7(6)隐函数微分法

dy Fx ( x, y) = dx Fy ( x, y)
隐函数的求导公式
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可以确定唯一的函数 y = f ( x), 即存在
隐函数的求导公式
(证明放后 仅推导公式 将恒等式 F ( x , f (x) ≡ 0 证明放后)仅推导公式 证明放后 仅推导公式. ) 两边关于x求导 全导数公式,得 求导, 两边关于 求导 由全导数公式 得 F ( x , f (x)) ≡ 0 dy Fx ( x , y ) + Fy ( x , y ) = 0 dx 所以存在 连续, 由于 F y ( x , y )连续, F y ( x 0 , y0 ) ≠ 0, 且
F u G u
F v = 1 ( F , G ) , G J ( y, v ) v
F u G u
F v = 1 ( F , G ) . G J ( u, y ) v
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隐函数的求导公式
特别
F ( x , y , u, v ) = 0 如果方程组 G ( x , y , u, v ) = 0
(2) F ( x0 , y0 ) = 0;
(3)
Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0.
则 (1) 在点 P( x0 , y0 ) 的某邻域内, 由方程 F ( x, y ) = 0
η > 0,当x ∈ O ( x0 ,η ) 时, 有F ( x, f ( x) ) = 0, 且y0 = f ( x0 ); (2) f 在O ( x0 ,η )内连续; (3) f 在O ( x0 ,η )内有连续的导数,且
F F x + u G + G x u
u F + x v u G + x v
v =0 x v =0 x
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隐函数的求导公式
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) ≡ 0 G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) ≡ 0
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隐函数的求导公式
当系数行列式不为零时, 当系数行列式不为零时 即 F F ( F , G ) u v ≠ 0. 雅可比行列式 J= = ( u , v ) G G Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851 德 u v
F u = x 解得 G x x F v = u G x u F v G v F x G x F F u v 1 (F ,G ) G G = J x v , ( , ) u v F F u v = 1 ( F , G ) . G G J ( u, x ) u v
F ( x, y, z ) = 0 空间曲线方程 G ( x , y , z ) = 0
下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数. 下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数
2
隐函数的求导公式
Hale Waihona Puke Baidu
一,一个方程的情形
1. F( x, y) = 0
在一元函数微分学中, 在一元函数微分学中 曾介绍过隐函数
F ( x, y) = 0
u u v v 求 , , , . x y x y
请看课本第87页 隐函数存在定理3. 请看课本第 页, 隐函数存在定理3.
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隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) = 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) = 0 F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) ≡ 0 将恒等式 G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) ≡ 0
2 2
2
)
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隐函数的求导公式
2. 由三元方程 F( x, y, z) = 0确定二元隐函数 z z z = f ( x, y),求 , . x y 隐函数存在定理2 隐函数存在定理2 若三元函数 F ( x , y , z ) 满足 满足: (1) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内 具有连续偏导数 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0; (3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 函数 z = f ( x , y ), 它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有
( x0 , y0 )的一个邻域 在这个邻域内F y ( x , y ) ≠ 0, 的一个邻域,
于是得
dy Fx ( x, y) dy Fx = 或简写: 或简写 = . dx Fy ( x, y) dx Fy
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隐函数的求导公式
如, 方程 xy e x + e y = 0, 记 F ( x , y ) = xy e x + e y , 则 (1) Fx ( x , y ) = y e x 与Fy ( x , y ) = x + e y 在点(0,0) 的邻域内连续; 的邻域内连续 (2) F (0,0) = 0; 隐函数存在定理1 (3) Fy (0,0) = 1 ≠ 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数, 附近确定一个有连续导数, 当x = 0时y = 0 的隐函数 y = f ( x ), 且
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隐函数的求导公式
设u = z 2 + 2 z , 且z = z ( x , y )由方程xe x ye y = ze z
( z ≠ 1)所确定, 求du.
解 法二 利用隐函数求导公式 利用隐函数求导公式. 令 F ( x , y , z ) = xe x ye y ze z
Fx = ( x + 1)e x , Fy = ( y + 1)e y , Fz = ( z + 1)e z , z x + 1 x z z y + 1 y z e , = 故 e , ( z ≠ 1). = x z + 1 z+1 y u z x z = ( 2 z + 2) = 2( x + 1)e , u u x x du = dx + d y x y u z y z = ( 2 z + 2) = 2( y + 1)e . y y
Fy Fx z z = . = , Fz Fz y x
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隐函数的求导公式
(证明从略 仅推导公式 证明从略)仅推导公式 证明从略 仅推导公式. 设 是方程 函数,则 函数, 将恒等式 F ( x , y , f ( x, y)) ≡ 0 所确定的隐
复合函数求导法 两边分别关于x和 求导 应用复合函数求导 求导, 两边分别关于 和y求导 应用复合函数求导法得 z z Fx + Fz = 0. = 0, Fy + Fz x y 因为 Fz 连续 且Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 所以存在 连续,
点( x0 , y0 , z0 ) 的一个邻域 在这个邻域内 F ≠ 0, 的一个邻域, z Fy Fx z z 于是得 = , = . Fz Fz y x
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隐函数的求导公式
x z 确定的隐函数 例2. 求由 = ln z y z = z ( x, y ) 的一阶偏导.
例3. 设方程
f (x y , y z
dy Fx y ex = = . y dx Fy x+e
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隐函数的求导公式
注意: 注意 1. 定理只说明了隐函数的存在性 并不一定能解出. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出 并不一定能解出 2. 定理的结论是局部的 定理的结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有 与y,理解 隐函数的导数仍含有x与 理解 理解: F (x, y) dy 求高阶导时,利用复 求高阶导时 利用复 = x dx F (x, y) 合函数的求导方法. 合函数的求导方法 y
u u v v , , , . 求 x y x y
F F u F v y + u y + v y = 0 同理, 两边关于y求偏导 求偏导,得 同理 两边关于 求偏导 得 G + G u + G v = 0 y u y v y
F F u y v = G G y y v F F v u y = G G y u y
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隐函数的求导公式
例5
设u = z 2 + 2 z , 且z = z ( x , y )由方程xe x ye y = ze z
解 法一 利用全微分 利用全微分.
( z ≠ 1)所确定, 求du.
du = 2 zdz + 2dz = 2( z + 1)dz e xdx + xde x e ydy yde y = e z dz + zde z e x dx + xe x dx e ydy ye ydy = e z dz + ze z dz e x (1 + x )dx e y (1 + y )dy = e z (1 + z )dz e x (1 + x )dx e y (1 + y )dy dz = z e (1 + z ) du = 2e z [( x + 1)e x dx ( y + 1)e ydy ].
(1)
的求导法. 的求导法 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 链导法给出隐函数 现在利用复合函数的链导法给出隐函数 的求导公式, 并指出: 的求导公式 并指出 隐函数存在的一个充分条件. 隐函数存在的一个充分条件.
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隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y )在点P( x0 , y0 )邻域 满足 满足: (1) 在矩形区域 D = {( x, y ) : x x0 < a, y y0 < b}内有关于x和y的连续偏导数;
第六节 隐函数微分法
( implicit function )
一个方程的情形 方程组的情形 隐函数存在定理 小结 思考题 作业
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第八章 多元函数微分法及其应用
隐函数的求导公式
隐函数在实际问题中是常见的. 隐函数在实际问题中是常见的 如 平面曲线方程 F ( x , y ) = 0 空间曲面方程 F ( x , y , z ) = 0
两边关于x求偏导 链导法则得 两边关于 求偏导, 由链导法则得: 求偏导
F F u F v x + u x + v x = 0
G G u G v = 0 + + x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组, , 为未知量的线性方程组 x x
F ( x , u, v ) = 0 为 时, 它可能确定两个 一元函数 一元函数, G ( x , u, v ) = 0
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y arctan , x x+ y y x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . = = y x dx Fy
2 2
d y 2( x + y = 3 2 dx ( x y)
y= f ( x)
4. 定理的条件只是充分条件 如: 定理的条件只是充分条件.
Fxy)=(xy) =0 (, .
2
7
5. 注意哪个是隐函数 哪个是自变量. 注意哪个是隐函数,哪个是自变量 哪个是自变量
隐函数的求导公式
y d2 y 2 2 例1 已知ln x + y = arctan , 求 2 . x dx
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隐函数的求导公式
二,方程组的情形(隐函数组)
下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 求导方法. 求导方法 故由方程组
F ( x , y , u, v ) = 0 G ( x , y , u, v ) = 0
确定两个二元函数 确定两个二元函数 u = u( x, y), v = v( x, y).
2 2 2
2
)=0
确定了隐函数
z = z ( x, y ) , 其中
f有连续偏导. 证明:
z z yz + xz = xy. x y
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隐函数的求导公式
例4. 设
F ( xy, y + z , xz ) = 0, 求
z z 2 z , , . x y xy
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意: 对复合函数求高阶偏导数时 导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时, 导函数仍是复合函数 故对导函数再求偏导数时 仍需用复合函数求导的方法. 仍需用复合函数求导的方法