第十章 量子散射

第10章

量子散射

在第四章中，已经研究了当具有能量的粒子射向一个势垒时，如何求出其反射系数和透射系数，实际上它就是一类简单的势散射问题。本章所要讨论的问题是：当具有确定动量的入射粒子B射向另一个处于固定位置的粒子（靶）A时，在A附近B与A将发生相互作用，交换能量和动量之后，粒子B沿某方向向无穷远飞去，称这样一个过程为散射或者碰撞。若两个粒子相互作用后变成另外的粒子，则称之为发生了反应。

卢瑟福的粒子被原子散射的实验确立了原子的有核模型，赫兹的电子被原子的散射实验得出原子内态不连续的结论。由此可见，量子散射是了解原子、分子、原子核及基本粒子结构的最重要的实验手段之一。

§10.1 散射现象的描述

§10.1.1 散射截面

在散射过程中，若入射粒子只是改变运动方向，而其能量并无变化，称为弹性散射，否则，称之为非弹性散射。这里，只讨论弹性散射问题。对于弹性散射问题而言，最关心的问题是入射粒子在各方向出现的几率的大小。

在散射实验中，将一束入射粒子B沿轴正向射向靶A，在A的作用下，入射粒子偏离原来的方向，向无穷远处飞去。为了使问题得到简化，作如下假设：靶粒子A的质量远大于入射粒子B的质量；入射粒子束足够稀薄，以至于可以忽略入射粒子间的相互作用；靶的粒子密度足够小，可以不顾及其它粒子的影响。

为了描述弹性散射过程，引入几个基本概念。

入射粒子流强度：单位时间内通过垂直于轴单位面积的粒子数。

入射粒子数：单位时间内进入以A为中心的（）附近立体角的粒子数，它与成正比

（10.1.1）微分散射截面：一个入射粒子被散射到（）附近单位立体角中的几率，它具有面积的量纲，且满足关系式

（10.1.2）

积分散射截面：表示一个入射粒子被散射（不管方向）的几率，它与微分散射截面的关系为

（10.1.3）§10.1.2 处理弹性散射问题的基本途经

1、弹性散射满足的方程

将坐标原点选在A与B的质心处，则在该坐标系中，质心是相对静止的，可以不予考虑。在质心坐标系中，相对运动的定态薛定谔方程为

（10.1.4）其中，为入射粒子的能量，为折合质量

（10.1.5）若势场是中心力场，即

（10.1.6）且令

（10.1.7）则（10.1.4）式可写成

（10.1.8）其中，

（10.1.9）

2、入射波与散射波

由于A与B发生相互作用只是局限在一个小范围内，而测量散射粒子的位置远大于它的尺度，所以，只需要考虑的情况，而这时。方程（10.1.8）的解是球面波

（10.1.10）其中，称为散射振幅。由于粒子沿轴入射，对应的入射平面波为

（10.1.11）在处，入射粒子被散射后的状态为

（10.1.12）

3、散射截面与散射振幅的关系

下面利用上式导出微分散射截面与散射振幅之间的关系。

根据与的定义知

（10.1.13）

（10.1.14）

利用微分散射截面的定义可知

（10.1.15）由此可知，只要知道了散射振幅就可以得到微分散射截面，而散射振幅要通过求解（10.1.8）式得到。但是，严格求解方程（10.1.8）是十分困难的，通常要采用近似方法来处理。

§10.2 李普曼-许温格方程

§10.2.1 李普曼-许温格方程

在势散射的形式理论中，李普曼（Lippmann）-许温格（Schwinger）给出了一个积分方程，简称为LS方程。

1、LS方程的建立

单粒子在中心势场中的哈密顿算符为

（10.2.1）其中，，为折合质量，且位势满足条件

（10.2.2）定态薛定谔方程为

（10.2.3）其中，，而且与具有相同的连续谱。态矢量满足无穷远处的边界条件

（10.2.4）式中，第一项是波矢为的入射平面波，它是的本征态，相应的能量为，第二项为势场引起的散射波。

为了得到满足边界条件（10.2.4）的解，将薛定谔方程（10.2.3）改写成积分方程的形式。

若将（10.2.3）式中的用代替，其中，，则算符恒不为零，故其存在逆算符

（10.2.5）称之为格林（Green）算符。于是有

（10.2.6）上式就是薛定谔方程（10.2.3）的一个特解，再顾及到入射平面波，一般解的形式为

（10.2.7）

上式是一个积分方程，称为LS方程，它是散射理论的一个基本方程。

2、关于LS方程的讨论

下面证明是规格化的态矢量。

用左乘（10.2.7）式两端，得到

（10.2.8）再利用（10.2.1）式将其改写为

（10.2.9）用算符左乘上式两端

（10.2.10）于是有

（10.2.11）注意到，

（10.2.12）（10.2.11）式可作如下变化

（10.2.13）将（10.2.7）式代入上式，得到

（10.2.14）由此可见，与满足同样的规格化条件。

在散射问题中，通常使规格化为，故

（10.2.15）而其封闭关系为

（10.2.16）§10.2.2 格林函数

1、格林函数的定义

为了引入格林函数，考察格林算符在坐标表象中的矩阵元

（10.2.17）若令

（10.2.18）则

（10.2.19）其中，函数被称为格林函数，它是一个与波数及坐标差相关的函数。2、格林函数的意义

为了看出格林函数的物理涵义，完成（10.2.18）式中对立体角的积分，并令

（10.2.20）则有

（10.2.21）这是一个复变函数的积分，对于，将积分线路改为一条由实轴和上半平面的大半园所组成的闭合回路，在这半园周上的积分为零，应用柯西（Cauchy）积分公式可知

（10.2.22）由于定态波函数的时间因子为，所以，是一个从位于的点源向外发出的球面波，后面将会看到，它是散射态。类似地，可以得到

（10.2.23）是一个向位于的点源会聚的球面波，它不是散射态。

由（10.2.21）式可以证明满足有点源的波动方程

（10.2.24）因此，类似通常的波函数，格林函数是一个满足薛定谔方程的函数。

利用（10.2.22）和（10.2.23）式计算格林算符在坐标表象中的矩阵元

（10.2.25）将LS方程（10.2.7）式换成坐标表象，即

（10.2.26）式中，

（10.2.27）由于满足条件（10.2.2）式，故（10.2.26）式中的积分收敛。

当时，，故

（10.2.28）于是有

（10.2.29）考虑到

（10.2.30）得到

（10.2.31）将其代入（10.2.26）式，得到的渐近形式

（10.2.32）

式中，

（10.2.33）（10.2.32）式中，第一项为入射平面波，第二项为出射球面波，而称为散射振幅，由于势场是轴对称的，故散射振幅与角度无关。