩
即4141(3)22828t y x +=-++
将(4,0)B 代入，得：4141(3)4202828t +-
⨯++=，解得：15
41t =- ∴当，P 、C 向左移动15
41
单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

25．（本小题满分14）
如图7，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC =︒∠，3AB =,4BC =，5CD =，点E 为线段CD 上一动点（不与点C 重合），BCE ∆关于BE 的轴对称图形为BFE ∆，连接CF ，设C E x =，BCF ∆的面积为1S ，CEF ∆的面积为2S ．
（1）当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求x 的值； （2）试用x 表示
2
1
S S ，并写出x 的取值范围； （3）当BFE ∆的外接圆与AD 相切时，求2
1
S S 的值．
解：（1）如图○
1，HK 为梯形ABCD 的中位线，则2CH HB ==，过点E 作EI HK ⊥于点I ，则有： ,2EF CE x EI CH ====，在Rt EFI ∆中，有,2EF x EI ==
，FI ∴=在Rt FBH ∆中，4,2BF BC BH ===
，FH ∴=
又HI CE x ==
，FH FI IH x =+==
3
x =
（2）如图○
2，BE 交CF 于点J ，Rt BCE ∆与Rt BFE ∆关于BE 对称， 则有：CJ BE ⊥，90CJE BJC ∠=∠= 又90,90CEJ ECJ BCJ ECJ ∠+∠=∠+∠=
CEJ BCJ ∴∠=∠，CEJ
BCJ ∴∆∆，22
216
CEH BCH S CE x S BC ∆∆∴==
又Rt BCE ∆与Rt BFE ∆关于BE 对称，,CEJ EFJ S S ∆∆=CJB BFJ S S ∆∆=
221(05)16
CEF CEJ BCF BCJ S S S x x S S S ∆∆∆∆∴===<≤ （3）如图○
3，当Rt BFE ∆的外接圆与AD 相切时，则F 为切点. BFE ∆的圆心落在BE 的中点，设为K
则有FH AD ⊥，过点K 作,,KL AB LM BC KN CD ⊥⊥⊥， 连接,,,KF KA KD KC ，得
112,222
x KN KL BC KM CE ==
===
BE
则12FK BE ==
又ABCD DKA CKD CKB AKB S S S S S ∆∆∆∆=+++
(35)4152432
222222
x +⨯⨯⨯∴
=⨯+⨯+
解得：1232 32x x =-+=--
22113916S x S ∴===-
D
G
① ② ③
F
E
D
C
B
A。