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故Vh是H E1的一个n维子空间，称为试探函数空间， uh Vh称为试探函数.
10
4. 形成有限元方程
与Ritz 法一样，以Vh替代H E1，在Vh上解泛函(7.3)的极小 问题，将式(7.4)代入(7.3)，得
1 J (uh ) 2 a(uh ,uh ) ( f ,uh )
1 2
i
,
n j 1
(7.1) (7.2)
其中，pxC1a,b, p 0,q Ca,b,q 0, f Ca,b
3
1. 写出Ritz形式的变分问题
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：
求 u* HE1，使
其中，
J
u*
min
uH
1 E
J
u
J u 1 au,u f ,u
2
（7.3）
au,v
b
a
p
du dx
1, 0,
j k, j k,
其中，xk 是单元节点序号为 k 的节点.
6
3.确定单元基函数 有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就在 于有限元方法中的基函数是在单元中选取的．由于各个单元 具有规则的几何形状，而且可以不必考虑边界条件的影响， 因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则．
或写成
uh (x)
N0 ( )ui1
N1( )ui
(
N0
,
N1
)
ui1 ui
uh Nu(i)(7.9)
其中，N (N0 , N1),u(i) .于(ui是1,ui )T
uh (x)
1 hi
(ui
ui1()7.1M0)u(i)
其中，M (1 / hi ,1.从/ hi而) 有
13
这里
(7.11)
dv dx
quvdx
， f
பைடு நூலகம்,u
b
a
fudx.
式(7.3)是应用有限元法求解边值问题(7.1)、(7.2)的出发 点.
4
2. 区域剖分
剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互 相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元．单元的 几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以 不同．对于一维情形最为简单.
将求解区间 [a, b]分成若干个子区间，其节点为 a x0 x1 L xi L xn b
每个单元 ei [xi1, xi ] 的长度为 hi xi xi1 . 单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根
据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的 地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.
有限元方法
1
有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法， 它的基础分两个方面：一是变分原理，二是剖分插值．
从第一方面看，有限元法是Ritz-Galerkin方法的一种 变形．它提供了一种选取“局部基函数”的新技巧，从而克 服了Ritz-Galerkin方法选取基函数的固有困难．
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点 近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的 邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近 似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一 步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有 限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
第一步：单元分析.注意到
1
J (uh ) 2
b a
(
puh2
quh2
2
fuh
)dx
1 n 2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx
(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
12
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元 ei [xi1, xi ]上，uh可写成
a(i
,
j
)uiu
j
n
uj( f
j 1
, j )
令 J (uh ) 0
u j
便得到确定 u1, u2 ,L , un的线性代数方程组
n
a(i , j )ui ( f , j ), j 1, 2,L , n
i 1
称式（7.5）为有限元方程.
(7.6)
11
值得注意的是，在实际计算中，并不是按照上述步骤形 成有限元方程的，而是先进行单元分析，即在单元上建立有 限元特征式，然后再进行总体合成，即将各单元的有限元特 征式进行累加，合成为有限元方程．具体过程如下：
2
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1 基于Ritz法的有限元方程
考虑两点边值问题
Lu d ( p du ) qu f ,
dx dx
u(a) 0, u(b) 0
a x b,
ui1
xi x hi
ui
x xi1 hi
,
x [xi1, xi ].
(7.5)
可见，单元中的近似函 数由单元基函数线性组 合产 生，全区域的近似函数 由各个单元的近似函数 叠加而成.
9
由以上可以看出，Vh是满足下列条件的所有函数uh 的集合：
(1) uh 在[a,b]上连续，且uh ,uh L2[a,b]; (2) uh 在ei上是次数不超过1的多项式(i 1,2, , n); (3) uh (a) 0,
(7.12) K (i) hi
1( pMT M
0
qNT N)d
显然，Vh中任一函数 uh可以表示为基函数 i (x)的
线性组合，即
uh u11 (x) u22 (x) unn (x)
8
其中，u1,u2 , ,un是uh在节点上的值，即 uh (xi ) ui (i 1,2, , n),
在单元ei上，uh (x)表示为
uh (x) ui1 i1(x) uii (x)
5
设 Vh
为
H
1 E
的有限维子空间，它的元素为
uh (x).
要构造 Vh ，只需构造单元基函数i .构造单元基函数所遵循 的原则是：
(1)每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，
每个节点对应一个基函数，本例中，单元ei 有两个节点，因
此基函数有两个.
(2)基函数应具有性质
j (xk ) jk
7
若取i (x)为线性函数，则按上述原则，可将Vh中的基
函数取为
x
xi1 hi
,
xi1 x xi ,
i
(x)
xi 1 hi
1
0,
x
,
xi x xi1 , 在别处.
i 1,2, , n 1,
n
(x)
x
xn1 hn
,
xn1 x xn ,
0,
在别处.
(7.4)
10
4. 形成有限元方程
与Ritz 法一样，以Vh替代H E1，在Vh上解泛函(7.3)的极小 问题，将式(7.4)代入(7.3)，得
1 J (uh ) 2 a(uh ,uh ) ( f ,uh )
1 2
i
,
n j 1
(7.1) (7.2)
其中，pxC1a,b, p 0,q Ca,b,q 0, f Ca,b
3
1. 写出Ritz形式的变分问题
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：
求 u* HE1，使
其中，
J
u*
min
uH
1 E
J
u
J u 1 au,u f ,u
2
（7.3）
au,v
b
a
p
du dx
1, 0,
j k, j k,
其中，xk 是单元节点序号为 k 的节点.
6
3.确定单元基函数 有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就在 于有限元方法中的基函数是在单元中选取的．由于各个单元 具有规则的几何形状，而且可以不必考虑边界条件的影响， 因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则．
或写成
uh (x)
N0 ( )ui1
N1( )ui
(
N0
,
N1
)
ui1 ui
uh Nu(i)(7.9)
其中，N (N0 , N1),u(i) .于(ui是1,ui )T
uh (x)
1 hi
(ui
ui1()7.1M0)u(i)
其中，M (1 / hi ,1.从/ hi而) 有
13
这里
(7.11)
dv dx
quvdx
， f
பைடு நூலகம்,u
b
a
fudx.
式(7.3)是应用有限元法求解边值问题(7.1)、(7.2)的出发 点.
4
2. 区域剖分
剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互 相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元．单元的 几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以 不同．对于一维情形最为简单.
将求解区间 [a, b]分成若干个子区间，其节点为 a x0 x1 L xi L xn b
每个单元 ei [xi1, xi ] 的长度为 hi xi xi1 . 单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根
据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的 地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.
有限元方法
1
有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法， 它的基础分两个方面：一是变分原理，二是剖分插值．
从第一方面看，有限元法是Ritz-Galerkin方法的一种 变形．它提供了一种选取“局部基函数”的新技巧，从而克 服了Ritz-Galerkin方法选取基函数的固有困难．
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点 近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的 邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近 似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一 步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有 限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
第一步：单元分析.注意到
1
J (uh ) 2
b a
(
puh2
quh2
2
fuh
)dx
1 n 2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx
(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
12
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元 ei [xi1, xi ]上，uh可写成
a(i
,
j
)uiu
j
n
uj( f
j 1
, j )
令 J (uh ) 0
u j
便得到确定 u1, u2 ,L , un的线性代数方程组
n
a(i , j )ui ( f , j ), j 1, 2,L , n
i 1
称式（7.5）为有限元方程.
(7.6)
11
值得注意的是，在实际计算中，并不是按照上述步骤形 成有限元方程的，而是先进行单元分析，即在单元上建立有 限元特征式，然后再进行总体合成，即将各单元的有限元特 征式进行累加，合成为有限元方程．具体过程如下：
2
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1 基于Ritz法的有限元方程
考虑两点边值问题
Lu d ( p du ) qu f ,
dx dx
u(a) 0, u(b) 0
a x b,
ui1
xi x hi
ui
x xi1 hi
,
x [xi1, xi ].
(7.5)
可见，单元中的近似函 数由单元基函数线性组 合产 生，全区域的近似函数 由各个单元的近似函数 叠加而成.
9
由以上可以看出，Vh是满足下列条件的所有函数uh 的集合：
(1) uh 在[a,b]上连续，且uh ,uh L2[a,b]; (2) uh 在ei上是次数不超过1的多项式(i 1,2, , n); (3) uh (a) 0,
(7.12) K (i) hi
1( pMT M
0
qNT N)d
显然，Vh中任一函数 uh可以表示为基函数 i (x)的
线性组合，即
uh u11 (x) u22 (x) unn (x)
8
其中，u1,u2 , ,un是uh在节点上的值，即 uh (xi ) ui (i 1,2, , n),
在单元ei上，uh (x)表示为
uh (x) ui1 i1(x) uii (x)
5
设 Vh
为
H
1 E
的有限维子空间，它的元素为
uh (x).
要构造 Vh ，只需构造单元基函数i .构造单元基函数所遵循 的原则是：
(1)每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，
每个节点对应一个基函数，本例中，单元ei 有两个节点，因
此基函数有两个.
(2)基函数应具有性质
j (xk ) jk
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若取i (x)为线性函数，则按上述原则，可将Vh中的基
函数取为
x
xi1 hi
,
xi1 x xi ,
i
(x)
xi 1 hi
1
0,
x
,
xi x xi1 , 在别处.
i 1,2, , n 1,
n
(x)
x
xn1 hn
,
xn1 x xn ,
0,
在别处.
(7.4)